浙江省新阵地教育联盟2026届高三上学期第一次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省新阵地教育联盟2026届高三上学期第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x|<3}，B={y∈N|y2<10}，则A∩B=A.(0,3) B.(−3,3) C.{−2,−1,0,1,2} D.{0,1,2}2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a2+b2−ab=cA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数f(x)和g(x)为同一函数的是(

)A.f(x)=x+1和g(x)=(x+1)2

B.f(x)=x2+x0和g(x)=x4.已知双曲线C:x2a2−y2bA.2 B.2 C.225.设f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=4x−1，则f(A.−1 B.1 C.7 D.−6.已知实数x，y满足x2+y2=4x+2y+4，则A.5−35 B.5+35 C.7.下列四个选项中，最大的值为(

)A.2 B.32 C.log28.每个正整数都可以唯一表示成以下形式：i=12k+1(−1)i−12ai=2a1−2a2+⋯⋯+2a2k−1A.C93 B.C103 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,1)，b=(−1,x)，下列结论正确的是(

)A.若a⊥b，则x=2

B.若a//b，则x=−12

C.若a，b的夹角为钝角，则x<2

D.设a在b10.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC，PA=AC=23，D是△PBC内的动点(含边界)且BD⊥CD，下列结论正确的是(

)A.二面角C−AB−P为直二面角 B.CP与平面APB所成角为π6

C.三棱锥A−BCD的体积最大值为1 D.PD的最小值为11.已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=0，且a，bA.若a=0，则sin(α−β)=cb B.若c=0，则α=β+kπ，k∈Z

C.若α−β=π4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=3−4i3+4i，则|z|=

．13.已知数列{an}共10项，a1=0，a10=20且{m|m=ak+114.已知P0(0,9)，若三次函数f(x)=x3+ax2−9x+9(0<a<3)在点P0处的切线与f(x)图象交于另一点P1(x1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}的前n项和为S(1)若{an(2)若a1=52，bn=2n−1S16.(本小题15分)

如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AB=2，AD=8，DC=5，E，F分别是AD，BC的中点，将四边形ABFE沿EF折起，如图2，连接AD，BC，BE．

(1)求证：EF⊥AD;(2)若Q为线段BE上一动点，BF⊥ED，求CQ的最小值．17.(本小题15分)某市A，B两个博物馆为应对暑期参观高峰，招聘博物馆讲解员志愿者，参与者通过笔试、面试、模拟技能这3项考核后可以被聘为志愿者.所有参与者均需参加3项考核，且3项考核的结果互不影响，3项考核均通过后聘为讲解员志愿者.去年有100名高中生参加A博物馆志愿者招聘，具体招聘结果如下表所示：性别参加考核但未聘用的人数参加考核并成功聘用的人数男生4510女生3015今年，某高中生小乐准备参加志愿者招聘，假定他参加各项考核的结果相互不影响，且专业人士对他作出较客观的估计：小乐通过A博物馆的每项考核的概率均为12，通过B博物馆的各项考核的概率分别为：13，35(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断去年100名高中生参加A博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别是否有关联;(2)若小乐通过A，B两个博物馆考核的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．附：参考公式：χ2=n(ad−bcα0.150.10.050.0250.010.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(本小题17分)已知函数f(x)=ex+a(1)若a=0，讨论f(x)的单调性;(2)若a=−1，证明：f(x)>5在(2,3)上恒成立;(3)若x∈[1,e]，不等式acos(lnx)≥19.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为(1)求椭圆C的方程;(2)过动点P(4,m)作椭圆C的切线，切点为A，B，A在x轴上方．(ⅰ)证明：直线AM与直线BN的斜率之比为定值;(ⅱ)若m=4，过点P作直线l交椭圆C于D，E两点，过D作PA的平行线，交AE于点F，DF交AB于点G，此时DG=FG，求满足条件的所有直线PD的斜率．

参考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.A

6.B

7.C

8.C

9.ABD

10.ABC

11.BCD

12.1

13.1008

14.1215.解：(1)由Sn+1=3Sn+1①，

得当n⩾2时，Sn=3Sn−1+1②

①−②得an+1=3an，

则数列{an}从第三项起与前一项之比为3，

要使{an}为等比数列，则需a2=3a1，

对于Sn+1=3Sn+1，

令n=1，得a1+a2=a1+3a1=3S1+1=3a1+1，

因此a1=1，

(2)16.(1)证明：因为四边形ABCD是直角梯形，E，F分别是的AD，BC中点，

所以AB/​/EF/​/CD，EF⊥AE，EF⊥DE，

又AE∩DE=E，AE，DE⊂平面AED，所以EF⊥平面AED，

又因AD⊂平面AED，所以EF⊥AD;

(2)因为BF⊥ED，EF⊥DE，BF∩EF=F，BF，EF⊂平面ABFE，所以DE⊥平面ABFE，

又AE⊂平面ABFE，所以DE⊥AE，因此，AE，EF，DE两两垂直.

以E为原点，直线ED，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

由已知可得，B(0,2,4)，C(4,5,0)，

因为Q为线段BE上一动点，所以可设EQ=tEB=(0,2t,4t)，因为EC=4,5,0，

所以CQ=EQ−EC=−4,2t−5,4t，

于是CQ=16+(2t−5)2+16t2=2017.解：(1)

整理性别与聘用情况的2×2列联表：聘用未聘用合计男生104555女生153045合计25751002.根据独立性检验公式计算χ2值：

已知n=100，a=10，b=45，c=15，d=30，代入公式：

χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(10×30−45×15)255×45×25×75

计算分子：ad−bc=10×30−45×15=−375，平方得(−375)2=140625；

计算分母：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=55×45×25×75=4640625；

因此χ2=100×1406254640625≈3.03．

对比临界值：小概率值α=0.05对应的临界值x0.05=3.841，

由于3.03<3.841，故不能推断“聘用与性别有关联”．

(2)

求X的数学期望：由题意：Y的可能取值为0，1，2，3，P(Y=0)=23×2P(Y=2)=13×3所以Y的数学期望E(Y)=0×2

18.解：(1)当a=0时，f(x)=ex−x，定义域为R，

求导得f′(x)=ex−1，

令f​′(x)=0，解得x=0，

当x<0时，ex<1，故f​′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>0时，ex>1，故f​′(x)>0，f(x)单调递增，

因此，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增;

(2)当a=−1时，f(x)=ex−cos x−x，定义域为R，

求导得f′(x)=ex+sin x−1，

在区间(2,3)内：

ex>e2≈7.389>1；

x∈(2,3)，sin x>0，

因此f′(x)=ex+sin x−1>e2+0−1>0，f(x)在(2,3)上单调递增，

所以x∈(2,3)时，f(x)>f(2)=e2−cos 2−2，

由于cos 2≈−0.416，故f(2)=e2−(−0.416)−2=e2+0.416−2>7.389−2+0.416=5.805>5。

因此，f(x)>5在(2,3)上恒成立；

(3)令t=ln x，由x∈[1,e]得t∈[0,1]，且x=et，

原不等式acos (ln x)⩾ln x−x+2转化为：

acos t⩾t−19.解：(1)因为椭圆C的离心率e=ca=12，则a=2c，

可得b2=a2−c2=3c2，则椭圆方程为x24c2+y23c2=1，

代入点1,32得14c2+34c2=1，解得c=1，

可得a=2，b2=3，

所以椭圆C的方程为x24+y23=1；

(2)(ⅰ)由(1)知椭圆左顶点M(−2,0)，右顶点N(2,0)，

设切点A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1y2≠0，显然切线PA,PB的斜率存在，

设切线PA：y=kx+n，n≠0，

联立方程y=kx+nx24+y23=1，消去y可得4k2+3x2+8knx+4n2−12=0，

则Δ=64k2n2−44k2+3