解直角三角形中的“背靠背”模型-2023年中考数学应对方法与策略

第15讲解直角三角形中的“背靠背”模型

【应对方法与策略】

【模型展示】

【多题一解】

一、单选题

I.（2020•广东深圳•模拟预测）如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为

30°,看这栋高楼底部C点的俯角为60。，若热气球与高楼的水平距离为30m,则这栋高楼高度是（）

A.60mB.40GmC.30D.60Gm

【答案】B

【分析】作AD_LBC于D,由俯仰角得出NADB、NCAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出

BD、CD的长，BC的长即可求出.

【详解】过A作AD_LBC,垂足为D在RSABD中，VZBAD=30°,AD=30m,

即这栋高楼高度是40Gm.

故选择：B.

【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形.

二、填空题

2.（2022.广西钦州•校考二模）如图，河宽CD为10（）6米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30。方

向、对岸B点在C点南偏东45。方向，则A、B两点间的距离是米.（结果保留根号）

【答案】100+1006

【分析】根据正切的定义求出AD,根据等腰直角三角形的性质求出BD,进而得到AB的长.

An

【详解】在RlZkACD中，lan/ACD=^—，

CD

则AD=CDxtanNACD=100百x@=100（米），

3

在Rt2\CDB中，ZBCD=45°,

・・・BD=CD=1006（米）,

.\AB=AD+BD=（100+100^）米，

故答案为：（100+10073）.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义

是解题的关键.

3.（2020•内蒙古赤峰•统考中考真即）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30。，测得

底部B的俯角是60。，此时无人机与该建筑物的水平距离A。是9米，那么该建筑物的高度为

米（结果保留根号）.

【分析】由题意可得NCAD=30。，ZBAD=60°,然后分别解RtAADC和RsADB,求出CD和BD的

长，进一步即可求得结果.

【详解】解：由题意，得NCAD=30。，ZBAD=60°,

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属丁•常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识

是解题关键.

北

【答案】20.8

【分析】证明^ABP是等腰三角形，过P作PD_LAB,从而求得PD的长即可.

【详解】解：过P作PDJ_AB于D,

VAB=24,

,/ZPAB=90°60°=30°,ZPBD=90o30o=60°,

/.ZBPD=30°,

.\ZAPB=30o,即NPAB=NAPB,

AAB=BP=24,

故答案为：20.8.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关

键.

5.（2020・四川乐山・中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯A3的倾斜角为30。，在

自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端"的仰角为60。，A、C之间的距离为4〃?.则自动扶梯的垂直高度

BI）=m.（结果保留根号）

【答案】26

:.CD的高度为CE+ED=18(V3+l)m.

【点睛】此题主要考行解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.

住宅小区

答：这条公路不会穿越这个住宅小区.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解

题的关键.

9.（2021•甘肃武威.统考中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四七（1535

年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与岭恫山的凌空塔遥相呼应，被誉为平

凉古塔“双壁”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

0

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关

系是解题的关键.

【答案】巡逻艇能在1小时内到达渔船。处

【分析】由已知可得在A4BC中，NC=67。，NB=37。，且4B=20海里，要求BC的长，可以过A作

4D_L8c于。，分别求出CO和瓦）的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形.

【详解】解答：过点A作A〃_L8C,垂足为点〃.

由题意，得N4C”=67。，N8=37。，AB=20.

在取△48”中，

在ACH中，

:.BC=BH+CH=l6+5=2l,

•・・2"25V1,

，巡逻艇能在1小时内到达渔船。处.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角

三角形的问题，解决的方法就是作高线.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方

法.

12.（2022・湖北恩施•二模）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三

角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30。，再沿DF方向前行40

米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45。，己知测角仪的高AD为1.5米.请根据他们的测量数

据求此楼MF的高.（结果精到0.1m,参考数据：72-1.414,5力.732,#=2.449）

【答案】楼MF的高56.1米.

【详解】解：设MC=x,

•••/MAC=30。，

VZMBC=45°,

，在R/MCB中，MC=BC=x,

又・.・AB=DE=40,

AAC-BC=AB=40,即V5x・x=40,

解得：x=20+2073=54.6,

AMF=MC+CF=54.6+1.5=56.1（米），

答：楼MF的高56.1米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角俯角的意义，熟练运用锐角的三角函数解

直角三角形是解答的关键.

答：旗杆的高度约为9米.

【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键.

14.（2020・广东深圳•校考二模）一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔〃在A的北偏东60。方向，航

行40海里到达8处，此时测得灯塔P在8的北偏东15。方向上.

（1）求灯塔。到轮船航线的距离。。是多少海里？（结果保留根号）

（2）当轮船从8处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔。处同时前往。处，尽管快艇速度是轮船速度的2

倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达。处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）

【答案】（1）灯塔。到轮船航线的距离尸。是（106+10）海里；（2）轮船每小时航行（60-206）海里

【分析】（1）作于C,根据余弦的定义求出4C,根据等腰直角三角形的性质求出得到AP

的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案；

（2）根据余弦的定义求出A。，得到B。的长，根据题意列出分式方程，解方程得到答案.

【详解】解：（1）作BCL4P于C,

在心4c中，N%8=300,

：.BC=^AB=2（）,AC=AB・cosN%8=206,

•:NNBP=15。,

：.ZPBD=75°,

/.ZCBP=180°-60°-75°=45°,

：.PC=BC=20,

，4尸=AC+PC=206+20,

在RdAOP中，NA=30。，

，PO=；AP=106+10,

答：灯塔尸到轮船航线的距离尸。是（10G+10）海里；

（2）设轮船每小时航行工海里，

在RfZkAOP中，AO=AP・cos4=1075+30,

：.BD=AD-AB=\（）4j-1（）,

解得，x=60-2073,

经检验，x=60-20G是原方程的解，

答：轮船每小时航行（60-200）海里.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题和分式方程的应用，掌握方向角的概念、熟记锐角

三角函数的定义、正确列出分式方程是解题的关键.

（I）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由.

（2）渔船航行3小时后到达C处，求A,C之间的距离.

【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里

・••渔船在航行过程中没有触礁的危险；

BPA,。之间的距离为79.50海里.

【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在

直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.

【答案】270米

【分析】根据正切的定义分别求出BD、DC的长，求和即可.

【详解】解：在RsABD中，tana=g2,

AD

贝ljBD=AD・tana=90x0.27=24.3,

在RtAACD中，tanB=g^,

AD

贝I」CD=AD*tanp=90x2.73=245.7,

••・BC=BD+CD=24.3+245.7=270,

答：这栋楼高约为270米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐知三角函数

的定义是解题的关键.

北

p

"：力

II

【答案】此时船与小岛尸的距离约为44海里

【分析】过P作PH_LAB,设PH=x,由已知分别求PB、BH、AH,然后根据锐角三角函数求出x值即可

求解

【详解】如图，过P作PHJ_AB,设PH=x,

由题意，AB=60,ZPBH=30°,ZPAH=45°,

在RSPHA中，AH=PH=x,

在RtZiPBH中，BH=ABAH=60x,PB=2x,

PH

/.tan30°=,

BH

答：此时船与小岛尸的距离约为44海里.

【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键.

【答案】A、4两点间的距离约为II千米.

【分析】如图（见解析），先根据百角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰更角三

角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得.

答：A、3两点间的距离约为11千米.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角二角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直

角三角形是解题关键.

19.（2020.山东潍坊・中考真题）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图，

桥A4是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥A4的上方120米的点C处悬停，此时

测得桥两端A,B两点的俯角分别为60。和45。，求桥人B的长度.

cc

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键.

20.（2020・甘肃金昌・统考中考真题）图①是甘肃省博物馆的镇饵之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于

1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市

的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的

高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：

课题测量“马踏飞燕''雕塑最高点成地面的高度

如图，雕塑的最高点3到地面的高度为

BA,在测点C用仪器测得点8的仰角为

a,前进一段距离到达测点E，再用该仪

测量示意图

器测得点8的仰角为△,且点A,B,

（：EC,E,尸均在同一竖直平面内，

点A,C,E在同一条直线上.

仪器6（EF）的

a的度数△的度数CE的长度

高度

测量数据

31°425米L5米

图②

【详解】解：如图，延长。尸交AB于G,

【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角

三角形的方法是解题关键.

22.（2020.四川成都.统考中考真题）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成

都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼

顶D处测得塔A处的仰角为45。，塔底部3处的俯角为22。.已知建筑物的高C。约为61米，请计算观景

台的高A8的值.

【答案】观景台的高A区约为214米.

【洋解】过点D作DM_LAB于点M,由题意可得四边形DCBM是矩形,

ABM=CD=6I米，

解得,DM=152.5米;

VZADM=45°,DM1AB,

•••△ADM为等腰直角三角形，

・・・DM=AM=152.5米,

:.AB=BM+AM=61+152.5=213.5^214（米）.

答：观景台的高约为214米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键.

【答案】这栋楼的高度约为95米.

【分析】利用正切函数分别在RtAABD与RMACD中求得BD与CD的长即可.

答：这栋楼的高度约为95米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确确定直角三角形，灵活运用相关知识是解此题的关键.

【答案】问题1：见解析；问题2：也

2

问题2：如图，分别过点A、。作8C的垂线，垂足为E、F.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形

的相关知识是解决本题的关键.

25.（2020・四川遂宁•统考中考真题）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区

的I、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1

号楼顶部E的俯角为67。，测得2号楼顶部尸的俯角为40。，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼

的高度为20米，且和尸。分别垂直地面于点。和。，点3为CQ的中点，求2号楼的高度.（结果精确

至IJ0.1）（参考数据sin4（-u0.64,cos40°^0.77,tan40Q^0.84,sin670-0.92,cos67Q^）39,tan670^2.36）

A

-U/N2

2

1号

楼

号

楼

CBD地面

【答案】45.8米

【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM,AN,进而计算出

2号楼的高度。”即可.

【详解】解：过点£、产分别作FN上AB,垂足分别为M、N,

6y\^oc

2

1号

楼

号

楼

BD地面

由题意得，EC=20,ZAEM=6T,NAFN=40°,CB=DB=EM=FN,A8=60,

：.AM=AB-MB=60-20=40,

在RtAAEM中，

在R（AA/W中，

•lanNAFN=---,

FN

:・AN=tan40cx16.9-14.2,

：.FD=NB=AB-AN=60-14.2=45.8,

答：2号楼的高度约为45.8米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键.

26.（2023秋・山东济南•九年级期末）从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进

一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只

要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出米，从而有效地避

免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角/雨0=75。，最

小探测角/尸80=30。.（参考数据：V2=1.414,百=1.732,石=2.236）

（1）若该设备安装在禽水平地面距离为2.2m的P处，即OP=2.2m,请求出图中。8的长度；（结果精确到

0.1m）

（2）若该公司要求测温区域48的长度为4m,请求出该设备的安装高度OP的高度.（结果精确到0.1m）

【答案】（1）3.8米

（2）2.7米

答：OB的长度为3.8米;

VZMO=75°,

AZAPO=15°,NB4M=15°,

答：设备的安装高度。尸的高度为2.7米

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造特殊直角三角形将R