角的平分线 跟踪练习-2024人教版八年级数学上册（含答案）

14.3角的平分线跟踪练习

初中数学人教版（2024）八年级上册

一、单选题

1.如图，在四边形A8C。中，6。是它的对角线，AD=CL若BD平分/ABC,ZA=119。，则/DCB

的度数为（）

A

-----------------xc

A.62°B.61°C.60°D.59°

2.如图，AP平分刊）_1,4。于点。，若尸。=4,5,点E是边上一动点，关于线段PE叙

述正确的是（）

上

AEB

A.P£=4.5B.PE>4.5C.PEW4,,5D.PE>4.5

3.如图所示，在VABC中，AO平分NBAC,DEJ.AB1二A8于点石，S3BC=15,DE=3,AB=6,

则AC的长是（）

A

“Dc

A.4B.5C.6D.7

4.如图，在四边形45C£>中，ZA=90°,AD=2,BC=4,对角线6。平分ZA4C,则△38的

面积为（）

A

B

A.3B.4C.5D.6

5.如图，在心“BC中，ZC=90°,A。平分/8AC,交BC于点。，A8=10,5,w/,=15,则CQ

的长为（）

BD

A.3

6.纵横交错的公路和铁路将AB,C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路

的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（）

A.VA4C的三条高线的交点B.VAAC的三条中线的交点

C.V八AC的三条角平分线的交点D.VHBC的三边垂直平分线的交点

7.如图，AO是V48C中NK4C的平分线，DEJ.AB交AB于点、E,。产工AC交AC于点凡若

3

S△a8c=7,DE=-tA4=5,则AC的长为（）

8.如图，点。是△A8C中N8C4,NA8C的平分线的交点，已知MABC的面积是12,周长是8,则

点O到边BC的距离是（）

BDC

A.1B.2

C.3D.4

9.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20,其三条角平分线将AABC分为三个

三角形，则SAABO：SABCO：S”：AO等于

A.1：1：1B.1：2：3

C.2：3：4D.3：4：5

10.如图，在V/WC中，ZA=90°,AB=2,BC=5,80是—ABC的平分线，设和△BOC的

面积分别是S2f则Ed?的值为（）

A.5:2B.2:5C.1:2D.1:5

II.如图，射线OC是N4OA的角平分线，。是射线OC上一点，。尸_LOA于点P,DP=5,若点。

是射线08上一点，OQ=3,则A。。。的面积是（）

A.6.5B.7.5C.8D.10

12.如图，在V/WC中，44二100。，尸是VA8C内一点，过点尸作P£>_LAB于点。，PELBC于点

E,P产_LAC于点尸，若PD=PE=PF,则—BPC的度数为（）

A.110°B.120。C.130°D.140°

18.已知四边形ABCZ),NS-90，NBA。+NOW)=180。，NN8+NAS=180。，AB=3,RC=4,

AC=5,则四边形ABC。的面积是

D

BC

三、解答题

19.已知砒_LAC于E,于F,BE、b相交于点。，若BD=CD.求证：40平分NZMC.

B

20.如图，VABC的外角NCBM,NBCN的平分线交于点D,过点。作力石_LAM,DF1AN,垂

足分别为E，F.

⑴若NA=60。，ZABC=50°,求N3CO及N8DC的度数；

⑵连接AO,判断A。是否平分N8AC?并说明理由.

21.如图，及？是NA3C的平分线，AB-BC,点£在6。上，连接A£,CE,DF±AEfDG1CE,垂

足分别是F，G.

(1)求证：AABEGACBE；

(2)求证：DF=DG.

A

BC

22.【习题回顾】(I)如下左图，在AA8C中,跖平分448C,CE平分NAC8.NA=64。，贝JNB反'=

【探究延伸】在A48C中，A/平分N84C、BI平分NABC、C7平分N8C4相交于点/,过点/作

D/1/C,交AC于点。.

(2)如上中间图，求证：ZAD/=ZA7B：

(3)如上右图，A48C外角N'ACE的平分线C尸与小的延长线交于点尸.

①判断加与C/的位置关系，并说明理由；

②若N84C=90。，试说明：Q=CF\

23.如图，C为线段A8上任意一点(不与A、8重合)，在A8的同侧分别作△AC。和△8CE,CA

=CD,CB=CE,N4C。与N8CE都是锐角，且N4CO=N8C£,连接4E交C。于点M,连接3D

交.CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC.

试说明：

(1)△ACE^ADCB.

(2)PC平分NAPB.

24.感知：如图1,A。平分/B4C,ZB+ZC=180°,?B90?,易知：DB=DC.

探究：(1)如图2,40平分/班C,NA8O+NACO=180。，Z4BD<90°,求证：DB=DC.

应用：(2)在图2中40平分/8AC,如果NB=60°,ZC=120°,08=2,AC=3,则A3=

iai

参考答案

题号12345678910

答案BDABACACCB

题号1112

答案BD

1.B

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性

质定理是关键.过点。作垂足分别为巴尸，证明咨RjCORHL),即

可得到答案.

【详解】解：过点。作。石_1_必,。/_1.8。，垂足分别为£F,

*/BD平分NABC,

:,DE=DF,

VZBAD=\\90,

JZDAE=180°-ZBAD=61°,

•:AD=CD,DE=DF,

・•・RuADE^RtACDF（HL）,

・••/DCB=/DAE=61。,

故选：B

2.D

【分析】本题考杳了用平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考杳了垂线段最

短.过P点作PHJLAB于H,如图，根据角平分线的性质得到/77=①>=4.5,然后根捱垂线段最

短可对各选项进行判断.

【详解】解：过P点作于H,如图,

A0平分ZC4B,PD1AC,PH±AB,

;.PH=PD=45,

,•,点E是边AB上一动点，

根据垂线段最短可知：PEN45.

故选D.

3.A

【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高,

再由S△ABD十SaAe=S^ABC,即可得解.

【详解】解：作/W'/AC于F,如图：

「八。平分N8AC,DEJ.AB,DFJ.AC,

・•・DE=DF=3,

•^LABD+SDACD~'

—x6x3+—x/\Cx3=15,

22

/.AC=4.

故选：A.

4.B

【分析】过。作OEJ_8C于E,根据角平分线的性质得出=AO=2,再根据三角形的面积公式求

出答案即可.

【详解】解：过。作OE_L8C于E,

VZA=90°,对角线平分/ABC,

JAD=DE,

•IAO=2,

工DE=2,

•/2c=4,

，SMC”=；BCOE=gx4x2=4，

故选B.

【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是

解此题的关键.

5.A

【分析】过点。作力E/A8于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得。E=CO,然后利

用^ABD的面积列式计算即可得解.

【详解】解：如图，过点。作OEXA8于E

VZC=90°,4D平分NR4C,

：.DE=CD,

：.SVABD=-ABIDE-1^10DE=15,

22

解得Z)E=3,

/.CD=3；

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的

关键.

6.C

【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.根据角平分线的性

质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案.

【详解】解：二•到三条道路的距离相等的物流仓储基地，

・••这个基地应该建在VA3C的三条角平分线的交点，

故选：C.

7.A

3

【分析】首先由角平分线的性质可知=然后由此次=力加+5',6及三角形的面积公式

得出结果.

【详解】解：:AO是AA8C中N84C的平分线，DEJ.AB于点、E,。尸/4?交AC于点F,

3

DF=DE=-

2

又•；S"Bc=Sm〉+Sja〉,AB=5,

2222

故选：A.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面枳求线段的大小是解题关键.

8.C

【分析】过点。作0E_LA4于七，。入LAC于R连接。A,根据角平分线的性质得：OE=OF=OD

然后根据△ABC的面积是12,周长是8,即可得出点。到边BC的距离.

【详解】如图，过点。作于E,OFLAC^F,连接。/1.

•.•点。是NA4C,NAC3平分线的交点，

/.OE^OD,OF=OD,UPOE^OF^OD

：.SAABC=SAABO+SABCO+SAACO=^ABOE^-；BCOD+^ACOF=yxODx(A8+8C+AC)=y

xODx8=!2

0D=3

故选：C

【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三:角形面枳求法，角的平分线上的点到角的两边的距离

相等，正确表示出三角形面积是解题关健.

9.C

【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是10,

15,20,所以面积之比就是2：3：4.

【详解】解：过点O作OD_LAC于D,OE_LAB于E,OFJ_BC于F,

丁点O是三条角平分线的交点，

.,.OE=OF=OD,

.'.SAABO：SABCO：SACAO=(yAB.(JE)：(yBC.OF)：(-AC*OD)=AB：BC：AC=10：15：20=2：3：

4,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式，解题的关键是掌握角平分线上的点到

角两边的距离相等.

10.B

【分析】过。点作OE_L8C于£,根据角平分线的性质得到OE=Z)A,然后利用三角形的面积公式

求岳：邑的值.

【详解】解：过。点作。七_18。于£如图,

:是NA8C的平分线，DE±BC,DAJ.AB,

/.DE=DA,

XDAXAB

.S[2_AB_2

S?-xDExBCBCM

2

故选:B.

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

11.B

【分析】作。EJL08于匕角平分线上的点到两边距离相等即。£=。2=5,即可求得A。。。的面积.

【详解】解：作OE1OB于E如图所示：

•••射线OC是的角平分线，OP_LOA,DELOB,

,DE=DP=5,

・•・S尔=OQxx3x5=7.5,

故选；B.

【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质等知识内容，正魂作辅助线是解题的关键.

12.D

【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得8ECP分别平分

48c乙4C8,根据三角形的内角和定理，进行求解即可.

【详解】解：：点夕作于点。，PE上BC于点E,PFJ.AC于点F,PD=PE=PF,

・•・BP,CP分别平分ZABCZACB,

・•・NPBC=-NABC/PCB=-ZACB,

22

VZA=100°,

・•・ZABC+ZACB=180°-100°=80°,

・•・NPBC+NPCB=g(NABC+ZACB)=40°,

...NBPC=180°-(/PBC+/PCB)=140°；

故选D.

13.27

【分析】作OO_LA8,OELAC,OF上BC,垂足分别为。、E、F,将△ABC的面积分为：

SdAALSdO水+^w+S4aM而三个小三角形的高O0=OE=O忆它们的底边和就是△人8c的周长，可

计算△/18C的面积.

【详解】如图，作。。，人以0E1AC,OFLBC,垂足分别为。、E、F,

VOB,OC分别平分NABC和/AC73,

：.OD=OE=OF=3f

:.SAABC=SAOBC^-SAOAC+SAOAB

=^A^OD+y\OL）（,AB+BC+AC）=^-x3x18=27,

故答案为27.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角

形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键.

14.55。/55度

【分析】根据角平分线的判定定理可得0P平分NMON,进而得出/尸ON=25。，然后根据三角形外

角和的性质，即可求解.

【详解】解：•・•%_LQN,PI31OM,PA=PB,

・••OP平分NMON,

■:/M0N=5U,

，/PON=25。,

又NOPC=30。,

・•・ZPCA=ZPON+4OPC=25°+30°=55°,

故答案为：55°.

【点睛】本题考杳了角平分线的判定定理，三角形外角和的性质，熟练掌握角平分线的判定定理是解

题的关键.

15.12

【分析】本题考查角平分线的性质，先根据角平分线的性质得出七，再将V8/组的周长转化为

BE+BC,即可得出答案.

【详解】•・•AD平分/8AC,ZC=90°,DEJ.AB,

：.CD=DE,

，YBDE的周长为BE+DE+BD=4E+（CO+4。）=4E+3C=4+8=12,

故答案为：12

16.33

【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边

的距离相等可得点。到A3、AC.8C的距离都相等，从而可得到VAAC的面积等于周长的一半乘以

OD,然后列式进行计算即可求解.

【详解】解:如图,连接。4,

A

'：OB、OC分别平分N44C和NACB,

工点。到A8、AC8C的距离都相等，

TVABC的周长是22,8_L8C于。，且。。二3,

・••5^fiC=i（4«+BC+4C）xOD=1x22x3=33.

故答案为：33.

17.15

【分析】根据作图过程得出4P平分/3AC,根据角平分线的性质得出£>£=8=6,再根据已知线

段之比求出5。，继而可得结吴.

【详解】解：由作图可知：4P平分，阴C.

•••/C=90。，点。到48的距离是6,

DE=CD=6,

•・•BD:CD=3:2,

/.8c=80+6=9+6=15,

故答案为：15.

【点睛】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质的运用，解决本题的关键是掌握角平分线的性

质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

18.21

【分析】如图，作O〃_L创交84的延长线于/作。产_LBC交BC的延长线于尸，作OE/AC于

E.首先证明力石=力/，利用面枳法求出。E,即可解决问题.

【详解】解：作。"J_R4交84的延长线于从作OF±8C交8c的延长线于凡作OE/AC于2

,//BAD+ACAD=180°,N3AD+NDAH=180°,

/.ZCAD=ZDAH,

乙BCD+4c7)=180°,乙BCD+乙DCF=180°,

・•・ZACD=ZDCF,

♦:DHXBH,DEA.AC,DF1BF,

，DH=DE=DF,

设DH=DE=DF=x,

则有：-ABDH+-BCDF=-ABBC+-ACDE,

2222

:.3x+4x=12+5x,

，x=6,

•,*S四边形ABCA)=；A8・C5+gAODE=6+15=21,

故答案为21.

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决

问题.

19.证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识.发

现并利用△〃/足△EC。是正确解答本题的关键.

先由垂直的定义得到N/*B=NO£C=90。，再证明△&?£>(-$)得到=最后根据角

平分线的判定即可证明结论.

【详解】证明：・・・8E_LAC,CF上AB,

，ZDFB=ZDEC=90°,

乂•・•/FDB=NEDC,BD=CD,

・,.△FBZ^AECZ)(AAS),

DF=DE,

又•：BELAC,CF1AB,

，AO平分/B4C.

20.(1)ZZ?CD=55°,ZZ?£>C=60°

(2)4。平分/胡。，理由见解析

【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题

的关键.

(1)根据三角形的外角可以得到N8CN和NC8M的度数，然后根据角平分线的定义得到

NBCD=-BCN,=然后计算解题；

22

(2)过点。作O”_L8C,垂足为，，根据角平分线的性质得到小=。〃=。/，再根据角平分线的

判定即可得到结论.

【详解】3)VZ4=60°,ZABC=50°,

/.ZBCN=ZA+Z4BC=110°,ZCBM=180O-ZABC=130°.

•:CD平分/BCN,平分/CBM,

・•・NBCD=-NBCN=55°,NCBD=-NCBM=65°,

22

・•.ZBDC=180°-(/BCD+NCBO)=60°；

(2)AO平分/8AC；

理由：如图，过点/)作。垂足为“，

,:BD平分4cBM,DEA,AM,DHIBC,

DE=DH.

•：CD平分NBCN,DF上AN,DH1BC,

/.DF=DH,

JDE=DF,

:.AO平分N8AC

21.(1)见解析；(2)见解析

【分析】(1)根据BD是NA8C的平分线，可得NA8E=NC8E,进而根据边角边证明△A4E2△C4E

即可；

(2)山(1)得NA£S=NCE。，从而ZAED=NCED,山/卯J.AE,DG1CE,根据角平分线上的点

到角的两边的距禽相等，可得。尸=OG.

【详解】(I):8。是N/WC的平分线，

,ZABE=/CBE,

在“IBE与△C8E中，

AB=BC

«/ARF.=ZCRF.

BE=BE

△ABEWACBE,

(2)VAABE^ACBE

ZAEB=NCEB,

JZAED=ZCED,

又•：DFA.AE,IX1LCE,

：.DF=DG.

【点睛】本题考查了角平分线的性质与定义，全等三角形的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题

的关键.

22.(1)122；(2)证明见详解；(3)①O///B,理由见解析；②理由见解析.

【分析】(1)根据三角形内角和为180。和角平分线的定义，可得NEBC+NECB,再利用三角形内角

和，即可求得N8EC的大小；

(2)根据根据三角形内角和为180。和角平分线的定义，可表达出“8,再用同样的方法表达出4411/,

即可证明；

(3)①根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出N/DC和NAb,再根据内错角相等，

两直线平行，即可得到结论；

②根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出NF和N/7C,根据等腰三角形的要相等，即

可得到结论.

【详解】(I)•••在AA8C中，跖平分乙4BCCE平分/4C8,N4=64°

/.ZEBC+/ECB=g(ZABC+/AC8)」(180。-64。)=58差

:"BEC=180。-58°=122?.

(2)•••4平分N84C、夕平分N48C,

N8AI=-N8AC,NABI=-NABC,

22

；./BAI+/ABI=g(NBAC+ZABC)=1(180°-ZACB)

=90°--ZAC5

2

・•.在DA8/中，ZA/B=180°-(Z£?A/+ZAB/)

(11

=180°-90°--ZACB=90°+-Z/1CB,

I2J2

•.•C/平分NAC8,

/.NDCjJ/ACB,

2

,:DIIIC,:.^DIC=^T,

NADJ=ZD/C+NDCI=90°+-ZACB,

2

ZAD1=ZA1B.

(3)①皿与C厂相平行，

•••。尸、F分NACE,

/.ZACF=-zTACE=-(180°-ZACfi)=90°--ZACB,

22V72

又:Z/DC=90°-ZDC/=90°--ZACB,

2

:.ZIDC=ZACF,

AD1HCF.

②ZACE=ZABC+/BAC

ZACE-ZABC=ZBAC=90°

•/ZFCE=ZFBC+ZF

:.ZF=ZFCE-ZFBC

NFCE=-4ACE/FBC=-Z45C,

22

ZF=-Z4CE--ZABC=-(ZACE-NA8C)=45°

22