排列与组合（人教A版选择性）

专题6.2排列与组合【十大题型】

【人教A版(2019)]

【题型1有关排列数的计算与证明】.............................................................2

【题型2排列数方程和不等式】.................................................................3

【题型3元素(位置)有限制的排列问题】.......................................................4

【题型4相邻问题的排列问题】.................................................................6

【题型5不相邻排列问题】......................................................................7

【题型6有关组合数的计算与证明】............................................................10

【题型7组合数方程和不等式】.................................................................II

【题型8组合计数问题】.......................................................................12

【题型9分组分配问题】.......................................................................14

【题型10排列、组合的综合问题】.............................................................16

【知识点1排列与排列数】

1.排列

(1)排列的定义

一般地,从〃个不同元素中取出皿〃?0〃，〃，机£N")个元素，并按照一定的顺序排成一列,叫做从〃

个不同元素中取出〃?个元素的一个排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素：二是按照一定的顺序排列.

②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.

③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，

这一点要特别注意.

⑶排列的判断

判断一个问题是不是排列问题的美键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从〃个不同的元素中任

取皿〃?&〃，〃,小£个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关

的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有

变化，就与顺序无关，就不是排列问题.

2.排列数

(1)排列数定义

从〃个不同元素中取出〃，机£N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个不同元素中取出

加个元素的排列数，用符号胤”表示.

(2)排列数公式

A„=n(n1)(//2)---(mn+1).这里N*,并且inSn.

(3)排列数公式的理解

①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有.〃种排法；第2步，排第2个位置的元

素,有(m)种排法;第3步，排第3个位置的元素，有(〃2)种排法；…；第〃?步，排第m个位置的元素，有

5〃汁1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有4nFX51)XS2)X...X(/”〃+I)种不同的排法.

②排列数公式的特征：第一个因数是〃，后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是〃阳+1,

共有，〃个因数.

3.全排列和阶乘

(I)全排列

特别地，我们把〃个不同元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列，这时公式中〃?=〃，

即有4：=〃x(〃1)X(H2)X-­•x3x2xI.

(2)阶乘

正整数1到〃的连乘积，叫做〃的阶乘，用〃!表示将〃个不同的元素全部取出的排列数可以写成4：二〃!，

规定01=1.

(3)排列数公式的阶乘表示

【题型1有关排列数的计算与证明】

【例1】(2023.全国•高二课堂例题)求证：=A^+1.

【解题思路】根据排列数公式证明即可.

【解答过程】由排列数公式可知，

rn!n\

+7nA『1=------+m----；----—

(n-m)l[n-(m-1)]!

n!m

=-------x1H------------

(n—?n)!n—(m—1).

n!n+1

=-------x----------

(n—77i)!n—(m-1)

_3+1)!_Am

[in+l)-7nj!n+1,

【变式11】(2023上•高二课时练习)计算：

(l)4A1+5Aj；

(2)Aj+A：+A%+A].

【解题思路】(1)(2)利用排列数公式直接计算作答.

【解答过程】(1)4A：+5Ag=4x4x3+5x5x4x3=348.

(2)Ai+A5+A^+Aj=4+4x34-4x3x2+4x3x2x1=64.

【变式12](2023下・江苏扬州•高二统考期中)计算：

(1)4AJ+5A1；

岛人3

⑵

10!

【解题思路】(1)根据排列数的计算公式计算即可；

(2)根据排列数的计算公式计算即可.

【解答过程】(l)4A：+5Ag=4x4x3+5x5x4x3=348.

/0xA"A；_10X9X8X7!_.

10!-10!一,

【变式13]（2023下.高二课时练习）求证：

（l）At+4A1=A|；

（2）A鲁+mA[7=AM].

【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立;

（2）利用排列数公式化简可证得等式成立.

【解答过程】⑴证明：A"4A3与+詈二卡4=庆队

⑵证明：A鲁+.仁=赢+缶=（黄：曹:叽田=A'

【题型2排列数方程和不等式】

【例2】（2023下•新疆和田•高二校考期末）已知3A2=4人打1,则x等于（）

A.6B.13C.6或13D.12

【解题思路】根据排列数公式，亿简计算，结合x的范围，即可得答案.

【解答过程】由题意得3x£）=4

（8-x）!（10-x）!

化简可得3=4X函枭荷,解得％=13或6,

因为329,所以“工8且"WN",故”=6.

故选:A.

【变式21】（2023下•高二课时练习）不等式A^V6AM2的解集为（）

A.[2,8]B.[2,6]C.（7,12）D.{8}

【解题思路】根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得7VxM8,结合％EN）即可求

解.

【解答过程】由蜴VA打2,可得心<6X7；；一,整理得.避―19工+84V0,解得7V工V12,

°°i8-x）!（10-x）!

又因为{二界0,解得2GW8,

综上可得7<x<8,又由x£N*所以％=8.

故选：D.

【变式22】（2023•全国•高二专题练习）已知心x=100及，贝以二（）.

A.11

【变式31】（2023・四川乐山・统考一模）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则

很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格

的数字各不相同，若中间空格已填数字4,且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至

下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（）

4

A.70B.120C.140D.144

【解题思路】根据排列的知识求得正确答案.

【解答过程】比4小的有1,2,3,共3个，从中选出2个排在4的左边和上方，方法数有A片种，

比4大的有5,6,7,8,9,共5个，从中选出2个排在4的右边和下方，方法数有Ag种，

所以不同的填法种数为属Ag=120种.

故选:B.

【变式32】（2023上•浙江•高三校联考期中）今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点

需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服

务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（）

A.18B.24C.32D.64

【解题思路】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.

【解答过程】若安排的人中没有甲，安排方法有A弓=6种，

若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，

则安排的方法有必xA?=12种，

所以总的方法数有6+12=18种.

故选：A.

【变式33】（2023上•重庆沙坪坂•高三重庆一中校考阶段练习）教务处准备给高三某班的学生排周六的课

表，上午五节课，下午三节课.若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂,

且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（）

A.216种B.384种C.408种D.432种

【解题思路】由数学、语文不能同时安排在下午，分为数学（连堂）或语文（连堂）安排在下午、数学、

语文都安排在上午，再应用分步计数及排列组合求不同的排课方式.

【解答过程】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，

若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选种安排在下午有禺A刍=8种，

再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有A：=24种，

此时共有8x24=192种；

若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有禺A；=8种，

再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，

把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有最=3种，其余三科全排有A^=6种，

此时共有8x3x6=144#；

若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有禺=4种，

将上午看作三节课，且数学不排.上午的第一节课，有最A,=4种，

再把余下的二科安排在下午作全排有Ag=6种，

此时共有4x4x6=96种;

综上，共有192+144+96=432种.

故选：D.

【题型4相邻问题的排列问题】

【例4】（2023上•黑龙江鸡西•高三校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与4名志愿者

站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）

A.720B.960C.1120D.1440

【解题思路】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解.

【解答过程】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，

先排除去丙的5个元素，共有Ag=120种排法，

再在中间的4个空隙中，插入丙，共有屐=4种插法，

所以甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有120X4XA1=960种.

故选:B.

【变式41】（2023・河南•校联考模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛

球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛

后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）

A.18种B.24种C.30种D.36种

【解题思路】分别计算内站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.

【解答过程】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有Ag=6种站法；

当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，

有AaA,Ag=24种站法，

所以一共有6+24=30种不同的站法.

故选：C.

【变式42】（2023下・贵州毕节•高二校考阶段练习）高二年级组在一次考试后，年级总分排名前6名的同

学站成一排照相，若排名为第一名与第二名的同学不站两端，第三名与第四名同学要站在一起，则不同站

队方法的种数为（）

A.36B.48C.60D.72

【解题思路】利用捆绑，先安排第一名与第二名，然后安排其他同学，由此计算出正确答案.

【解答过程】第二名与第四名同学要站在一起，将2人捆绑，

相当于5个人，中间有3个位置，安排第一名与第二名，

所以不同站队方法的种数为A,xAjxAl=72.

故选：D.

【变式43】（2023下•四川宜宾•高二统考期末）某学习小组4、B、C、0、E、F、G七名同学站成一排照相,

要求力与8相邻，并且C在。的左边，E在。的右边，则不同的站队方法种数为（）

A.120B.160C.240D.360

【解题思路】将A与8捆绑，然后要求C在。的左边，E在。的右边，结合倍缩法可得结果.

【解答过程】由题意可知，力与B相邻，则将4与B捆绑，

然后要求C在。的左边，E在。的右边，

由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为臀=笠竺=240种.

故选：C.

【题型5不相邻排列问题】

【例5】（2023•山东・统考一模）乙名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女

生也互不相邻，则不同的排法种数是（）

A.36B.72C.81D.144

【解题思路】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据

分步乘法计数原理，即可求得答案.

【解答过程】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，

将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，

故共有A弘々=6x24=144种不同的排法，

故选：D.

【变式51】（2023•贵州铜仁•校联考模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众

多业余球队参赛.现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺帆粉队必须相邻，同

时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（）种.

A.144B.72C.36D.24

【解题思路】利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法求解即可.

【解答过程】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺狮粉队看成一个整体，与余下两队先排，

有屈种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有Aj种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蝴粉队

的具体排法有A,种方法，故不同的站法有=144种.

故选:A.

【变式52】（2023上•四川成都•高三成都实外校考阶段练习）寒冬已至，大雪纷S，峨眉山顶银装素裹.成

实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中3位女生，2位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他

们排队前进，为了照顾大家安全，2位男生不能相邻，且女生甲咱猴子，不能排在最后一个，则不同的排法

种数共有（）

A.60B.36C.30D.72

【解题思路】种类一：一位男生在最后，先排女生，再排另一位男生：种类二：女生在最后，先排女生，

注意女生甲特殊，优先排列，最后男生插空，最后分类相加.

【解答过程】种类一：一位男生在最后，此时有A：=2种情况，

3位女生全排列有鹏=6种情况，

最后将剩余一位男生插入3女生所形成的4个空中，且不在女生最后，共3种情况，

所以共2x6x3=36种情况；

种类二：

男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后，

所以女生甲有A3=2种排法，

其他2为女生有A,=2种排法，

最后2男生插入3女生所形成的4个空中，且不在女生最后，共A专=6种情况，

共2x2x6=24种情况；

综上所述，共36+24=60种情况，

故选：A.

【变式53】（2023•陕西安康•校联考模拟预测）斐波那契数列，又称分割数列，指的是这样一个数列：1,1,

2,3,5,8,…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为

他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（）

A.144B.120C.108D.96

【解题思路】插空法，先排2,3,5,8四个数，再根据已知条件，分两类情况将剩下的两个I插空即可解

答.

【解答过程】命题意图本题考查排列与组合的应用.

解析先排数字2,3,5,8,有用种排法，4个数字形成5个空当.

第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1,有3种排法；

第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1,

有3种排法.所以密码个数为川X（3+3）=144.

故选：A.

【知识点2组合与组合数】

1.组合

（I）组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出〃，机£N"）个元素作为一组，叫做从〃个不同元素中取出m

个元素的一个组合.

⑵组合概念的理解

①组合的概念中有两个要点：要求〃个元素是不同的：“只取不排”，即取出的〃?个元素与顺序无关，

无序性是组合的特征性质.

②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

（3）排列与组合的联系与区别

联系:都是从n个不同元素中取出m（加W”，〃即£N*）个元素.

区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可

以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.

2.组合数与组合数公式

⑴组合数

从〃个不同元素中取出N'）个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出

加个元素的组合数，用符号C；"表示.

⑵组合数公式

①连乘表示：

这里，儿并且机

规定：G?=l.

3.组合数的性质

这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从〃个不同元素中取出皿，〃W〃，GN'）个元素后,

剩下（〃⑼个元素，因而从〃个不同元素中取"7个元素的组合，与剩下的（〃刈个元素的组合是对应的，

因此取法是一样多的.

在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.

【题型6有关组合数的计算与证明】

【例6】（2023•全国•高二课堂例题）计算：

⑴O+G；

（2）CfoC?o+C!§.

【解题思路】（1）运用组合公式进行计算:

（2）运用组合公式进行计算.

【解答过程】⑴G+C片黑+篝笨=35+35=7。：

⑵或小+C；k^S、l+l=252+l=253.

【变式61］（2023上•高二课时练习）计算:

⑴备

(2)C1-C|；

⑶c密.

【解题思路】由组合数计算公式可得答案.

【解答过程】（1）底5=联而=曰『二455；

8!7!8x7x67x6x5…

（2）喘一年二-------------=21；

3!(8-3)!3!(7-3)!66

⑶湍=200!誓2=19900.

198!(200-198)!

【变式62】（2023上•高二课时练习）已知，〃是自然数，〃是正整数，且mWn.求证:

(i)c^=crm；

(2)C黑i=C£+C；T】.

【解题思路】代入阶乘公式，化简证明.

n!n!_pm

【解答过程】（1）根据组合数公式，可以得到（^一小—'-n-

(n-?n)![n-(n-m)]!

n!_______n!_______

（2）根据组合数公式，可以得到C普+C£T?n!(n-m)!+

(7n-l)!(n-m+l)!

n!(n-m+l)n!m_n!(n-m+l+m)n!(n+】)_(n+1)!pm

m!(n-m+l)!m!(n-m+l)!m!(n-m+l)!m!(n-zn+l)!7n!(n-7n+l)!5t+l•

【变式63】（2023•高二课时练习）证明下列各等式.

⑴噂=m+l

n+l'-n+l，

（2）CS+Ci+1+或+2+…+=CJIU.

【解题思路】（1）直接利用组合数的阶乘公式对右边化简即可得到证明；

（2）利用组合数的性质公式CM1=+C/T和第=第+1，疝右边化简即可得到证明.

【解答过程】。）由优=』，知右边=鬻.硒湍枭西=君前=力

所以，左边=右边，故原式成立.

(2)由组合数的性质C公1=C7+C7T,知左边=Cj+1+Ci+1+鬣+2+…+C航Jr=禺+2-第+2+…+

_rm-1

C^-i=C2+34-...+C^-un+m

所以，左边二右边，故原式成立.

【题型7组合数方程和不等式】

[例7]（2023上•河南驻马店•高二统考期末）关于％的方程CW=C光t的解为（）

A.%=3B.x=4C.x=3且工=4D.x=3或％=4

【解题思路】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解.

【解答过程】因为C£=C光T,则2%=3%-4或2%+3=-4=11,解得％=4或x=3,

若久=4,可得/i=C&,符合题意；

若《=3,可得C&=C：i，符合题意；

综上所述：x=3或％=4.

故选:D.

【变式71】（2023•江苏•高一专题练习）若%+1-4=循，贝切等于（）

A.12B.13C.14D.15

【解题思路】根据题意结合组分数公式进行求解.

【解答过程】由C：+i-以=C和组合数公式得察长-=忘'，化简得，鲁7、一吃二!，解之得

“十’“7!（n-6）!7!（n-7）!8!（n-8）!（n-6）（n-7）n-78

n=14.

故选：c.

【变式72】(2023•江苏•高二专题练习)若第>C£,则九的取值集合是()

A.{6,7,8,9}B.{6,7,8)

C.{n\n>6},neN"D.{7,8,9}

【解题思路】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.

【解答过程】•・•◎>(：£,

.(n!>n!

••14!x(n—4)!6!x(n-6)!

(n>6

即,标一9几！。<0,解得6w九〈I。

(n>6,

VnGN*,

••n=6,7,8,9.

・•・ri的取值集合为{6,7,8,9}.

故选：A.

【变式73】(2023•高二课时练习)若整数又满足黑：+3“2=底/5,则%的值为()

A.1B.-1C.1或一1D.1或3

【解题思路】利用组合数的运算性质求解即可

【解答过程】由题可知/+3%+2=5%+5或(/+3%+2)+(5%+5)=16,

整理得/_2x-3=0或/+8%-9=0,

解得x=3或工=—1或x=1或x=­9.

(0<X24-3%+2<16

I0<5x+5<16

所以只有％=-1和％=1满足条件，

故x的值为1或一1.

故选：C.

【题型8组合计数问题】

【例8】(2023上•吉林长春•高二校考期末)将4名志愿者分别安排到45C三个社区进行社会实践活动，

要求每个社区至少安排一名忐愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到4社区，不同的安

排方法有()种

A.6B.9C.12D.36

【解题思路】根据A社区的志愿者人数进行分类讨论，然后由分类加法计数原理求解出结果.

【解答过程】①若A社区仅有志愿者甲，则剩余3名志愿者需要分成2组并分配到社区，

此时安排的方法数为：ClxA1=6种；

②若A社区还有另外•名志愿者，则先选出这名志愿者有玛种方法，

再将剩余2名志愿者分配到8,C社区有A'种方法，

根据分步乘法计数原理可知②的安排方法数为：ClxAj=6种，

所以一共有6+6=12种安排方法，

故选:C.

【变式81】（2023下•北京东城•高二景山学校校考期中）在0,1,2,3,4,5,6这7个数中任取4个数，

将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比4351大的数共有（）

A.54个B.62个C.74个D.82个

【解题思路】由题意，可分千位数为4,百位数为3：千位数为4,百位数为5：千位数为4,百位数为6；千

位数为5：千位数为6五种情况分析，结合排列数与组合数的公式，即可求解.

【解答过程】若这个数的千位数为4,百位数为3,则这个数可以足4360,4365,共2个，

若这个数的千位数为4,百位数为5,则这个数的个位只能是0,

满足条件的数共有以=4个，

若这个数的千位数为4,百位数为6,则满足条件的数共有=8个，

若这个数的千位数为5,这个数的个位只能是0,则满足条件的数共有Ag=20个，

若这个数的千位数为6,则满足条件的数共有0A2=40个，

根据分类计数原理，可得满足条件的数共有2+4+8+20+40=74个.

故选：C.

【变式82】（2023下•辽宁・高二辽宁实验中学校考阶段练习）正三棱柱的各棱中点共9个点，在其中取4个

不共面的点，不同的取法共有（）

A.114种B.117种C.120种D.以上都不对

【解题思路】作出图形，求出任选4个点的选法种数以及四个点共面的选法种数，利用间接法可求得结果.

【解答过程】如下图所示，在正三棱柱中，0、E、AG、H、R、S、T、U为相应棱的中点,

从上述9个点中任选4个点，共有弓=126种选法，

其中所选的4个点在同一侧面上，共3种情况；

若所选的4个点不在同一侧面上，且构成平行四边形，如。、E、U、S,共3种情况；

若所选的4个点构成梯形，如。、E、H、R,共6种情况.

综上所述，正三棱柱的各棱中点共9个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有126-（34-6+3）=114

种.

故选：A.

【变式83】（2023上•辽宁沈阳•高二校考阶段练习）如图，小明从街道的E处出发，先到尸处与小红会合，

再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

A.18B.24C.30D.32

【解题思路】从£到尸共有10条最短路径，从r到G共有3条路径，根据乘法原理得到答案.

【解答过程】从E到尸共有第=10条最短路径，从尸到G共有髭=3条路径，

故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为10x3=30.

故选：C.

【题型9分组分配问题】

[ft9]（2023•河北邢台・宁晋中学校考模拟预测）在第19届杭州亚运会期间，某项目有48,C,。四个不间

的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志感者，

则甲志愿者被分到4服务站的不同分法的种数为（）

A.80B.120C.160D.60

【解题思路】根据已知条件可知，肯定有一个服务站安排两个人，该问题分为两类，一类是力服务站安排两

人，一类是人服务站只安排1人，运用分类加法及分步乘法计数原理求解即可.

【解答过程】当服务站安排两人时，除甲外的其余4人每人去一个服务站，不同的安排方法有A2种，

当H服务站只安排有1人（甲）时，其余4人分成3组（211）再安排到剩余的3个服务站，不同的安排方

法有第Ag,

所以不同的安排方法有A：+或=24+36=60种.

故选：D.

【变式91】（2023・广西南宁・南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛

于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公

里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、4两

个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）

A.15B.30C.25D.16

【解题思路】当两组人数分别为1和4时，2和3时两种情况，结合排列组合知识求出答案.

【解答过程】5名志愿者分为两组，

当两组人数分别为1和4时，此时有CgA,=10种情况，

当两组人数分别为2和3时,此时有C犯弘4=20种情况,

综上，不同的安排方案总数为10+20=30.

故选:B.

【变式92】（2023上•江西•高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对

教师夫妇参与支教活动.根据相关要求，每位教师只能去••所学校参与支教，并且每所学校至少有•名教

师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（）

A.18种B.24种C.36种D.48种

【解题思路】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的

三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果.

【解答过程】先将五个人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1,

若三组的人数分别为3、1、1,则教师夫妇必在三人的一组，

则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽1人，此时，不同的分组方法数为©=3种；

若三组人数分别为2、2、1,则两人一组的有一组是教师夫妇，

只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为2、1,此时，不同的分组方法种数为釐=3种.

接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，

因此，不同的安排方案种数为（3+3）A?=6X6=36种.

故选:C.

【变式93】（2023上•山西忻州•高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们

让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运

会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人

中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（）

A.54种B.45种C.36种D.18种

【解题思路】根据全部情况中去掉不符合条件的情况即可结合排列组合求解.

【解答过程】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有此髭=90种选派方法，

若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有鬣（第+&）=18种，

同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有C式第+&）=18种，

故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，旦要求每个场洎均至少有一位党员，则不同的选派结果有

90-18-18=54,

故选：A.

【题型10排歹I」、组合的综合问题】

【例10】（2023下•河南郑州•高二校考期中）已知从左到右有5个空格.

（1）若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0,则一共有多

少不同的填法？

（2）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，间有多少种不同的放法？

【解题思路】（1）由题意可知先将数字0排好，再将其余4个数字全排列，根据分步乘法计数原理即可求

得结果；

（2）先将7个不同的小球分成5组，再按照分组分配问题进行计算即可.

【解答过程】（1）根据题意，分2步进行分析：

①第三个格子不能填0,则。有4种选法；

②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A：种情况，

则一共有4Az=96种不同的填法；

（2）根据题意，分2步进行分析：

①、将7个小球分成5组，有2种分法：

若分成2—2—1—1—1的5组，有警种分法，

若分成3一1一1一1一1的5组，有©种分组方法，

则有（密+G）种分组方法，

A2

②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有Ag种情况，

则一共有（需+G）Ag=16800种放法.

【变式101］（2023下•江苏徐州•高二统考期中）用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的五位数

（I）在组成的五位数中，所有偶数有多少个？

（2）在组成的五位数中，大于31（X）0的数有多少个？

（3）在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？

【解题思路】（1）根据当末位是0和末位是2或4,结合分类计数原理，即可求解：

（2）分万位是4、万位为3千位为2,4和方位为3千位为1,结合分类计数原理，即可求解.；

（3）先排0,1,3,根据。排在三个数的第一位和。不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解.

【解答过程】（1）解：根据题意，当末位是。共有A*个，当末位是2或4共有个，

所以共有偶数为A：+C1CM1=60个.

（2）解：由题意，万位是4共有A：个，万位为3千位为2或4共有©AW个，

万位为3千位为1共有屈个，

所以大于31（）（X）的数共有A*+CjAl+Af=42个.

⑶解:先排0,1,3,第一种:。排在三个数的第一位，共有膨个;

第二种。不排在三个数的第一位，共有6AgA%个

所以数字2和4不相邻的数共有及废废+废彩圈=60个.

【变式102］（2023下•江苏泰州商二统考期末）某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本

班的5名男选手和4名女选手中院机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好

团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？

（I）男选手中必须参加，且第4位出场；