高中数学立体几何丹德林双球模型二级结论_第1页
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高中数学立体几何丹德林双球模型二级结论1.丹德林双球的定义如图所示，在圆锥内放入两个球,它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切),切点圆分别为这两个球都与平面相切，切点分别为,丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球.如图1,设直线分别与圆锥母线交于两点,再设过点的母线分别与交于两点,由切线长定理:,,故.同理,对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点,过的母线分别与,交于两点,则.即椭圆的长轴长=切点圆之间的母线长.2.长轴长与双球半径之间的关系:设两个球的半径分别为,球心距,则如图,.3.焦距与双球半径之间的关系：如图4，设,#由于,最终求出.4.离心率与截面角之间的关系在空间中,已知圆锥是由围绕旋转得到的,我们把称为轴,轴与母线所成角为.用平面截圆锥,得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角(显然,当与平行时,),具体关系如下:(1)若,平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆;(2)若,平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线;(3)若,平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率,离心率是一个比.证明:作图如上,不妨考虑截面为椭圆的情况记椭圆的长轴为,短轴,椭圆中心为,长半轴长为,短半轴长为,作以为弦且垂直于轴的圆截面,记该圆与母线交于,与母线交于,则在截面圆中,由相交弦定理可得作圆锥的轴截面等腰三角形如图在中,由正弦定理可得同理，在中，由正弦定理可得整理可得所以离心率综上，离心率的表达式为当时，截面为抛物线：当时，截面为椭圆：(特殊情况，当时，截面为圆)当时，截面为双曲线.二、平面截圆柱：如图1,圆柱内有两个大小相同的球，分别与圆柱的底面和侧面相切，平面与两球均相切则截面曲线是椭圆，其中该椭圆的离心率为

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