空间几何体的结构、表面积与体积（六类核心考点讲义）解析版-2026年高考数学一轮复习重难点突破（新高考）

专题7.1空间几何体的结构、表面积与体积

目录

目录..........................................................1

一、5年高考•真题感悟.......................................2

二、课程标准・考情分析.....................................10

【课程标准】.....................................................10

【考情分析】.....................................................10

【2026考向预测】.................................................11

三、知识点•逐点夯实........................................11

知识点一、构成空间几何体的基本元素一点、线、面..................11

知识点二、简单凸多面体-棱柱、棱锥、棱台..........................12

知识点三、简单旋转体-圆柱、圆锥、圆台、球........................13

知识点四、组合体.................................................13

知识点五、表面积与体积的计算公式................................13

知识点六、空间几何体的直观图.....................................14

四、重点难点・分类突破.....................................15

考点1空间几何的结构特征.......................................15

考点2柱体的表面积与体积.......................................21

考点3椎体的表面积与体积.......................................24

考点4台体的表面积与体积.......................................27

考点5组合体的表面积与体积......................................30

考点6表面积与体积中的最值问题.................................33

五、必考题型・分层训练.....................................36

A、基础保分........................................................36

B、综合提升........................................................47

一、5年高考•真题感悟

1.（2024•北京•高考真题）如图，在四棱锥P-A4C。中，底面44C。是边长为4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2>/2»该棱锥的高为（）.

A.1B.2c.y/2D.73

【答案】D

【知识点】棱锥的结构特征和分类、证明线面垂直、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直

【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面改尸"L平面相S,可知POJ.平面A3CA利用等体积法

求点到面的距离.

【详解】如图，底面A8CD为正方形，

当相邻的楼长相等时，不妨设PA=PB=AB=4,PC=PD=2x/2,

分别取AB.6的中点瓦/，连接PE,PF,EF,

则且PEC£F=E,/u平面尸石尸，

可知/W_L平面PEF,且AAu平面/WC。，

所以平面P瓦'_L平面ABCD,

过产作石尸的垂线，垂足为O,即/^，比，

由平面PE"。平面A8C£>=£F,POu平面?所，

所以尸O_L平面A3CO.

由题意可得：PE=2底PF=2,EF=4,则PE?+PF?=后F？,即咫上依,

I1PFPFr-

则一PEPF=-POEF,可得尸。=-------=x/3,

22EF

所以四棱锥的高为百.

故选:D.

2.（2024•天津•高考真题）在如图五面体中，棱AD互相平行，且两两之间距离均为1.若

AD=UBE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

C.正

2

【答案】C

【知识点】柱体体积的有关计算

【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.

【详解】用一个完全相同的五面体LMN（顶点与五面体ABC-OE/一一对应）与该上面体相嵌，使得

D,N；E,M；b,L重合，

因为〃%;〃b,且两两之间距离为1.AD=1,3E=2O=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱,

该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,

=lklxlx®x4=®

V

yARC-DEF=-2v,HC—tHiIUJ

2222

故选:C.

B

3.（2024•新课标团卷•高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为右，则

圆锥的体积为（）

A.2岛B.3JJ兀C.6扃D.9小

【答案】B

【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算

24=2,点。在底面圆周上，且二面角a一4C—。为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为冗B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=242D.△R4C的面积为G

【答案】AC

【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、二面角的概念及辨析、由二面角大小求线段长

度或距离

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

【详解】依题意，ZAra=120°.PA=2,所以0尸=1,04=08=6，

A选项，圆锥的体积为：XTCX（>/5）xl=71,A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为冗xgx2=2扃，B选项错误；

C选项，设。是AC的中点，连接。2产〃，

则AC±OD、AC±PD,所以/PDO是二面角尸一AC—O的平面角，

则NPDO=45。，所以OP=O£>=1,

故AO=CO=VJ=i=&，则AC=2&，C选项正确；

D选项，PD=Vl2+12=V2»所以SsPM=gx2j5xJJ=2,D选项错误.

6.（2025•全国二卷•高考真题）一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）

内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

【答案】2.5

【知识点】圆柱的结构特征辨析、球的截面的性质及计算

【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；

【详解】

圆柱的底面半径为4cm,设铁球的半径为r,且r<4,

由圆柱与球的性质知AB-=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,

UP4/-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0.Vr<4,

r=2.5.

故答案为：2.5.

7.(2025•上海•高考真题)如图，在正四棱柱ABC。-A4GA中，5D=472,=9,则该正四棱柱的体

积为_______

【知识点】柱体体枳的有关计算

【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.

【详解】因为80=4近且四边形/WC力为正方形，故84=4,

而D4=9,故8哥+502=81,故BB、=7,

故所求体积为7x16=112,

故答案为：112.

8.(2025•北京•高考真题)某科技兴趣小组用3。打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其

中A8CQEF是一个平面多边形，平面平面A6C,平面。。工」平面A3C,AB1BC,AB//EF//RS//CD,

BC"DE//S[J/AF.若AB=BC=^AF=CD=4,KA=RF=[C=7；,D=|,则该多面体的体积为.

【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直

【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱4?/-的和四棱锥8-7775E后结合体积公式可求几何体

的体积.

【详解】先证明一个结论：如果平面aJL平面平面平面7,平面则/，八

证明：设ac/=〃，0Cy=b,在平面7取一点。，O史aQeb,

在平面V内过。作直线〃J使得，"_L〃，作直线〃，使得〃JJ),

因为平面a_L平面九％uy,故mJL。，而，ua,故，〃_U,

同理〃J_/,而帆n〃=O,〃?,〃uy,故/_Ly.

连接BE,因为A8_L8C且A/7/BC,故同理8C_LCD,EFLED,

而AB=AC=8,A/=C。=4,故直角梯形ABEF与直角梯形CBED全等，

故NBEF=NBED=45。,

在直角梯形AB瓦'中，过B作所_1防，垂足为了，

则四边形487F为矩形，且△台仄为以㈤石为直角的等腰直角三角形，

故所=a+7E=AB+37=AB+AF=12,

平面必产_1_平面平面平面45七尸二囚尸，AF1AB,

"u平面故A8_L平面RAF,

取4万的中点为M,BE的中点为U,C。的中点为V,连接RM,MU,5U,UV,

则MU//RS,同理可证用WL平面A用犷，而RWu'P面RMUS,

故平面RMUS1平面ABEF,同理平面VUS1平面ABEF,

而平面RMUSD平面VUS=SU,故SUJ•平面ABEF,

故RM"SU,故四边形RMUS为'工行四边形，故MU=RS=g(8+12)=10.

在平面中过3作8〃〃AR,交RH于H,连接HT.

则四边形为平行四边形，且RH"AB,RU=AB,故RHI/FT,RH=FT,

故四边形RFTH为平行四边形，

而B"_LA&BT±AB,BTQBH=B,BT,BHu平面BHT，

故A8_L平面BHT，故平面AA/7〃平面BHT,

^R=BH,RF=HT、AF=RT,故AARF三4BHT，

故几何体ARF-BHT为直棱柱，

而工人所=gx4x-4=3，故"A"-8"r=8x3=24,

因为AB//EF,故瓦'_L平面ARF,

而EFu平面RSEF,故平面ARF_L平面RSEF,

在平面ARb中过A作AG_LR/"垂足为G,同理可证47_!_平面尺SM,

I121121s

而3AGXRF=3,故AG=?，feV,_W7E5=-x-x-（2+4）x-=6,

由对称性可得几何体的体积为2X[24+6)=60,

9.(2024•北京•高考真题)汉代刘歆设计的“铜嘉最〃是缸合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升

量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依

次为65mm,325mm.325mm,且斛量器的高为230mni,则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

【答案】2357.5/写

【知识点】等比数列的定义、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算

【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.

【详解】设升量器的高为用，斗量器的高为外（单位都是mm），则

故生=23mm

故答案为：23mm,?mm.

10.（2023•上海•高考真题）空间内存在三点A、B、C,满足A3=AC=8C=1,在空间内取不同两点（不

计顺序），使得这两点与力、3、C可以组成正四棱锥，求方案数为.

【答案】9

【知识点】棱锥的结构特征和分类、分类加法计数原理

【分析】根据题意，先考虑止四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论VA8C为止匹棱锥的侧面

或对角面两种情况，再结合VA8C三边的轮换对称性即可得解.

【详解】因为空间中有三个点A、B、C,且A8=8C=C4=1,

不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑VA3c「边的轮换对称性，可先

分为两种大情况，即以下两种：

第一种：V4BC为正四棱锥的侧面，如图1,

此时A8,8C,AC分别充当为底面正方形的•边时，对应的情况数显然是相同的；

不妨以8C为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，

考虑到V48C三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

此时AB,3cAe分别充当底面正方形的•对角线时，对应的情况数显然也是相同的;

不好以8C为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，

考虑到VA8C三边的轮换对称性，故而总情况有3种：

综上所述：总共有9种情况.

故答案为：9.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到VABC为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三

角形的情况，结合VA8C三边的轮换对称性即可得解•.

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

（I）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际

问题.

（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.

[5年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）

圆柱的结构特征

2025年新n卷,5分与球有关的截面计算一般

圆柱表面积的有关计算

2024年新I卷，第5题,5分圆锥表面积的有关计算一般

锥体体积的有关计算

锥体体积的有关计算

2024年新H卷，第7题,5分一般

台体体积的有关计算

2023年新I卷，第12题,5分正棱锥及圆柱体的相关计算较难

2023年新I卷，第14题,5分台体体积的有关计算一般

圆锥表面积的有关计算

2023年新n卷，第9题5分一般

锥体体积的有关计算

正棱台及其有关计算

2023年新H卷，第14题,5分锥体体积的有关计算很难

台体体积的有关计算

2022年新I卷，第4题,5分台体体积的有关计算容易

2022年新I卷，第8题,5分锥体体积的有关计算简单

【2026考向预测】

（1）掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，能够解决简单的实际问题；

（2）多面体和球体的相关计算问题是近几年考查的重点；

（3）运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果，突出考查直观想象和逻辑推理.

三、知识点•逐点夯实

知识点一：构成空间几何体的基本元素一点、线、面

（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.

（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间

图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.

知识点二：简单凸多面体一棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每用邻两个四边形的公共边都互相平行，由这

些面所围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体：

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱

锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心：

（2）正四面体：所有校长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做楂台，由正楂锥截得的

棱台叫做正棱台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

正

斜棱柱四

按烈棱与底日是否叁克分类

棱柱棱

按底面多边形分类直棱柱正棱柱柱

凸

多

面长方体

体

正

方

正多面体体

知识点三：简单旋转体一圆柱、圆锥、圆台、球

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫

做圆锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转•周形成的旋转体叫做球体，简称为球(球面

距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度).

知识点四：组合体

由柱体、锥体、台体、球等儿何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

知识点五：表面积与体积计算公式

表面积公式

Su核柱=必+2s底

5斜枝柱=c7+2s鼠c'为直截面周长

柱体

表)

面S阳惟=2房产+2仃1=24r(r+/)

积

+S我

锥体

S阳注=7vr2+兀H=7ir(r+/)

£校”+s上+s「.

台体

S3=产+r2+r7+r/)

ft通直1

J求S=4乃齐0

体积公式

柱体%=s/，LI

锥体K.=-S/i

付3

体

积

台体V「g(S+4^+W)h

A

球V=-7rR-

3

知识点六：空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的。jOy,建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在

直观图中画成平行于OY,Oyf,使Zx'O'.y'=45'（或135）,它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于V轴的线段，且长度保持

不变：在已知图形平行于），轴的线段，在直观图中画成平行于尸轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横

不变，纵减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去/轴、了轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为五:4.

2、平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于•点.

四、重点难点・分类突破

考点1空间几何体的结构特征

例1、（2025•江苏南通•模拟预测）过正方体八"CD-的中心作与八G垂直的平面a，则平面。截正

方体所得的截面是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】判断正方体的截面形状

【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可.

【详解】

在正方体中，•平面ABC。，AOu平面ABC。，所以

又在正方形ABC。中，ACJ.BD,ACnCC,=C,所以8。工平面4CG，

AGu平面ACC-所以8D1AG，

由干£尸分别为BCC。的中点，所以BD//EF,

故E尸JLAG，同理NE_LAG，NEQEF=E,所以AgJ.平面EPG”MN,

且平面EFGHMN过正方体ABCD-A^C.D,的中心。.

故选：D

例2、（2025•陕西安康•模拟预测）（多选题）如图，已知正方体ABC。-A^G。1的外接球表面积为12兀,

A.正方体A8CO-AMG。的棱切球（球与正方体的楂均把切）表面积为6兀

B.平面AMG

C.在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为g

D.平面4MG截正方体ABCD-NCR所得的截面的面积为2遍

【答案】BCD

【难度】0.4

【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、判断线面平行

【分析】先由外接球的表面积计算正方体的棱长。，由面对角线为棱切球的直径即可求得棱切球的半径「，

进而得表面积，连接。户交4G「。，连接OM,即证OM//RC,由线面平行判断定理即可判断，求当底

面为正方体一个面的一半，高为棱长时，三棱锥的体积，再求当底面为正方体面对角线时，高为/?=gAG时，

三棱锥的体枳，比较体积最大即可判断C,先求平面AMG截正方体ABCD-A用GA所得的截面即可求解.

【详解】设正方体的棱长为“，由正方体的外接球的表面积为12兀，所以S=4兀R?=12TI，

解得R=6,又（2R）~=3/=4x3=/=4=a=2,

对于A：设正方体ABCD-ABGA的棱切球的半径为r,

所以（2r1=a2+/=2a2=8=>r=>/2,所以棱切球的表面积为4兀，=8兀,故A错误；

对于B：连接交AG于。，连接OM，在正方体中，。为的中点，又M为线段BC

的中点，

所以OM//RC,乂RC不在平面AMG内，QMu平面4MG，所以。平面A"G，故B正确；

I14

对干C：这样的三棱锥有两类：有3个顶点在正方体的一个面内，体积为：x：x2x2x2=1,

4eQ

三棱锥任意3个顶点不在正方体的同一面内，体积为丁-4x^=],因此三棱锥的体积最大为微，C正确；

对干D：取AA的中点为N,连接AN,NG,取B£的中点为H,连接儿从,由〃。声且=C/7,

所以四边形A"GN平行四边形，所以AH//GN,又M//M”且AA=MH,所以四边形伍为平行

四边形，

所以AM//%"，所以4M//NG，所以平面AMGN为平面AMG截正方体48CO-A8IGA所得的截面，

又正方体的棱长为2,所以A"=MG=GN=24=G,所以四边形4MC;N为菱形，

又AC、=2底MN=20所以四边形AMGN的面积为gx26x2夜=26，故D正确，

故选：BCD.

【变式训练1】、（2025•内蒙古包头•模拟预测）如图，正方体A8CQ-A4GA的楂长为2,瓦尸分别是梭

A£）,OA的中点，点？是底面A8CO内一动点，则下列结论正确的为（）

D]G

A.不存在点尸，使得外〃平面/WCQ

B.过丛•三点的平面截正方体所得截面图形是五边形

C.三棱锥G-A4P的体积为4

D.三棱锥尸-ACZ）的外接球表面积为9n

【答案】D

【讲度】0.65

【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面平行

【分析】对于A,找到中点为点易得FP”平面ABCR,排除A项；对于B,作出截面并判断形状

即可排除；对于C,利用等体积法转化，结合三棱锥体积公式即可判断；对于D,根据三棱锥的墙角模型,

将其补形成长方体，从而将三棱铢的外接球转化成对应长方体的外接球来求解.

【详解】对于A,当月为BD中点时,由三角形中位线定理可得FP//8R,

因为初二平面A8CQ,平面4BGR,所以。〃平面A8CQ.故A错误:

对于B,由中位线可得E尸〃在正方体中，易证AR//8G，所以EF//BG，

即BG就是一条截线，连GP,得截面又因E尸HBG，所以截面EBCJ•为梯形，故B错误;

对干C,点尸到平面A8CA的距离为2,

114

故匕-4「=匕-八4G=3又5乂2乂2乂2=’，故C错误：

对卜D,因DA,DC,两两垂直，

则三楂锥尸-A8的外接球可以补形成以这T边长为长、宽、高的长方体的外接球，

则外接球半径R即该长方体的体对角线的•半，即氏=立*1三=3,

22

故其表面积5=4加2=9兀，故D正确.

故选：D.

【变式训练2】、（2025•全国•模秋预测）（多选题）在棱长为2的正方体A8CD-AMCQ中，分别

为"ZCG的中点，则（）

A.MNLCB、

B.若过MN的平面。与线段AB（不含端点）相交于点则平面0截正方体所得截面是五边形

C.若已知过。的平面夕平行于平面8WN,则平面4截正方体所得截面的周长为也口

2

D.若丁为正方体A4C。-A4GA表面或内部一点，且。1_LMN,则三楂锥7-8DC体积的最大值为

4

3

【答案】ABD

【难度】0.4

【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、由平面的基本性质作截面图形、线面垂直证明

线线垂直

【分析】根据线面垂直的判定可证明平面MSN,即可求A,根据平面的性质即可作出截面判断B,根

据面面平行可得截面为四边形REGF,即可求解长度判断C,根据线线垂直以及线面垂直得平面/截正方

体所得截面为平行四边形1KBL,即可利用体积公式求解D.

【详解】取中点为S,连接MS,NS,

由于/W_L平面BCC蜴，平面8CC4，故

由于AB//MS，故4。IMS,又B£工BC.BCJINS,故8c1NS,

MScNS=S,MS,NSu平面MNS,故CB】J,平面MSN,

MNu平面MNS,故C%1MN,所以A正确.

如图所示，将线段MP向两端延长，分别交C/2CB的延长线于点G,〃，

连接NG,NH分别交D0.BB、于R.Q两点,连接RM,RNQP.QN.

平面a截止方体所得截面为五边形PQNRM,所以B1E确.

H

如图所示，取棱暇,DR,用G的中点瓦”,产,连接AH,ED「DF，BN,

过点F作直线FGHBN交直线8B「尸点G,连接GE,GF.

由是AA,，。。的中点，取D\EHAH又BNI/AH,

所以A£〃8N,AE//FG,故四边形"EGF为梯形，

又"Ea平面BMN,BNu平面BMN,故QE"平面BMN,

尸分别是A。心G的中点，故D\F〃BM,RF(Z平面BMN,BMU平面BMN,

7

故D、F/1平面BMN,QFcDiE=RE,。/u平面DtEGF,

故平面REGF//平面RMN,

则平面夕截正方体所得截面为梯AEG尸.

DiE=D】F={(AR?+AE?=y/22+l2=瓜GF=；ED、=与、

EC=如了+心目=g+出=平-

则平面夕截正方体所得截面的周长为AE+QL+/G+EG=±E匚叵，所以C错误.

112

满足条件DJ±MN的动点T的轨迹为过点2且与MN垂直的平面/,

又丁为正方体表面或内部一点，所以动点7在平面V截正方体所得的截面上运动.

如图所示，取线段A4，QC的中点K,L,连接QK,KB,BL,LD\,DN,

由于tanNCDN=tanNDD、L卷:2CDN=4DD1L,

故乙CDN+NRLD=/DQL+/D】LD=与，故RL_L,

由「平面MN£>_L平面。CCQ,DJu平面。CGR,故MDJ.DJ,

DNcMD=D,DN,MDu平面DMN,故OJ_L平面ZMW,

MNu平面DMN,则MN_LO1,同理MN_L8L.

在正方体中，由于K,L分别是A4，C。的中点，由正方体的性质可得：BLHD\K、D\L〃BK,

从而平面,截正方体所得截面为平行四边形O/BL.

114

当点T在线段"K上时，三棱锥T-5DC体积最大，且最大值为、X5X2X2X2=W，故D正询.

故选：ABD.

考点2柱体的表面积与体积

例3、（2025・甘肃白银•三模）已知圆柱的高为4,它的表面积与体枳的数值之比为2,则该圆柱的体积为（）

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算

【分析】设圆柱的底面半径为根据它的表面积与体积的数值之比为2,求出「，再求体积.

【详解】设圆柱的底面半径为，，所以圆柱的表面枳为27T/+8M，体积为4兀产，

因为它的表面积与体积的数值之匕为2,所以=2,

4兀广

解得r=g，故该圆柱的体积为华.

故选：B.

例4、（2025・上海宝山•二模）已知圆柱的底面积为9%侧面积为18兀，则该圆柱的体积为.

【答案】277t

【难度】0.94

【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算

【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解.

【详解】设圆柱的底面圆的半径为「，高为〃，

nr2=9nr=3

由题意可得《解得

2nrh=18兀h=3

所以圆柱的体枳V=nr2h=27限

故答案为：27兀.

【变式训练3】、（2025・贵州贵阳•模拟预测）半径为1的球O内切于正三棱柱ABC-ABC，则该正三棱

柱的体积为（）

A.2GB.46C.6&D.8囱

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】由题意求出正三棱柱的高，底面边长，底面高，即可求出其体积

【详解】因为球与上下底面相切，所以三棱柱的高〃=2r=2,

由上往下看•，球的大圆面是正三角形的内切圆，

如图，等边三角形A'8'C的内切圆为圆。，设EC中点为“，则O”|=；|A7/|=1,

="•.静|=sin60。=日,

/.|A^|=2x/3,即4B=26,

■,•%c-MG=S,小.〃=5X26X3X2=.

【变式训练4】、（2025•北京•模拟预测）正四面体A8C。中，楂长为4,则此四面体的表面积为

点例为4。中点，过用的截面。与棱A4平行，点。在截面a上，若。到棱相和棱C。的距离都为d,则

d的一个取值为.

【答案】1673V2（答案不唯一，在区间［"⑹中即可）

【难度】0.65

【知识点】棱锥中截面的有关计算、锥体体积的有关计算

【分析】先根据正四边体的表面积的求出，求出表面积，再根据异面直线之间的距离，求出距离的最小值.

【详解】正四面体棱长为4,四个面都是正三角形，则三角形边长为4时，高为26，则面积为白26、4=46,

则表面积为4X4X/5=16X/J.

如图所示，作A8,CO的中点£凡连接EC,EF,ED,FB,FA,

在正四面体中EC=ED=FB=FA=243,所以△比7），△尸加为等腰三角形,

所以所_LAB,EF1CD,则EF是异面直线AB,CD之间的距禽,

可知在△EF3中，EB=2,BF=2底EB1EF,所以£尸=痴，F=2夜，

所以平面。过ADAC,8C中点时，d取得最小值，最小值为及.

过点〃作MGJ.A8,在等边△4B。中，MG=；ED=B

所以截面上的点到棱A8距离最大值为6,同理截面上的点到校8距离最大值为右，

所以"取范围为[JI6],故4的一个值可取

故答案为：16石；72

考点3锥体的表面积与体积

例5、（2025•广东惠州•模拟预测）已知圆锥的侧面积为2兀，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为

（）

A.75B.—C.2D.3

2

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】圆锥表面积的有关计算

【分析】设圆锥的底面半径为「，圆锥的母线长为/，根据已知条件求出/、厂，再利用勾股定理可得答案.

【详解】设圆锥的底面半径为小圆锥的母线长为/,

由算/=2兀r，得/=2＞，又5测=兀八2厂=2兀，'=2兀，

所以产=1，解得厂=1，1=2；

所以圆锥的高为力=1/2_/=拉-产=6

故选：A.

例6、（2025•浙江•模拟预测）已知三棱锥的侧棱两两夹角都等于60,三个侧面三角形的面枳分别为品S?邑,

满足S,=2s2=2S3=6，则三棱锥的体积是.

【答案】旦

3

【难度】0.65

【知识点】锥体体积的有关计算

【分析】首先根据三角形面积公式求出三条侧棱的长，然后根据三棱锥体积公式可求出三棱锥的体积.

【详解】设三棱锥的三条侧棱长分别为。,4c.

根据三角形面枳公式可得：

5,=1^sin60=V3,所以M=4①；

S,=—besin60=,所以Z?c=2②；

222

S3=—flcsin60J=^~»所以ac=2③；

22

①②③相乘可得而c=4④，然后用④除以每个式子可求得：

a=。=2,c=1.

cosZAPC=—C-AC，2-=-,解得AC=G，因为尸4=a=2,PC=c=l,

lac2

所以根据勾股定理PA'PC'CA?,所以PCJ.AC.

同理PC_L8C,又ACc8C=C,所以尸C_L平面ABC

又PC=1,PB=2,根据勾股定理可得=二？'=有.

在三角形R48中，根据余弦定理，PA2IPB2AB?ZAP8,

所以4+4-A4=2X2X2XG=4,解得AZ?=2.

2

所以在AABC中，AC=BC=&AB=2,所以△ABC中底边AB的高为百二！=&.

所以S^ABC=—X>4fix/z=-x2x72=5/2.

所以丫=gs9A8clpc|=gx

故答案为：巫.

3

【变式训练5】、（2025•陕西西安•二模）已知正四棱锥P-人AQ的底面边长为6,体积为42,则该四棱

锥的侧面积为.

【答案】60

【难度】0.85

【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算

【分析】由体积公式求出高，再由勾股定理求出斜高，然后可得侧面积.

【详解】设正四棱锥的底面边长为明高为h,斜高为"，

由题意可得48=』/〃=1x62/=48=0=4,

33

所以斜高〃==J16+9=5,

所以该四棱锥的侧面积为4x2x6x5=60.

故答案为：60.

【变式训练6】、（2025•海南海口•模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的

表面积与圆锥的内切球表面积之匕为（）

393>/627

2448

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】根据圆锥和它的内切球的性质，做出轴截面，求出内切球半径和底面半径之比，求出圆锥的表面

积与圆锥的内切球表面积之比.

【详解】

o

如图所示，作圆锥轴截面△Q48及其内切圆P,与三角形切于A1,N两点，

设圆锥底面半径为R,内切球半径为「，则。1=2R,由勾股定理易知ON=6/?,

所以在△。仞夕中，MP=r,OP=®T,

由二角形内切圆可得△。〃〃〜△。八人，可得”=缥，即立七［=二，化简得,二正大,

OAAN2RR3

圆锥表面枳为S4=L2R♦2兀/?+加2=3兀川，内切球表面枳S内=4兀，=4兀

'、2

S我_3nR2_9

则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比==

3

故选：B.

考点4台体的表面积与体积

例7、（2025•湖南湘潭一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，AC=6,若底面A8C水平放置时，水面

恰好过侧棱AA的中点，当侧面A4罔8水平放置时•，水面恰好与AC交于点。，则AO等于（）

AA\

A.2B.4C.3忘D.6-3夜

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】柱体体积的有关计算

【分析】由题意可判断水的体积为三棱柱体积的一半，由此结合棱柱的体积，即可求出答案.

【详解】若底面ABC水平放置时，水面恰好过侧棱AA的中点,

设棱柱48C-A8C的体积为V,则水的体积为:V；

当侧面AA耳8水平放置时，三棱柱有水部分的体积为:V,

则无水部分为水平放置的小三棱柱CDE-GG”（一侧面为水面），其体积为:V,

由干三棱柱CDE-CfiH和三棱柱ABC-A的高相同，

故八叱，由于DE//46，则△C£>ES4C44，

故£2=正，而AC=6,敬CD=30,故AD=6-3日

CA2

故选：D

例8、（2024•辽宁•模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4,母线与下底面所成的角为45。，则

该圆台的侧面枳为.

【答案】12&兀

【难度】0.85

【知识点】圆台表面积的有关计算、求线面角

【分析】根据题意画出圆台的轴截面图，并求棱长，进而利用圆台的侧面积公式求解即可.

【详解】圆台的轴截面如下图：

因为母线与下底面所成的角为45。，所以母线长为2&，

所以圆台的侧面积为：7t（2+4）x2x/2=127271.

故答案为：12&九.

【变式训练7】、（2025•四川成都•模拟预测）已知正四楼台的上、下底面面积分别为4和16,侧棱长为后，

则该正四棱台的体积为（）

A.-B,竺四C.56