角平分线的性质与判定-2023学年八年级数学上册（人教版）

必考点05角平分线的性质与判定

经典必考题

•题型一角的平分线的性质的应用

★★★1、解决求线段长问题

【例题1】（2021春•东港市月考）△八中，ZC=90°,人D为角平分线，BC=64,RD：DC=9：7,

求。到4B的距离.

【分析】根据题意求出CD的长，根据角平分线的性质得到答案.

【解答】解：■:BD：DC=9：7,BC=64,

ACD=^x64=28,

・・・AO为角平分线，ZC=90°,DELAB,

・・・OE=OC=28.

答:。到A8的距离为28.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

【例题2】（2022•湖北模拟）在RtZk43C中，ZC=90°,作NCA8的平分线AP交友?于点。.若48=10,

SAABD=20,则C。的长为.

【分析】过点。作DH上AB于从根据角平分线上的点到角的法边距离相等可得OH=CD,然后利用^ABD

的面积列式计算即可得解.

【解答】解：如图，过点。作川/_L4B于”，

VZC=90°,A。平分N84C,

・•・S△ABD=率B・DH=ixlO-D/7=2O,

解得。”=4,

・・・CO=4,

故答案为:4.

【点评】本题考杳了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面枳，熟记性质是解题的关键.

【例题3】（2022春•陈仓区期末）如图，已知8D是△ABC的角平分线，OE_L4C,垂足为E,AB=4,

△AB。的血积是4,则。石的长是（)

C.4D.无法计算

【分析】过。作。尸_L8A交84的延长线于尸，根据三角形的面积公式得到。F=2,根据角平分线的性质

即可得到结论.

【解答】解：过。作DFLBA交BA的延长线于F,

,.，4B=4,ZX/W。的面积是4,

工。尸=2,

•••8。是△ABC的角平分线，DE1BC,

:,DF=DE=2,

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

★★★2、解决周长问题

【例题4】（2021秋•晋江市期末）如图，在RSA3C中，ZC=90°,/8AC的平分线AE交3c于点E,

EO_L48于点。，若△ABC的周长为12,AC=3,则aBOE的周长为（）

【分析】根据角平分线的性质得出。£=C£,AD=AC=3,再根据三角形的周长公式即可求解.

【解答】解：在RtZkAAC中，N'C=90。，N84C的平分线AE交于点£于点。，

:.DE=CE,AD=AC=3,

「△ABC的周长为12,

即AB+BC+AC=AD+BD+BE+CE+AC=\2,

・・・3+8£>+8£+C£+3=12,

:.BD+BE+CE=6,

即BD+BE+DEW

••.△BOE的周长为6,

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

【例题5】如图，在△48C中，NA8c=2NC,4。平分NA4C,DE±AI3（£在之间）,DF±BC,

已知3。=5,DE=3,CF=4,求△。尸C的周长.

【分析】根据角平分线的性质可证NA6Q=NC8O,即可求得/8Q=NC,即BD=CD,再根据角平分

线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF,即可解题.

【解答】解：•••NA8C=2NC,BD平分/ABC,

:・/CBD=/C,

：.BD=CD,

•・・B。平分NABC,

:.DE=DF,

A

OMHV

•・•点P是NAOC的角平分线上一点，PDLOA,PHA.OC,

,PH=PD=2,

•・•点M是射线OC上一动点，

，PM的最小值为2,

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了垂线段最短.

★★★4、解决面积问题

【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，AO是△A8C中N8AC的平分线，DEYAB,交AB于点、E,

,AC=4,则AAOC的面积是（）

C.8D.10

【分析】先根据角平分线的性质得到。尸=。七=2,再利用三隹形面积公式即可求解.

【解答】解：是/8AC的平分线，DF1AC,

：,DF=DE,

VDE=2,

：.DF=2,

11

ASAADC=|ACXDF=1x4x2=4,

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

【例题9】（2022秋•吴江区校级月考）如图，在aABC中，/8=90。，8。=3,AC=8,AO为NBA。的

角平分线，则三角形AOC的面积为（）

C.12D.15

【分析】过。作。E_L4C于E,根据角平分线性质得出8O=Z）E=3,再利用三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：过。作OE_LAC于区

是NB4C的角平分线，N8=90。(DB±AB),DE±AC,

:.BD=DE,

・20=3,

：.DE=3,

A5AADC=%C・QE=ix8x3=12,

故选：C.

【点评】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.

【例题10】（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△A8C中,CQ是A3边上的高，BE平分NABC,交CD

于点E,若BC=16,DE=6,则ABCE的面积等于（）

A.36B.48C.60D.72

【分析】先作辅助线E产_L8C交于点F,然后根据角平分线的性质，可以得到。E=石人再根据三角

形的面积公式，即可求得aBCE的面积.

【解答】解：作E/_L8C交BC于点R

D.

E

B

•・•CD是A8边上的高,

：.CD±BA,

:BE平分NA3C,

:.DE=EF,

，：DE=6,

:・EF=6,

V5C=16,

11

A5ABCE=^BGEF=・X16X6=48,

故选：B.

【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF_L8C,求出E/的长.

★★★5、解决证明问题

【例题11](2020秋•肇州县期木)如图,在△A4C中，AD是N8AC的角平分线,DELAB,DE.LAC,

。是8。的中点，证明：ZB=ZC.

【分析】先根据角平分线的性质，可得。£=。凡再证得太△gRSCF。，即可得出结论.

【解答】证明：・・・。是BC的中点，

:・BD=CD,

〈AD是△ABC的角平分线，DE1AB,DF1AC,

:・DE=DF,/BED=NCFD=90。,

在RtABED和RsCFD中，

(BD=CD

WE=0尸

ARtACFD(HL),

:"B=/C.

【点评】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质，证明三角

形全等是解题的关键.

【例题12】（2022春•秦都区期末）如图，点3,。分别在NA的两边上，点。是NA内一点，DEYAB,

DF±AC,垂足分别为E,R且A8=AC,DE=DF.求证：BD=CD.

【分析】根据DE_LA8,DFVAC,DE=DF,可知NC4O=N8A。，然后根据SAS证明△AOCgZkAOB即

可证明结论.

【解答】证明：连接4。，

*：DELAB,DFLAC,DE=DF,

・・・N84Q=NC4Z）,

在^4。。中

AB=AC

/.BAD=Z.CAD1

AD=AD

•••△ABQg△AC。，（SAS）,

【点评】本题主要考杳了全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是

解决问题的关键.

【例题13】（2022春•海阳市期末）如图，AO〃3C,NQ=90。,NCP8=30。，ND43的角平分线与NC8A

的角平分线相交于点P，且。，P，。在同一条直线上.

（1）求/附。的度数；

（2）求证：P是线段CO的中点..

D

P

/\7C

AB

【分析】(1)根据平行线的性质得到/C=180。-ZD=90°,Nn4B+/A8C=180。，再计算出/PBC=60。,

则利用角平分线的定义得到N4BC=120。，所以ND4B=60。，然后利用角平分线的定义得到/必。的度数;

(2)过尸点作?£_LA6于£：点，如图，根据角平分线的性质得到尸PE=PC,从而得到尸O=〃C.

【解答】(1)解：・・・AO〃8C,

AZC=1800-ZD=180°-90°=90°,

•・・NCPB=30。，

AZPBC=90o-NB=60°,

平分N4BC,

JNA8C=2NPBC=120。，

VAD//BC,

••・ND48+/A8C=180。，

・・,NQA3=180°-120°=60°,

XP平分NZMB,

.,.ZMD=|zDAfi=30°：

(2)证明：过P点作PE_L48于E点，如图，

•・,"平分NQAB,PD±AD,PE上AB,

:・PE=PD,

•・・BP平分NABC,PCLBC,PELAB.

:.PE=PC,

：,PD=PC,

・・・P是线段CD的中点.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考杳了平行线的性质.

【解题技巧提炼】

1、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

••注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,

有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.

角平分线的性质几何语言：如图，・・・C在NA06的平分线上，CD±OAtCE±OBf：.CD=CE

2、求三角形周长时，若三角形各边长不容易求解，可以考虑找出题中的相等的相等进行等量代换.

3、由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以

得到角平分线上的点到角两边距离的最小值.

4、解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决.

•题型二角的平分线的判定的应用

【例题14】（2022春•府谷县期末）如图，点。在△48C内，且到三边的距高相等，连接。8、OC,若

/8。。=120。，则NA的度数是（）

A.30°B.60°C.45°D.70°

【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到08平分NABC,平分NAC8,所以NA3c=2NO3C,

ZACB=2ZOCB,然后根据三角形内角和定理解决问题.

【解答】解：•・•点。在△A8C内，且到三边的距离相等，

・・・08平分OC平分N4CB,

・・・NABC=2NOBC,NACB=2/OCB,

•・・NO8C+NOCB=180°-N8OC=180°-120°=60°,

AZABC+ZACB=2（NO8C+/OC8）=2x60°=120°,

AZA=180°-ZABC-ZACB=60°.

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质：在角的内部，到角的两必的距离相等的点在这个角的角平分线上.

【例题15】（2021秋•八公山区期末）已知：如图，P是OC上一点，PD1OA/）,于E,F、

G分别是。4、04上的点，且。尸=PG,DF=EG.求证：0C是N404的平分线.

A

【分析】利用证明RtAPFD和RSPGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE,再根据到

角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可.

【解答】证明：在RS尸尸£）和Rl△0GE中，、器=啾，

IDF=EG

ARtAPGE（HL）,

:.PD=PE,

是OC上一点，PD1OA,PE上OB,

，0C是NAOB的平分线.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并

求出全等三角形是解题的关键.

【解题技巧提炼】

1、角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

9

2、角平分线的判定几何语言：如图，：CD±OAfCEA.OB,。0=（7£,・・・。在/405的平分线上.

3、三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.

・题型三角的平分线的性质与判定的综合应用

【例题16】（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，点。是AABC的两外角平分线的交点，下列结论：

①08=。。；②点O到AB、AC的距离相等；③点。到△A8C的三边的距离相等；④点。在/A的平分线

上.其中结论正确的是（填序号）.

A

【分析】过点。作0E工AB于E,作0F2BC于F,作OG_LAC于G,由角平分线的性质和判定进行解答

即可.

【解答】解：如图，过点O作0及LA6于E,作0尸_1_6c于/，作OGJLAC于G,

•・•点。是△ABC的两外角平分线的交点,

：,OE=OG,OF=OG,

：.OE=OF=OG,

・••点。在NA的平分线上，故②③④正确,

只有点尸是8c的中点时，BO=CO,故①错误,

综上所述，结论正确的是②③④.

故答案为：（2X3）@.

【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距

离相等的点在角的平分线上；正确作出辅助线是解题的关键.

【例题17】（2021秋•东昌府区校级月考）如图，。是乙408内部的一点，PEYOA,垂足分别

为E,F.PE=PF.。是OP上的任意一点，QM_LOA,QN上OB,垂足分别为点M和N,QM与QN

相等吗？请证明.

【分析】根据到角的两边的距离相等的点再叫的平分线上可得OP是NAO8的角平分线，再根据角的平分

线上的点到角的两边的距离相等可得QM=QN.

【解答】解；QM=QN,

理由如下：

9：PErOA,垂足分别为E,F,PE=PF,

是NAOB的角平分线，

QN1OB,

:,QM=QN.

【点评】此题主要考查了角平分线的性质和判定，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【例题18】(2021秋•铜梁区校级期中)如图，中，点。在边BC延长线上，乙4cB=100。，NABC

的平分线交人。于点石，过点石作垂足为H,且NCEH=50。.

(1)求/AC石的度数；

(2)求证：4E平分NC4E

(3)若AC+CD=14,八〃=8.5,且以ACD=21,求△入〃/：的面积.

【分析】(1)由平角的定义可求解NACO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解N£CH=40。，进而

可求解;

(2)过七点分别作/于M,EN上AC与N,根据角平分线的性质可证得EM=EM进而可证明结论；

(3)利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解.

【解答】⑴解:VZACB=100°,

/.Z/lCD=180o-100°=80°,

,:EHLBD,

：.ZCHE=90°,

VZCE//=50%

・・・NEC〃=90°-50°=40。，

AZ/ACE=80°-40°=40°；

(2)证明：过E点分别作EM1B尸于M,EN_LAC与N,

BCHD

•••8七平分NABC,

:,EM=EH,

•・•ZACE=ZECH=40^

・・・CE平分NACQ,

:・EN=EH,

:,EM=EN,

.•・AE平分/GAG

(3)解：*：AC+CD=\4,5AACD=2\,EM=EN=EH,

iii

:&AC【)=SAACE+SACED=%C・EN+qCD・EH=a(AC+CD)・£M=21,

乙乙乙

即工x14•EM=21,

2

解得EM=3,

VA«=8.5,

:・S&ABE=^AB*EM=x8.5x3=学.

【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判

定与性质是解题的关键.

【解题技巧提炼】

角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角

形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段.

・题型四角的平分线的性质的实际应用

【例题19】（2022秋•祁江区月考）为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假

村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）

A.△ABC三条高线的交点处

B.△A8c三条中线的交点处

C.△A8C三条角平分线的交点处

D.△ABC三边垂直平分线的交点处

【分析】根据角平分线的性质进行判断.

【解答】解：•・•度假村到三条公路的距离相等,

，这个度假村为△ABC的角平分线的交点.

故选：C.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一决三角形平地内修建一个砂石场，如图，要

使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）

A.仅有一处B.有四处C.有七处D.有无数处

【分析】根据角平分线的性质得到这个砂石场在三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点处.

【解答】解：•・•这个砂石场至11二条公路的距离相等.砂石场在二条公路闱成的二角形平地内.

・•・这个砂石场为三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点：

・•・可供选择的地址仅有一处.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【解题技巧提炼】

角平分线的实际应用主要用到了到角平分线的性质和判定，同时要注意到三角形三边距离相等和到三角形

三边所在直线的距离相等不同，到三角形三边距离相等的点只有1个，而到三角形三边所在直线距离相等

的点有4个.

•题型五与角的平分线有关的探究题

【例题21】（2021秋•旌阳区校级月考）如图①，在△48。中，AO是它的角平分线，P是AD上一点,

PE〃AB交BC于E,PF7/AC交BC于F.

（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；

（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想.

【分析】（1）首先由PE//AB,PF//AC,根据两直线平行，司位角相等，可得/EPD=/BAD,"PF

=ZCAD,又由△48C中，A。是它的角平分线，可得Q0平分N£〃F,根据角平分线的性质，即可证得。

到PE的距离与D到Pb的距离相等；

（2）若点。在AO的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可.

【解答】（1）证明：,：PE//AB,PF//AC,

:・NEPD=NBAD,ZDPF=ZCAD,

:△ABC中，A。是它的角平分线，

：,ZBAD=ZCAD,

:"EPD=/DPF,

即PO平分NEP/；,

：.D到PE的距离与D到PF的距离相等;

（2）若点P在4。的延长线上，其他条件不变，（I）中的结论还成立.理由如下：

*：PE//AB,PF//AC,

：.ZEPD=ZBAD,NDPF=NCAD,

:△ABC中，A。是它的角平分线，

：.ZBAD=ZCAD,

・•・ZEPD=ZDPF,

即PO平分

：.D到PE的距离与D到PF的距离相等.

【点评】此题考查了角平分线的性质与平行线的性质.此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质

定理的应用，注意数形结合思想的应用.

【解题技巧提炼】

与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改

变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.

对点变式练

♦♦题型一角的平分线的性质的应用

I.（2022春•银川校级期中）如图，Rs28c中,NC=90。，AD平分NBAC,交8c于点D,10,SAABD

=15,则C。的长为（）

【分析】过点。作DE±AB^E,根据角平分线勺点到角的茯边距离相等可得DE-CD,然后利用^ABD

的面积列式计算即可得解.

【解答】解：如图，过点。作Z）E_L4B于E,

VZC=90°,AO平分NBAC,

：.DE=CD,

.*.SAABD=^AB*DE=Ix10・DE=15,

解得：DE=3,

・・・CO=3.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此

题的关键.

2.（2022春•莱芜区期末）如图，OP平分NMON,M_LON于点人，点Q是射线OM上的一个动点，若

%=4,则尸。的长不可能是（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

【分析】根据角平分线的性质得到点P到OM的距离等于%,根据垂线段最短得到P84,然后对各选项

进行判断.

【解答】解；YOP平分乙MON,PA±ON,

・••点P到OM的距离等于PA,即点P到OM的距离为4,

，夕QN4.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了垂线段最短.

3.（2022春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，AD为/B4C的平分线，DELABE,Q凡LAC于尸,

△ABC的面积是30cm2,AB=\3cmfAC=lcm,则QE的长()

C.5cmD.6(772

【分析】根据角平分线的性质得到。石=力凡根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：•・・AD为284C的平分线，DEVAB,DFA.AC,

:・DE=DF,

ASAABC=IXABXDE+1xACxDF=30（cnr）,即工x13xQE+Jx7x£）产=30,

解得DE=DF=3cm,

故选：A.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解胭的关键.

4.（2022春•城阳区期中）如图，在△A5c中,N84c和NA8C的角平分线交于点O,AB=6cmfBC=

9cm,△A8O的面积为18。/,则aBOC的面积为（）5上.

27

A.27B.54C.——D.108

2

【分析】过。点作OO_LA8于。点，OELBC于E点,如图，根据角平分线的性质得到0。=。£,然后

根据三角形面积公式得到SAHOC：S^AOB=BC：AB.

【解答】解：过。点作于。点，OELBC于E点,如图，

•••08平分NABC,

：.OD=OE,

.*.SABOC-SAAOB=BC：AB,

9i

.*.SABOC=Zx18=27（cm~）.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

5.（2022秋•南宁月考）如图，3。是NA5C的平分线，AB=BC,点P在3。上，PMLAD,PN1CD,

M,N分别是垂足，求证：PM=PN.

【分析】利用“边角边”证明△人台。和△8。全等，根据全等三角形对应角相等可得NAQ3=/CD8,再根

据等角的补角相等可得N4OP=NCOP，然后利用角平分线性质定理的逆定理可得结论.

【解答】解：•••4。是NA8C的平分线，

:・NABD=NCBD,

在^ABD和^CBD中，

（AR=BC

UABD=乙CBD,

\BD=BD

:.△ABDg/\CBD（SAS）.

・•・NADB=NCDB.

：.4ADP=/CDP.

即OP平分N/1/5C.

VPMA.AD,PN1.CD,

1,PM=PN.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，确定出全等三角形是解题的关键.

♦♦题型二角的平分线的判定的应用

6.（2022秋•东港区校级月考）如图，ZiABC中，ZABC.NFCA的角平分线3P、CP交于点P,延长

BA、BC,PMLBE于M,PN1BF于N,则下列结论：①HP平分NE4C；②N44C+2N"C=180。；

③N84C=2N8PC：PAC=S^MAP+SANCP.其中正确结论序号是.

【分析】过点P作尸DJ_AC于D根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明RtA以MgRSPAD,

根据全等三角形的性质得出NA/»M=/4/V),判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的

性质判断④.

【解答】解：①过点。作PO_LAC于。，

平分N44C,PC平分N〃CA,PMLBE,PN人BF,PDLAC,

:・PM=PN,PN=PD,

工PM=PD,

二PM1BE,PDVAC,

・・・40平分NE4C,故①正确；

②・・・PM_LA8,PN1BC,

：.NA4C+90°+NMPN+90。=360),

NABC+NMPN=180。,

在RIA%”和心△%。中，

(FM=PD

=PA，

ARIA附MgRSPAD(HL),

工ZAPM=ZAPD,

同理：RSPCD^RtAPCN(HL),

：.ZCPD=ZCPN,

:・/MPN=2/APC,

・・・NA3C+2N4PC=180。，②正施

③〈BA平分NC4E,BP平分NABC,

ZCAE=ZABC+ZACI3=2ZPAM,NHM=^ZABC+ZAPB,

・・・NACB=2NAP8,③正确；

④由②可知RSPAD(HL),RtAPCD^RtAPCN(HL)

.*.5AAPD=SAMAP^5ACPD=5ANCP,

5APAC=SAAMP+SANCP,故④正确，

故答案为：①②③④.

E

【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的

距离相等是解题的关键.

7.（2021秋•松桃县期末）如图：已知BFA,AC,CE1AB,求证：点。在NMC的平分线上.

【分析】此题容易根据条件证明△BEOgZXCFD,然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证

明结论.

【解答】证明：•・・BF_LAC,CELAB,

BED=/CFD=9C,

在△8E。和△CPO中，

乙BED=Z.CFD

乙BDE=乙CDF,

BD=CD

:ZED必CFD（AAS）,

工DE-DF,

又・；DE工AB,DF1AC,

・••点。在NBAC的平分线上.

【点评】常用主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质.由全等等到。£=。/是解答本题的

关键.

♦♦题型三角的平分线的性质与判定的综合应用

8.（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△回€1中，N48c的平分线与△43C的外角NACE的平分线交于点P,

PD±AC于点D,PHA.BA,交BA的延长线于点H.

（I）若点P到直线BA的距离为5。〃，求点P到直线BC的距离;

（2）求证：点P在N”4C的平分线上.

【分析】（1）过点。作。尸J_/法于凡根据角平分线的性质解答即可；

（2）根据角平分线的性质得到叱=丹），进而得到P/5=PH,根据角平分线的判定定理证明结论.

【解答】（1）解：过点尸作PFJ_8E于尸，

•・•点P在NABC的平分线，PH_BA,PFA.BE,

：.PF=PH=5cm.即点P到直线BC的距离为So”：

（2）证明：•・•点P在NACE的平分线，PH±BA,PF上BE,

：.PF=PD,

,:PF=PH,

:.PD=PH,

yPDrAC,PHLBA,

・••点〃在/MAC的平分线上.

【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

9.（2021秋•大安市期末）如图，己知点D、E、产分别是△AbC的三边，的点，CE-BF,口△DCE的面

积与AQB/的面积相等.求证：A。平分NB4C.

【分析】过。作。MJ_AB于M,DNLAC于N,利用面积口J得DW=OM再利用角平分线的判定方法可

得A。平分N3AC.

【解答】证明：过。作。M_LA8于M,DN1AC于N,

••,△QCE的面积与^Q3r的面积相等，

BFDMCEDN

••—,

22

•:CE=BF,

：.DM=DN,

・•・点D在NBAC的平分线上，

又・・・人点也在的平分线上，

・・洛。平分/8AC.

【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的判定定理.

♦♦题型四角的平分线的性质的实际应用

10.（2022秋•大连月考）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MMOA.OB,拟在上

建造一个大型超市，使得它到。4、OB的距离相等，请确定该超市的位置尸.

【分析】作N4O8的角平分线0。，。。与的交点到NAOB的两边OA,OB的距离相等.

【解答】解：如图所示：作NAOB的平分线交MN于点P,点尸即为该超市的位置.

【点评】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的

距离相等.

♦♦题型五与角的平分线有关的探究题

II.（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，。是BC边上的点（不与点B、C重合），连接4D.

（I）如图1,当点。是8c边上的中点时，SAABD：5AACD=;

（2）如图2,当A。是NBA。的平分线时，若AA=〃i,AC=m求5△八8Q：S△八a）的值（用含“〃的代

数式表示）；

（3）如图3,A。平分N8AC,廷长A。到E,使得AO=OE,连接8E,如果4C=2,A8=4,SABDE=6,

那么ABC=•

【分析】（1）过A作A£J_/3c于E,根据三角形面枳公式求出即可：

⑵过。作。EJ_4B于E,Q/UAC于尸，根据角平分线性质求出。七=。「，根据三角形面积公式求出即可;

（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和△AC。的面积，即可求出答案.

•・•点。是8c边上的中点，

:・BD=DC,

11

；,SABD：SAACD—(—xBQxAE)：(-xCD^AE)=1：1»

22

故答案为：I：1;

(2)过。作QEJLAB于E,。尸_LAC于尸，

图2

VAD为NBAC的角平分线,

:・DE=DF,

,•*AB=/tifAC=lit

11

•'•SABD：SAACD=(-xAB^DE)：(-xAC^DF)=m：n；

22

图3

*：AD=DE,

，由（1）知：SAABDiSAEBD=1:1,

•ShBDE=6,

••SAABD=6,

VAC=2,AB=4,AD平分NC4B,

，由（2）知：SAABD!SAACD=AfitAC=4t2=2：I,

*,»5A4c£）=3,

.•・SAABC=3+6=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（I）（2）得出规律是解此题的关键.

变式综合练

1.（2022春•六盘水期末）如图，8D为NA8C的角平分线，DSC于点E,AB=5,DE=2,则△A8Q

A.5B.7C.7.5D.10

【分析】过D点作于从如图，根据角平分线的性质得到。，=。七=2,然后根据三角形面积公

式计算.

【解答】解:过。点作DH_LA8于H,如图，

••,4。为NA4C的角平分线，DELBC,DHA.AB,

:.DH=DE=2,

ASAABD=5x5x2=5.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2.（2022•雁塔区模拟）如图，AB//CD,和。尸分别平分NA8C和NBC。，4。过点尸且与垂直.若

A.16B.20C.40D.80

【分析】过P作于E,根据角平分线的性质得出求出尸石=%=尸。=8。=4,再

根据三角形的面积公式求出答案即可.

【解答】解：过P作尸E_L8C于石，

*：AB//CD,

.*.Z/?AP+ZCDP-180°,

尸=90。，

AZCDP=90°,

即AD.LCD,

♦：PE1BC,和CP分别平分/ABC和N8CD,

：.PA=PE,PE=PD,

：.PA=PD,

•・\4£>=8,

：,PE=PD=AP=4,

VBC=IO,

:.2BCP的面积为工xFCxPE=-x10x4=20.

22

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，能熟记用平分线上的点到角两边的距离相等是解此

题的关键.

3.（2022春•莲湖区期末）如图，在AABC中，BD平分NABC,如果4B=4,BC=6,△ABO的面积为6,

【分析】过点。作于点£,过点。作。以LBC于点凡根据角平分线的性质可得。£=。2，根据

△A8Q的面积可得OE的长，进一步可得。尸的长，求出△8DC的面积，进一步可得△A4c的面积.

【解答】解：过点D作DE1AB于点E,过点。作。凡LBC于点凡如图所示：

•・・8£>平分/ABC,

:・DE=DF,

VAB=4,△48。的面积为6,

1

x4DE=6,

2

解得。E=3,

，。？=3,

V«C=6,

的面积为之x6x3=9,

・•・△ABC的面积为619=15,

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线的性质，涉及三角形的面枳，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

4.（2022秋•袁州区校级月考）如图，AB//CD,8七和CE分别平分N/WC和NBC。，AQ过点£且与

人8互相垂直，点P为线段BC上一动点、,连接PE.若4。=10,则PE的最小值为.

【分析】过E作于R此时的值最小，求出AQ1CO,根据角平分线的性质求出AE=OE=

PE,求出人七的长即可.

【解答】解：过E作EP_LBC于P,此时PE的值最小，

.\AD.LCD,

YBE和CE分别平分/ABC和/8CQ,

；・AE=PE,ED=PE,

：.AE=ED=PE,

VAD=IO,

:・PE=5,

即尸E的最小值是5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，注意：珀平分线上的点到角两边的距离相等.

5.（2022秋•海安市月考）如图，已知△A8C的周长是13,BO、CO分别平分/A8C和NAC8,ODA.BC

于D,且^ABC的面积为13,则0。长为.

A

【分析】连接。4,作OELAB于E,。凡LAC于F,根据角平分线的性质得到OD=OE=OF,根据三角

形的面积公式计算即可.

【解答】解：连接OA,作OE_L48于E,OFJ_AC于尸，

,:BO、CO分别平分NABC和N4C8,ODLBC,OELAB,OF_LAC,

：,OD=OE=OF,

111

A-xABxOE+^xACxOF+^xCBxOD=\3

222f

1

即一x(48+AC+8C)xOO=13,

2

解得，00=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

6.（2022秋•下城区校级月考）如图，在NA08的边04、0B上取点M、M连接MMP是△MON外角

平分线的交点，若MN=2,△PMN的面积是2,△OMN的面积是7.则△MON的周长是.

【分析】过点P作垂足为E,过点P作垂足为尸，过点P作PG_LOA,垂足为G,

连接OP,利用角平分线的性质可得PF=PG=QE,然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2,再利用

△OMP的面积+△ONP的面积-△PMN的面积=7,进行计算即可解答.

【解答】解：过点尸作尸E_L08,垂足为E,过点。作P凡LMM垂足为F,过点。作PG1Q4,垂足为

G.连接0P,

:.PF=PG=PE,

,:MN=2,△PMN的面积是2,

1

:・一MN・PF=2,

2

：,PF=2,

:・PG=PE=2,

:△OMN的面积是7,

的面积+△ONP的面积-△PMN的面积=7,

11

：-OM*PG+^ON*PE-2=7,

22

：・OM+ON=9,

・•・△MON的周长=()M+ON+MN=11,

故答案为：U.

【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

7.(2022•普定县模拟)如图，点”是NAOB平分线上一点，NHOB=60。，MELOAE,OE=V5,如

果。是08上一动点，则线段MP的取值范围是.

A

【分析】过M点作于尸，如图，先根据角平分线的性质得到ME-M凡NAOM-30。，再利用含

30度角的直角三角形三边的关系得到"七=隼，所以M厂二隼，然后根据垂线段最短可确定线段MP的

取值范围.

【解答】解：过M点作MF_L08于F,如图，

•・・OM平分NAO8,MELOA,MFLOB,

：,ME=MF,ZAOM=^ZAOB=1x60°=30°,

在RsOME中，•:NMOE=30。,

../WE=-^-()E=丁XV5=—,

••Mr一^^"，

•・・P是OB上一动点，

:・MP^MF,

即线段MP的取值范围为MP＞半.

•J

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了垂线段最短.

8.（2022春•金沙县期末）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16,点。是△/WC三

条角平分线的交点，则SACM/?：SAOBC：S^QAC的值为（)

C.2：3：4D.3：4：5

【分析】根据角平分线的性质得到点。到AB、AC、8c的距离相等，设。至IJAB、AC.8c的距离为/?,

Ill

利用面积公式得到SA048：SAOBC：SAOAC=（-•IfAB）：：（二・〃・AC）.

222

【解答】解：・・・O是△ABC三条角平分线交点，

工点。到A3、AC.BC的距离相等,

设。到A8、AC、BC的距离为A,

1、1、1、

.*.5AOAB：5Aone：SAOAC=（一如AB）：（一・h・BC）：（-*h*AC）

222

=AB：BC：AC

=16：12：8

=4：3：2.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形面积公

式.

9.（2022春•铜川期末）如图，在△A8C中，AB=3BC,8。平分乙48。交AC于点。，若aABD的面积

为Si,△BCO的面积为52,则关于S与52之间的数量关系，下列说法正确的是（）

C.51=252D.51=52

【分析】过点。作。EL48于E,。凡L8C于立由角平分线的性质得出OE=OF,根据三角形面积可得

出答案.

【解答】解：过点D作DE1AB于E,DF上BC于，F,

A

,.・8。邛:分NABC,DE1AB,DFLBC,

：,DE=DF,

VSi=SAAHD=gAB・DE,S2=SADHC=gBC・DF,

.S]^ABDEAB

“2-BCDFBC

2

•：AB=3BC,

/.SI=352.

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，证出。£=。歹是解题的关键.

10.（2021秋•如皋市期中）如图，NAOB=90°,OM是N478的平分线，将三角尺的直角顶点P在射

线OM上滑动，两直角边分别与。A,。8交于点。和。，证明：PC=PD.

【分析】过点尸点作PELOA于E,PFLOB于F,根据垂直的定义得到NPEC=N尸产。=90°,由OM

是NAO8的平分线，根据角平分线的性质得到PE=PF,利用四边形内角和定理可得到NPCE+N尸。。=

360°-90°-90°=180°,而NPQO+NPO/=180°,则NPCE=/PO尸，然后根据“A4S”可判断△

PCE94PDF,根据全等的性质即可得到PC=PD.

【解答】证明：过点P点作于E,PFLOB于F,如图,

：・NPEC=NPFD=90°,

YOM是NAOB的平分线，

:,PE=PF,

•・・NAO8=90°,ZCPD=90°,

.•.ZPCE+ZPDO=360A-90n-90"=180",

而NPOO+NPD尸=180°,

:・/PCE=/PDF,

乙PCE=乙PDF

在△PCE和△PO尸中乙PEC=乙PFD,

PE=PF

：.4PCE学丛PDF(AAS),

【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个带两边的距离相等.