高考数学 一轮复习 考点32 正弦定理、余弦定理的应用（原卷版）

考点32正弦定理、余弦定理的应用【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．【基础知识回顾】1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为____________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min．若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m．A．50eq\r(3) B．50eq\r(5) C．50eq\r(7) D．50eq\r(11)3．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8eq\r(2)nmile．此船的航速是__________nmile/h．A．16 B．32 C．64 D．1284．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为____________小时．A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3) C．eq\f(3,4) D．1考向一利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题例1、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离．现测量人员在相距eq\r(3)km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的eq\f(4,3)倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？变式1、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10eq\r(3)m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长．变式2、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？变式3、如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考向二正余弦定理在三角形中的运用例2、(2015南京、盐城、徐州二模）如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝eq\r(10)，DC＝eq\r(2)，则AB＝________.变式1、(2015南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．变式2、(2017徐州、连云港、宿迁三检）ABCD(第15题)如图，在中，已知点在边上，，，，．ABCD(第15题)（1）求的值；（2）求的长．变式3、(2016徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2eq\r(10)，∠CAD＝eq\f(π,4)，tan∠ADC＝－2.(1)求CD的长；(2)求△BCD的面积．变式4、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面积．方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。1、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（）A．50m B．100m C．120m D．150m2、某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，则该四边形ABCD的面积等于__________m2．3、某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km．4、如图，一栋建筑物的高为(30－10eq\r(3))m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________m．5、如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取eq\r(2)＝1.4，eq\r(3)＝1.7)6、如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向且与A相距10eq\r(2)海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．(1)求乙船每小时航行多少海里？(2)在C处北偏西