空间几何体的结构、表面积与体积（六类核心考点讲义）原卷版-2026年高考数学一轮复习重难点突破（新高考）

专题7.1空间几何体的结构、表面积与体积

目录

目录......................................................1

一、5年高考•真题感悟.....................................2

二、课程标准・考情分析....................................4

【课程标准】......................................................4

【考情分析】......................................................4

【2026考向预测】..................................................4

三、知识点•逐点夯实......................................5

知识点一、构成空间几何体的基本元素一点、线、面...................s

知识点二、简单凸多面体-棱柱、棱锥、棱台...........................5

知识点三、简单旋转体-圆柱、圆锥、圆台、球.........................6

知识点四、组合体..................................................6

知识点五、表面积与体积的计算公式.................................6

知识点六、空间几何体的直观图......................................7

四、重点难点・分类突破....................................8

考点1空间几何的结构特征........................................8

考点2柱体的表面积与体积........................................9

考点3椎体的表面积与体积.......................................10

考点4台体的表面积与体积.......................................11

考点5组合体的表面积与体积......................................11

考点6表面积与体积中的最值问题.................................13

五、必考题型・分层训练...................................14

A、基础保分........................................................14

B、综合提升........................................................16

一、5年高考•真题感悟

1.（2024•北京•高考真题）如图，在四棱锥P-/WC£>中，底面A4CO是边长为4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2>/2»该棱锥的高为（）.

A.1B.2c.V2D.x/3

2.（2024•天津•高考真题）在如图五面体"C-OEF中，棱A。,8瓦。厂互相平行，且两两之间距离均为1.若

AO=LBE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

GV3IGn3>/31

642242

3.（2024•新课标回卷•高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为豆，则

圆锥的体积为（）

A.2底tB.36式C.6GD.9G%

4.（2023•全国乙卷•高考真题）已知圆锥PO的底面半径为G，。为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，

404=120。，若二皿的面积等于生8,则该圆锥的体积为（）

4

A.冗B.瓜九C.34D.3瓜兀

5.（2023・新课标0卷•高考真题）（多选题）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,四为底面直径，ZAPB=\200,

尸4=2,点。在底面圆周上，旦二面角尸一AC—O为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为入B.该圆锥的侧面积为4百几

C.AC=2亚D..•,尸4c的面积为6

6.（2025•全国二卷•高考真题）一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）

内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

7.（2025•上海•高考真题）如图，在正四棱柱ABC。-A瓦GA中，=472,DB.=9,则该正四棱柱的体

积为_______

8.（2025•北京•高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其

中ABCDEF是一个平面多边形,平面AFR，平面ABC,平面C。?；：1平面ABC,AB1BC,AB//EF//RS//CD,

7

BC//DE//STn//A/.若4K=8C=8,A/=CO=4,ZM=Rb=7J）C==工，则该多面体的体积为.

9.（2024•北京•高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量〃是畲、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升

量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容枳成公比为10的等比数列，底面直径依

次为65mm,325mm,325mm,且斛.量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

10.（2023•上海•高考真题）空间内存在三点A、B、C,满足AB=AC=8C=1,在空间内取不同两点（不

计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为.

三、知识点•逐点夯实

知识点一：构成空间几何体的基本元素一点、线、面

（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.

（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间

图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.

知识点二：简单凸多面体一棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每用邻两个四边形的公共边都互相平行，由这

些面所围成的多面体叫做棱柱.

(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱;

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱;

(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱;

(4)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱;

(5)直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体;

(6)长方体：底面是矩形的直平行六面体;

(7)正方体：棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱

锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心;

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的

棱台叫做正楂台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

正

时

棱

直校栏正棱柱柱

三棱柱四棱柱

凸

多

面斜平行六面体长方体

体

梗锥一正梗锥正四面体

正

方

正多面体体

知识点三：简单旋转体一圆柱、圆锥、圆台、球

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫

做圆锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面

距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.

知识点四：组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

知识点五：表面积与体积计算公式

表面积公式

=chi2stit

S科检柱=c7+2s耗(<?'为直截面周长

柱体

)

4I//,

UE2"

S闵铀=2^r2+=2^r(r+/)

锥体

表2

SlrJW=Trr+7trl-7tr[r+/)

面k

积

，：枝台=；〃3+4)力+51.+5卜

台体

5品=欣产+r2+r'l+rl)

球S=4/rR2

体积公式4

柱体匕=Sh

ftLi

匕=卜

锥体

加3

体4

积

匕=%+尽+S)h

台体

347\

球V=-7[Ry

3©

知识点六：空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主耍步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的3,Oy,建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对立图形.在已知图形平行于x轴的线段，在

直观图中画成平行于OY,0^,使NfO'.y'=45（或135）,它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于V轴的线段，且长度保持

不变；在已知图形平行于），轴的线段，在直观图中画成平行于），'轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横

不变，纵减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去£轴、），'轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为拒:4.

2、平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.

四、重点难点・分类突破

考点1空间几何体的结构特征

例1、（2025•江苏南通•模拟预测〕过正方体的中心作与AG垂直的平面则平面。截正

方体A8CO-ABGA所得的截面是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

例2、（2025•陕西安康•模拟预测）（多选题）如图，已知正方体的外接球表面积为12兀,

A.正方体ABC。-A4GR的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为6兀

B.067/平面人MG

C.在该正方体的8个顶点中狂选4个构造一个三棱锥，则该三楂锥体枳的最大值为?

D.平面4MC截正方体ABCD-A4CQ所得的截面的面积为2戈

【变式训练1】、（2025•内蒙占包头•模拟预测）如图，正方体A8C。-AMG2的楂长为2,瓦尸分别是楂

AROA的中点，点尸是底面A8CO内一动点，则下列结论正确的为（）

D

]G

A.不存在点尸，使得分"平面ABCQ

B.过仇£尸三点的平面截正方体所得截面图形是五边形

C.三棱锥G-AB/的体积为4

D.三棱锥尸-4C。的外接球表面积为加

【变式训练2】、（2025•全国•模也预测）（多选题）在棱长为2的正方体八八四CQ中，"，N分别

为a/xcq的中点，则（）

A.MNLCB、

B.若过MN的平面。与线段AB（不含端点）相交于点产，则平面1截正方体所得截面是五边形

C.若已知过"的平面夕平行于平面8MN,则平面/截正方体所得截面的周长为阻它

2

D.若丁为正方体A3C。-A4GR表面或内部一点，且DXJ.MN,则三校锥7-8DC体积的最大值为

4

3

考点2柱体的表面积与体积

例3、（2025•甘肃白银•三模）已知圆柱的高为4,它的表面积与体积的数值之比为2,则该圆柱的体积为（）

16K64n16兀

A.

~9~B-V

例4、（2025・上海宝山•二模）已知圆柱的底面积为9兀，侧面积为18兀，则该圆柱的体积为

【变式训练3】、（2025・贵州贵阳•模拟预测）半径为1的球。内切于正三棱柱ABC-A4G，则该正三棱

柱的体积为（）

A.2石B.4x/3C.6行D.86

【变式训练4】、（2025•北京•模拟预测）正四面体A8C。中，棱长为4,则此四面体的表面积为；

点加为8。中点，过例的截面。与棱A8平行，点P在截面。上，若P到棱A8和棱C力的距离都为4,则

d的一个取值为.

考点3锥体的表面积与体积

例5、（2025•广东惠州•模拟预测）已知圆锥的侧面积为2兀，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的而为

（）

A.6B.—C.2D.3

2

例6、（2025•浙江•模拟预测）已如三楂锥的侧棱两两夹角都等于60，三个侧面三角形的面积分别为

%%S3,满足5；=2S2=2S；=6,则三棱锥的体积是.

【变式训练5】、（2025•陕西西安•二模）已知正四棱锥的底面边长为6,体积为48,则该四棱

锥的侧面积为

【变式训练6】、（2025♦海南海口•模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的

表面积与圆锥的内切球表面积之匕为（）

3瓜27

AB-7Lr・------D.

-I4T

考点4台体的表面积与体积

例7、（2025・湖南湘潭・一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，AC=6,若底面48C水平放置时，水面

恰好过侧棱AA的中点，当侧面期8/水平放置时，水面恰好与AC交于点。，则AO等于（）

c.3yliD.6-3及

例8、（2024•辽宁•模拟预测）己知圆台的上、下底面半径分别为2和4,母线与下底面所成的角为45。，则

该圆台的侧面积为

【变式训练7】、（2025•四川成都•模拟预测）已知正四楂台的上、下底面面积分别为4和16,侧棱长为通，

则该正四棱台的体积为（）

A.—B.C.56D.28«

33

【变式训练8】、（2025•山东临沂•三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4,体积为生虫兀，则该圆

3

台的侧面积为（）

A.12兀B.187rC.247rD.36n

考点5组合体的表面积与体积

例9、（2025•北京•模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、

四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所

示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱

台的组合体.已知正四棱台侧棱、卜.底的长度（单位：dm）分别为4,6,侧面与底面所成二面角的正切值为

祀,正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（）

A.346+8(10?B.3473+44dm2

C.34>/3+48dm2D.346+8dm?

例10、（2023•广东•模拟预测）沙漏是古代的•种计时仪器，根据沙子从•个容器漏到另••容器的时间来计

时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，

若该沙漏高为6,沙子体积占该沙漏容积的二，则沙子堆积成的圆台的高（）

16

【变式训练9】、（2022•河南安阳•模拟预测）正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各

个多面角都是全等的多面角.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、

正八面体、正十二面体和正二十直体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球。的

【变式训练10】、（2024•云南昆明•模拟预测）某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四

棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为2cm,这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为cm3

考点6表面积与体积中的最值问题

例11、（2025•江苏•模拟预测）已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为2,。为线段封上一点，SD=2DC,

SALBD.设三棱锥S-A8c外接球为球0,过。点作球0的截曲a,则截曲a面积的最小值为（）

4加、8兀c4冗c8%

AA.—B.—C.—D.—

9933

例12、（2025・湖南•二模）在正三棱柱ABC-中，48=惧=6,E为线段C0上的动点，D为BC边

上靠近8的三等分点，则三棱锥人-瓦坦的外接球体积的最小值为（）

A.32&B,幽&C.”述D.10873K

2727

【变式训练11】、（2025•湖南•模拟预测）如图，正方形A4c。的边长为4点.现沿对角线8。将△A3。翻

折到“V3O的位置，使二面角A—4。-C成直二面角.瓦尸分别为人'。1。的中点，点4,8,仁。四点都在

球。的表面上，则过直线律的平面截球。所得截面圆面积的最小值是.

【变式训练12】、己知正六楂柱AHSEF-A8c2EE的各个顶点都在半径为A的球面上，一个能放进该正

R

六棱柱内部的最大的球的半径为若他=2,则当£最小时，该正六棱柱的体积为

r

五、分层训练

基础保分

1.12025•北京大兴•三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体.如

图，在羡除A8CD所中，底面A6c。是正方形，EF回平面438,EF=2,其余棱长都为1,则这个几何

体的体积为（）

2.（2024・四川成都,模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行

平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过

高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为

t

V=^h（S+4S（l+S）,其中S,S'分别是上、下底面的面积，S。是中截面的面积，〃为拟柱体的高.一堆形为拟

柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的

长、宽比下底的长、宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少

需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）

A.51车B.52车C.54车D.56车

3.（2025•福建漳州•模拟预测）在菱形ABC。中，AB=26,NBA。=60。，将△ABO沿对角线4。翻折至

△P8D,则当三棱锥P-8C。表面积最大时，三棱锥P-BCD外接球的体积为（）

A.9底兀B.187tC.8X/6KD.24几

4.（2025•北京海淀•模拟预测）如图，在棱长为1的正方体A4CO-A4GA中，若P为线段A/上的动点

（不含端点）.

给出下列四个结论:

①直线。尸与AC所成的角可能是

0

②平面，平面AAP

③三棱锥A-8P的体积为定值

④平面。截正方体所得的截面可能是直角三角形

其中所有正确结论的序号是.

5.点〃,N分别为三楂柱A8C-44G的棱BC,网的中点，设的面积为九平面AMN截三棱柱

45C-AMG所得截面面枳为s,五棱锥.A-CCMNM的体枳为乂，三楂柱A6C-A8c的体积为匕则

K-工=