角的平分线 （ 角平分线的性质定理） 过关练习-2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.3角的平分线（角平分线的性质定理）过关练习

2025・2026学年上期初中数学人教版（2024）八年级上册

一、单选题

I.如图，已知AB〃CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,FG平分/EFD交AB于点G,若NBEF

=70°,则NAGF的度数为（）

2.如图，在VA8C中，4。是高，力石是角平分线.若如。=6尸，ZC=70°,贝［NEW的大小为（）

3.如图，在中，ZC=9O°,8。是—A3。的平分线，DE/AB于点、E.若4c=5,DE=2,

则A。的氏为（）

A

BC

A.2B.3C.,4D.5

4.如图，在VABC中，4。为/84C的平分线,DEJ.A/3于E,A3=6cm,AC=4cm,DE=2cm,

则V48C的面积是（）

A

BxKDc

A.20cm2B.12cm2C.10cm2D.8cm2

5.如图，射线OC平分/AO6,点RQ分别在射线。CO3上，过点。作。P1Q4于点儿若

OQ=4,Z\OOQ的面积为10,则的长为（）

C.4D.3

6.如图，AB〃CD,82和CP分别平分NA6c和NDC3,AO过点P,且与A3垂直.若AD=8,则

点尸到的距离是（）

A.8B.6C.4D.2

7.如图，在RQABC中，ZC=90°,BD是NABC的平分线，交AC于点D,若CD=n,AB=m，则

△ABD的面枳是（）

A.mnB.gmnC.2mnD.-mn

3

8.如图，AO平分NBAC,DEJ.AB于点、E,DFuLAC于尽F,则下列结论不正确的是（）

B.„AED^^AFD

C.ADEG'DFGD.△BDWACDF

二、填空题

9.如图，在VABC中，4。平分NB4C,AC=3,A4=4,若VA8C的面积为7,则点/）到AC的

距离为.

A

10.如图，NABC内有一点D,使得/O8C=15。，过。作Z）E_LBC于E点，过。作Of7/BC交AB

于尸点，且DF=FB,若DE=4cm,则DF=cm.

11.如图，在VA3C中，NA=45。，ZABC=67.5°,点E,/是内角/A3C与外角4CO的三等分

12.如图，MBC中，ZABC与ZACB的平分线相交于点O,EF经过点。，分别交A8,AC于点E,F,

I3E=OE,OF=3cm.点。到8C的距离为4o〃z,则AOPC的面积为an2.

14.如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点

M、N,再分别以点M、N为圆心，大于（MN的长为半径画弧，两弧交于点作射线AP交边8C

于点O.若用）6=3:2,点。到AB的距离是6,则8C的长是

在Rt^BED与RsCFD中，

BD=CD

DE=()'

:.RsBED^RiACFD(),

/.NB=N,

.\AI3=AC().

19.证明命题''角的平分线上的点到角的两边的距离相等“，要根据题意，画出图形，并用符号表示已

知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.

(I)已知：如图，NAOC=N8O。，点P在OC上，,求证：.请你补全已知和求证.

⑵并写出证明过程.

20.如图，AB/7CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点，再

分别以E,F为圆心，大于^EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.

(1)若NACD=114。，求NMAB的度数;

(2)若CN_LAM,垂足为N,求证：ZkACN@AMCN.

21.在VA8C中，。是边上的点(不与点8、C重合)，连接AO.

图1图2图3

⑴如图1,当点。是5c边上的中点时，S.ABD：S.ACD=_；

⑵如图2,当是28AC的平分线时，若=AC=nt求山心的值(用含〃?，〃的代

数式表示）；

（3）如图3,AZ）平分ZBAC,延长4）至ljE,使得AD=DE，连接BE,如果AC=2,AB=4,£麻=6,

那么S.8C=_.

参考答案

题号12345678

答案CBBCBCBD

1.C

【分析】先根据平行线的性质得出NEG/=/。回G,再根据FG平分/OE尸得出田G=NOFC,根据

等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论.

【详解】解：证明：・・・AB〃CD,

AZEGF=ZDFG,

：FG平分NDEF,

，NEFG=NDFG,

AZEFG=ZEGF,

VZBEF=70°,

ZAGF=ZEFG=-j(180°-70°)=55°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线及角平分线的性质是解答此题的关键.

2.B

【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之

间的数量关系.由A。是高，NC=7()。，可得NC4£>=20。，再曰AE是2B4C的角平分线，ZK4C=60°,

从而得NC4£=30。，进而可求NE4。的度数.

【详解】解：•.•加>是VABC的高，ZC=70°,

/.ZADC=90°,

/.ZCAD=1800-ZADC-ZC=200,

•.•AE是NZMC的角平分线，ZR4C=60°,

ZC4E=-ZBAC=30°,

2

:.zlEAD=ZCAE-ZCAD=\(f.

故选：B.

3.B

【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的

关键，由NC=90。，8。是/A8C的平分线，DE1AB,DE=2,证明CO=O石=2,再利用线段

的和差关系可得答案.

【详解】解：•••NC=900,80是/A8C的平分线，DE1AB,DE=2,

..CD=DE=2,

•••AC=5,

/.AD=AC-CD=5-2=3,

故选：B.

4.C

【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作。广工AC于点R

先根据角平分线的性质得到尸，则根据三角形面枳公式得到:A8?OEgAC?。八解答即可.

22

【详解】解：作D/IAC于点产，

•・•A。为284C的平分线，DEJ.AB于点、E,DFJ.AC于息F,

/.DE=DF=2cm,

•S^ABD+S4ACD=S公人或，

：.-ABlDE-AC2DF,仓62+^仓42=IOcm2,

2222

故选：C.

5.B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点。作OM_LO8于点M,利用角的平分线的性质得到

DP=DM,利用三角形的面积公式求出DM=5即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点。作。于点M,

•••射线OC平分工AOB,DP1OA,DM±OB,

,**OQ=4,a。。。的面积为10,

・•・；OQDM-10；

.\-x4DM=10；

2

解得。仞=5,

・•・DP=5

故选B.

6.C

【详解】过点P作PE_LBC于E,

*：AB//CD,PALAB,

：.PDA.CD,

〈BP和CP分别平分NA8C和NQCB,

:.PA=PE,PD二PE,

：・PE=PA=PD,

*：PA+PD=Al^,

・..%=PQ=4,

；・PE=4.

故选：C.

7.B

作。E_UB交AB于点E,

YBD是/ABC的平分线，ZC=90°,

CD=DE=n,

SAABD=—AB-DE=—mn.

22

故选B.

8.D

【分析】先利用“HL”证明△AEQgZXAFO得到ZEDA=ZFDG,ZDAE=ZDAF,从而可以

利用“S人S'证明△AEGg△八R7,4DEG94DFG,山此求解即可.

【详解】解：：人。平分N8AC,DEA.AB,DF1,AC,

：・DE=DF,NDE4=N。物=90’

\fAD=AD,

/.△AED^AvAFD(HL),故B不符合题意；

：,AE=AF,NEDA=NFDG,ZDAE=ZDAF't

TAG二AG,DG=DG

•••△AEG0△人产G(SAS),△D七Gg△。产G(SAS),故A和C不符合题意；

根据现有条件无法证明^BDE9ACDF,故D符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握

相关知识进行求解.

9.2

【分析】本题考杳角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，设点。到八8的距离

为“，根据三角形的面积进行求解即可.

【详解】解：设点。到A8的距离为〃，

•・•A。平分/BAC,

・••点。到AC的距离也为力，

由题意，得：\ABC=^AR-h+^AC-h=^+4)h=l,

解得：〃=2；

故答案为：2.

10.8

【分析】过D作DG_LAB,根据。b//8C得出/仁乙DBC,又DF=FB,则乙1=乙2,即可证明BA平

分NA8C,然后利用30。直角三角形的性质求出DF即可.

【详解】解：过D作DGJ_AB

-A

G

-DF//BC

.•.zl=z.DBC

又•：DF=FB

.•.41=42=15。

/.z2=zDBC

/.BA平分NA4C

•:DE1.BC,DG1AB

.-.DE=DG=4

vz3=z2+zl=30°

.•.DF=2DG=8cm

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，求出ABDE是30。直角三角形是解题的关键.

11.52.5°.

【分析】过点尸作KWJL3C于点M,FN工CE于点、N,FH_L/坦，根据角平分线的性质可得

FM=FH,FM=FN,再由内角和即可求解.

【详解】如图，过点尸作BW_LBC于点M,FN上CE于点、N,FHLBE,交跖的延长线于点〃,

•••点E,r是内角/AKC与外角4CQ的三等分线的交点,

•••8尸是NEBQ的平分线，

又「KWJLBO,FHA.BE,

:.FM=FH,同理可得RW=QV,

，FN=FH,

又•：FN1EC,FH工EH,

・••Er是NCE”的平分线，

VZA=45°,ZABC=67.5°,

/.ZACA/=ZA+ZABC=112.5°,ZACZ?=67.5°

•・•点E,r是内角^ABC与外角乙4。的三等分线的交点，

，NEBC=-NABC=45°,ZACE=-ZACM=ix112.5=37.5°,

333

，/ECB=ZACB+ZACE=67.5°+37.5°=105°,

,/NBEC=180°-ZEBC-4ECB=180°-45°-105°=30°,

,ACEH=180°-ZBEC=180°-30°=150°,

/.NCEF=NHEF=75。,

，/BFE+4FEC=NECB+ZFBC=105°+22.5°=127.5°,

:.NBFE=127.5°-75°=52.5°,

故答案为：52.5°.

【点睛】此题考查了三角形内用和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理和判定定理，解题

的关键是熟练掌握三角形外角的性质.

12.6

【分析】依据条件可得NEO8=/C8O,进而可得出E/〃BC,进而得到^COF中O厂边上的高为4cm,

再根据三角形面积计算公式，即可得到^OR?的面积.

【详解】解：・・・6£：=。/，

/.ZEBO=ZEOB,

•••80平分NABC,

:./EBO=/CBO,

・•・ZEOB=ZCBO,

，EF〃BC,

•・•点。到的距离为4cm,

•••△COb中。尸边上的高为4cm,

又0F=3cm,

・•・△OFC的面积为:x3x4=6cm2

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形的面积，判定EF〃BC是解决问题的关键.

13.5

【分析】由AD平分284C推出NB4£>=NC4。，从而证明出△A5Dg“^CO(SAS),得到BO=S,

ZABD=ZACD,从而证明出AAS),得到CE=M,从而证明出A43F纪AACElSAS),

得至l]AE=A尸，从而证明出恒△AR(545),得到OE=O/，从而证明出△6EZ£&7fP(SAS),

即可得到答案.

【详解】解：•；A。平分N84C,

：.ZBAD=ZCAD,

在△A3。和△AC。中，

AB=AC

</BAD=ACAD,

AD=AD

:.^ABD^ACD(SAS),

:.BD=CD,ZABD=ZACD,

:"DBC=/DCB,

•.•AB=AC,

ZABC=ZACB,

在V8EC和△口必中，

NEBC=NFCB

<NECB=Z.FBC,

BC=CB

.h8EC%b8(AAS),

:.CE=BF,

在△川?〃和A4CE中，

AB=AC

<NABF=NACE,

BF=CE

.-.△ABF^AACE(SAS),

:.AE=AF,

在△AED和△AFQ中，

AE=AF

<NEAD=NFAD,

AD=AD

.•.△AEZ注4A㈤(SAS),

:.DE=DF，

在"3ED和MFD中,

DE=DF

«NEDB=NFDC,

BD=CD

.•.△BED^OT>(SAS),

・••全等三角形共有5对，

故答案为：5.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,A4S,SSS,全等三角形的对应角相等，对应边相等.

14.15

【分析】根据作图过程得出4P平分N84C,根据角平分线的性质得出OE=8=6,再根据己知线

段之比求出80,继而可得结果.

【详解】解：由作图可知：AP平分/ZMC,

•.•NC=90。，点力到AB的距离是6,

DE=CD=6,

•JBD:CD=3:2,

/.8c=60+8=9+6=15,

故答案为：15.

【点睛】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质的运用，解决本题的关键是掌握角平分线的性

质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

15.35°

【分析】根据三角形内角的三条角平分线交于一点可知，A0平分NB4C,再由角平分线的定义可以

得至lJ/ABC=2NO8C=50。，NAC8=2/OCB=60。，由三角形内角和定理求出。的度数即可得到答

案.

【详解】解：・・・NABC、NAC8的平分线交于点0,

••・八0二卜分/孙。,

・・・NA8C=2NO8C=50。，/4C8=2NOCB=60。，ZOAC=-ZBAC,

2

:.NZMC=180°-NA8CNACB=70。，

：.ZOAC=350,

故答案为：35。.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知

识进行求解.

16.见解析

【分析】根据角平分线的性质作出8Q即可.先根据垂直的定义得出/4。8=90。，故

N8P力+NP/比＞=90。.再根据余角的定义得出N4QP+N48Q=90。，根据角平分线的性质得出

ZA8Q=N〃8。,再由N8PD=Z4PQ可知ZAPQ=AAQP,据此可得出结论.

【详解】8Q就是所求的-ABC的平分线,P、。就是所求作的点.

证明：・.・AD_L8C

：.ZADB=90Q,

・•・/BPD+/PBD=90。.

*/N84c=90。，

，&QP+Z48Q=90。.

"BQ=NPBD,

，乙BPD=NAQP.

ZBPD=/APQ,

：,ZAPQ=ZAQJ\

・•・AP=AQ.

【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键.

17.见解析

【分析】由已知容易求证△OBDg^OAD(SAS),可得N3=N4,再根据角平分线的性质定理，可

证PM=PN.

【详解】TOD平分NAOB,

AZ1=Z2.

在4OBD和^OAD中，

OB=OA

<Z1=Z2,

OD^OD

AAOBD^AOAD(SAS).

，N3=N4.

VPM1BD,PN1AD,

/.PM=PN,

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理及其逆定理，由已知能够证明

△OBD^AOAD是解决的关键.

18.DF；90；DF；HL；G等角对等边

【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角的平分线的性质定理等知识，证明

Rt^DBE^RtADCF是解题的关键.

由4。平分/847,DE±AB,DF1AC,即可根据直角三角形全等的判定定理证明

Rt^DBE^Rt^DCF,得NB=/C,即可证明.

【详解】证明：•・•A。平分NB4C,DELAB,DF1AC,

：.DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).

QDEA.AB,OFJLAC,

NBED=NCFD=旗.

在R^△BED与R^△CFD中,

BD=CD

DE=DF

NB=纹,

：.AB=AC(等角对等边).

故答案为：DF；90；DF；HL；C：等角对等边.

19.(\)PDLOA,PELOB,垂足分别为。、E；PD=PE

(2)证明见解析

【分析】(1)根据文字描述证明命题”角的平分线上的点到角的两边的距离相等“，结合已知图形即

可写出已知和求证；

(2)根据PEA.OB,得至IJNPQO=NPEO=90。，从而利用两个三角形全等的判定定理得

到△PDOgZXPEO(AAS),最后利用两个全等三角形的对应边相等得到?。=庄.

【详解】(I)解：已知：如图，NAOC=/8OC,点P在OC上，PDLOAPE±OBf垂足分别为。、

E：

求证：PD=PE.

(2)证明：VPDLOA,PEA.OB,

：,ZPDO=ZPEO=90°,

在和APEO中，

ZPDO=ZPEO

«NAOC=NBOC,

OP=OP

：./\PDOAPEO(AAS),

JPD=PE，

【点睛】本题考查证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的解法步骤，涉及文字描述的

儿何证明题的己知和求证的书写、两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定

理及相关性质是解决问题的关驶.

20.(1)33。(2)证明见解析

【详解】(1)解：VAB/7CD,AZACD+ZCAB=180°.

又・・・NACD=114。，AZCAB=66°.

由作法知，AM是NACB的平分线，AZAMB=^ZCAB=33°.

(2)证明：:AM平分NCAB,AZCAM=ZMAB,

VAB/7CD..\