三角形的认识和全等三角形综合（50题）福建专用：2021-2025中考数学复习专项汇编

专题06三角形的认识和全等三角形综合（50题）

000©考点01：二角形的认识

（2025・福建•中考真题）

1.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式

摆放，其中点4,E,3厂在同一条直线上,

上B4C=上90°,上方=45°,上。所=60°.当力。］［8。时，DADE的大小为（）

A.5°B.15°C.25°D.35°

（2024・福建•中考真题）

2.在同一平面内，将直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CDtDE）按如用方

式摆放，若IICZ）,则上1的大小为（）

A.30°B,45°C.60°D.75°

（2024・福建•中考真题）

3.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴喋”的平面图案.如图，其中

△049与“MC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,厂分别是底边

AB,CQ的中点，OEA.OF.下列推断错误的是］）

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B.上BOC二

C.OE=OFD.±J^OC+±AOD=180°

（2023•福建•中考真题）

4.若某三角形的三边长分别为3,4,m，则加的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

（2022・福建•中考真题）

5.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形4BC,其中±ABC=27\

8c=44cm,则高4。约为（）（参考数据：sin27°«0.45,cos27°«0.89,

tan27°«0.51）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

（2025・福建•中考真题）

6.某房梁如图所示，立柱4。八8。，E,产分别是斜梁力8,4C的中点.若

AB=AC=8m,则DE的长为m.

7.如图，是的角平分线.若上A=9（），,树）=0,则点。至必C的距

离是.

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（2025•福建♦中考真题）

8.如图，ZX/IB。是等边三角形，。是的中点，CE_LBC,垂足为C,E尸是由

CQ沿CE方向平移得到的.已知功过点4,BE交CD于点、G.

（1）求。。＜芯的大小；

⑵求证：aCEG是等边三角形.

考点02：全等三角形

（2023•福建•中考真题）

9.阅读以下作图步骤：

①在O力和（加上分别截取使OC=OD;

②分别以c。为圆心，以大于夕。的长为半径作弧，两弧在

OAOB内交于点M;

③作射线。叫连接CKDV/,如图所示.

根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

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A

（2024・福建•中考真题）

13.如图，在菱形力88中，点E、/分别在8C、CQ边上,

（2024・福建•中考真题）

14.如图，已知直线3S.

___________________/2

⑴在小所在的平面内求作直线/‘使得且/与响的距

离恰好等于/与4间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保

留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若4与4间的距离为2,点力㈤。分别在34

上，且△”c为等腰直角三角形，求△相€：的面积.

（2023・福建•中考真题）

15.如图，OA=OC,OB=OD,7AOD=7COB.求证：AB=CD.

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AC

Q

BD

（2022•福建♦中考真题）

16.如图，点C,F在BE上,BF=EC,AB=DE,上B二上E.

求证：_t1=±£>.

（2021•福建•中考真题）

17.如图，在心36c中，kACB=90°.线段所是由线段相平移得

到的，点/在边叱上，然。是以文为斜边的等腰直角三角形，

且点。恰好在我的延长线上.

（1）求证：上4DE=±DFC；

（2）求证：CD=BF,

（2021•福建•中考真题）

18.如图，在△力8。中，。是边3C上的点，DE±AQDF±AB9

垂足分别为E,F,^DE=DF,CE=BF.求证：上8=上。.

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一、单选题

（2025•福建南平•二模）

19.如图,在△力8。中，±BAC=90\AB=AC=59点。为”边上一点，且

力。二2,点七在3。边上（点E不与点8、。重合），将旬2法沿折叠，使得点

3的对应点网落在8C边上，则线段相＜t的长为（）

（2025・福建龙岩•一模）

20.若三角形的三边长分别为3,5,〃?，则〃，的值可以是（）

A.1B.2C.6D.9

（2025•福建厦门•二模）

21.如图，已知△48C是等边三角形，AB=2,是8c边上的高，E是4c的

中点，尸是力。上一动点.则PE+PC的最小值是（）

A.1B.0C.二D.J5

（2025•福建龙岩•二模）

22.如图，已知上MON=90。，点/是射线。必上的一个定点，点8是射线ON上

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的一个动点，且满足08>0/.点C在线段O1的延长线上，且4C=O8.点。在

线段。月上，且3。=04,连接川9,CD,则上。8/+上。CO二（）

A.60°B,55°C.50°D.45°

（2025•福建漳州•二模）

23.在Rt△川?。中，上%90。,上8=30。，用尺规在口边上求作点。，使得

AD^BD.下列作法错误的是（）

（2025•福建•二模）

24.如图，AB//CD,上2=2上D,若上1=40。，则上2的度数为（）

二、填空题

（2025・宁夏银川•二模）

25.如图，在Rt△48c中，kACB=90°,上4=60。，JC=3,将。绕点。按逆

时针方向旋转得到△川8CC,此时点加恰好在力B边上，则点网与点3之间的距

离

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26.如图，在RIA48C中，上C=90。，48的垂直平分线。E交BC于点。，垂足为

点、E,连接4）,若力。平分DC48,BC=6,则4D的长为.

（2025・福建厦门•二模）

27.如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从

曲线起点力行驶至终点8,过点4B的两条切线相交于点C,机动车在从点力

到点8行驶过程中转角为a.若这段圆弧的半径04二门m,a=60。，则图中危险

区（阴影部分）的面积为一.

（2025・福建莆田,三模）

2X.在RtZ\/44C中，上428=90",JC=6,BC=8,。是4?上一个动点，将△&?£）

沿C。折叠得到钻8,当。石平行△48。的一边时，点E到4c边的距离为

.（2025•福建泉州•二模）

29.如图，一束平行于主光轴MN的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在

的直线所与一束经过光心O的光线力。相交于点P,尸为凹透镜的焦点.若

±1=130°,上2=30。，则±3的度数为

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30.小东同学使用激光笔进行折射实验.当光线从空气进入水中时，它的传播方

向会发生改变.已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示.若

（2025•福建泉州•三模）

31.如图，△/13C中，上。=90。，4D平分DB4C交BC于点D,

，AC=1cm»则长为cm.

（2025・福建厦门•三模）

32.如图是学校屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，己知力3=%。，上4=36。,

则DBAC的度数是.

（2025・福建厦门•二模）

33.《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小

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误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧.其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又

自乘，并之，二而一.”即：弓形面积=（弦长X矢长+矢长X矢长）+2.如图，一

块弓形田的弦力8长为12m,矢6长为243m，用弧田术计算其面积，与实际的

误差为______T取古圆周率3）

（2025・福建厦门•二模）

34.如图，已知△48C,点。在8C延长线上，上.4=60。,上130。，则上8二一

三、解答题

（2025•福建福州•三模）

35.如图，在中，上4C8=90,0为中点.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：

在边45上找一点E,使得上。£。=上。力。；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若tan上/"求线段CE的长.（如需画草图，请

使用备用图）

（2025•福建福州•三模）

36.综合与实践

对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图

形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图

形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心.以下是具体公

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式和步骤，根据以下素材，探索完成任务.

在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置

图形重心说明

素矩形几何中心对角线的交点

材

1三条中线交点顶点坐标为（用,M），

三角形

{3t3）（X2,%）,（孙为）

面几何中心圆心

建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：

1.建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同

一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等.

2.分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图

素

形的面积”，

材

3.确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐

2

标（孙必）•

4.代入公式计算：把4,（孙力）代入重心坐标公式，计算出组合图形重心

坐标GM，其中；=中±,-./川

负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），

素

可将挖空部分视为“负面积’‘，重心公式调整为（.『6）,其中

材

3——X整仆空博-“、＜S也与_）‘毕体S空隹二歹护中S徨空

x-.y-''.

S整体-S挖空$整体-S挖空

任

务求阴影部分图形的重心坐标.

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求阴影部分图形的重心坐标.

任

务

求阴影部分图形的重心坐标（结果保留"）.

任

三

（2025•福建三明•三模）

37.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC.点。在△N8C外，点£在力C上

,±VBC=90°,4BDE^^BCE,

瞽用图

（1）求作△以必；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

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Q）若DE交4B于点F,连接。，分别交口，BE于点、G,H,过点。作。例_LAB,

垂足为M，交6E于点N.请在备用图中画出相应图形，并证明C。平分上4CM.

（2025•福建三明•三模）

38.如图，在△力8C中，点。在48上，E是力。中点，CF//AB,延长线交

3于点厂.求证：DE=EF.

（2025・福建厦门•二模）

39.如图，在中，上C=9（）°.

（1）在AC边上确定一点O,以。为圆心，0c为半径作e。，使得e。与力3边相

切于点。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）已知4C=3,8c=4,在所作的图形中，求e。的半径.

（2025•福建福州•三模）

40.如图，△48。是等边三角形，。是BC上的点，点上在△/灰?外，且CE

,CE=BD.求证：△ABD9AACE.

（2025・福建厦门•二模）

41.如图,在RtZX/BC中，上C=90°,47=8,8。=6,

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A

⑴尺规作图：将绕点B按顺时针方向旋转得到&DBE，使得点C的对应

点£恰好落在线段的上；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，连接力。，上”。的平分线”交彳。于点尸，连接所.求EF

的长.

（2025•福建福州•三模）

42.如图，.bl=±D=90°,^E=DF.EC=FB,求证：上E二上尸.

（2025・福建三明・二模）

AB>AC,

⑴尺规作图：作£）力的平分线交8C于点。，在44上截取力七RC,连接。£.（不

写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，求证：上C＞上8.

（2025•福建龙岩•二模）

44.如图，点3,E,C,尸在同一条直线上，BE=CF,4C=DF,ACIIDF,求

45.如图，已知点8,C,DE在一条直线上，上4BD二上FCE,4B=FC,BC=DE.求

证；ADIIFE.

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A

46.2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程,

重点扶持科技园区的5G通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济

新高地.在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建

模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值.

任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确

数据支撑，助力5G信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求

加却©=:的方法，构造含有22.5。角的直角三角形48C,如图1.请结合尺规作图，

求tan22.5。的值.(作图保留作图痕迹，不要求写作法)

图I

任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对

园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用.如图2,在等腰直角三角形月6c

区域中，43=10()米，AN、CM为通信线路.为减少材料损耗、降低施工成本，

若4米，求当。取何值时，通信线路4'+CM的长度有最小值.

试卷第16页，共18页

w

H

（2025•福建福州•二模）

47.如图，在△43C和△OC8中，力伐C'。相交于点0,1ACB=1JDBC=90°,

±ABC=±J)CB.求证：OA=OD.

（2025•福建莆田•二模）

48.等边三角形48c中，点。，E,尸分别在胡，,AC的延长线上，且

EF,求证：DE=EF.

（2025•福建泉州•二模）

49.如图，在△4?。和中，ALBAD=1.CAE,二上Q,AC=AE.求证:

AB=AD.

试卷第17页，共18页

50.如图，点A,B,。在同一直线上，ADRBE,7ABD=7BEC,AD=BC.证

明：BD=EC.

51.如图，在等腰三角形48。中，74a=90。，点。为"边上的点.

(1)尺规作图：在△力AC的外侧作△C8E,使得坏写作法，保留

作图痕迹)

⑵在(1)所作的图形中，当力。=2DB时,求tan7c£8的值.

试卷第18页，共18页

1.B

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到

上D4E=上8。=45。，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可.熟练掌握相关性质，

是解题的关键.

【详解】解：：上思90°,上8=45°,

:上4cB=45°,

:ADWBC,

:±DJ£=±^C/?=45°,

:上DEF=上DAE+1ADE=60°,

:±JD£=15°;

故选：B.

2.A

【分析】本题考杳了平行线的性质，由/出IICO,可得上=60。，即可求解.

【详解】\ABIICD,

:上CDB=60°,

:CDJ_DE,则上以陀=90°,

:±1=180°-±CZ)B-±CD£，=30°,

故选：A.

3.B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等：

A.由对称的性质得上JOB=上DOC,由等腰三角形的性质得上呢沱二:上〃M,

UX)i\u)0C,即可判断；

B.DBOC不一定等于DAOB,即可判断；

C.由对称的性质得AO/IN也△OQC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过O作GW±OH,可得上GOO=上BOH,由对称性质得DBOH=DCOH同理可证

上4。必二上次即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.QOE_LOF,

:上BOE+上BOF=90°,

答案第1页，共35页

由对称得上/I08=±DOC,

Q点E,尸分别是底边CO的中点，△。48与△OOC都是等腰三角形,

；.，BOE=\ZAOB.，00卜=；2DOC,

:上BOF+上力。产=90°,

：OB±OD,结论正确，故不符合题意；

B.B4OC不一定等于0406,结论错误，故符合题意；

C.由对称得△CM8空△ODC,

:点E,产分别是底边力8,C。的中点，

：OE=OF,结论正确，故不符合题意；

过。作GM_LO〃，

：±GOD+±f)OH=90°,

Q40H+上Z)OH=90。，

:上GO。=上BOH,由对称得DBOH=DCOH,

:上GO。=±_C0H,

同理可证上HOM=上BOH,

:DAOD+DBOC=上4OD+上JQW+上DOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选：B.

4.B

【分析】根据三角形的三边关系求解即可.

【详解】解：由题意，得4-3<m<4+3,即1<加<7,

故〃?的值可选5,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键.

5.B

答案第2页，共35页

【分析】根据等腰三角形的性质及8C=44cm,可得仅=、用22un,根据等腰三角形的

性质及上J8C=27°,可得上JC4=±/也。=27°,在北切。。中，由力。二tan27°x。。，求

得力。的长度.

【详解】解：：等腰三角形43C,AB=AC,AD为BC边上的高,

:・DC二BC.

:9C=44cm,

・•・”=g8C=22cm.

:等腰三角形48C,AB=AC,上4BC=27。,

:±/1C5=±JZ?C=27°.

:力。为8C边上的高，上4cB=27。,

:在RS<DC中,

AD=tan27°xCD,

:tan27°«0.51,DC=22cm,

0.51x22=11.22cm.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解

题的关键.

6.4

【分析】本题主要考杳了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一

半，是解题的关键.根据力。人8。，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得

出DEr-4m.

【详解】解：：力。文,

:△48。为直角三角形，

:E是斜梁48的中点，

DE=!AB=4m.

故答案为：4.

7.百

【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得.

答案第3页，共35页

【详解】如图，过。作则。至以。的距离为OE

：DE=BD=、/3

:点D至倒C的距离为。.

故答案为H.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，

熟知角平分线的性质是解题关键.

8.(1)60°

(2)见解析

【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性

质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理

能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

(1)等边三角形的性质推出上DCB=30°,垂直，得到上BCE=90°,角的和差关系求出

7。工的大小即可；

(2)平移得到CQIIM,进而得到上口C=上004=30°、角的和差关系推出上上

进而得至ME=CE,上120°,根据力4=C8,推出BE垂直平分/1C,进而得到

上(，仅'=:±/仿。=60。，推出上GEC二上GCE二上£GC,进而得到ACEG是等边三角形即可.

【详解】(1)解：是等边三角形，

：.±ACB=60°.

QD是AB的中点，

ZDCB=ZDC4=-£ACB=30。.

2

QC£±5C,

:上BCE=90°,

:上DCE=J1BCE-上DCB=60".

答案第4页，共35页

(2)由平移可知：CDIIEF,

：±EAC=±DCA=30°,

又Q±£CN=_tBCE-±AC3=30°,

:上E4c=1.ECA,

-,AE=CE,±JEC=120°,

又Q4“=cn,

:BE垂直平分力C,

ZG£C--ZJ£C-60°,

2

由(1)知,±.GCE=60°,

:上EGC=60°,

:上GEC=±GCE=上EGC,

:ACEG是等边三角形.

9.A

【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM、再结合=可得

△COM空AQQW(SSS),由全等三角形的性质可得上1二上2即可解答.

【详解】解：由作图过程可得：OD=OC,CM=DM,

:DM=DM,

:△COM3DOM(SSS).

:±1=±2.

：A选项符合题意；

不能确定OC=CM,则上1=上3不一定成立，故B选项不符合题意；

不能确定。。=OM,故C选项不符合题意，

ODIICM不一定成立，则£)2=£)3不一定成立，故D选项不符合题意.

故选A.

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺

规作图过程是解答本题的关键.

1().1

【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出

答案第5页，共35页

S^ABCD=^AC.BD=4，hOAB=±_OCD，然后证明△,4OEgZ\CO"（ASA）即可求解.

【详解】解：•.•菱形48CQ,OA=2,6>£>=1,

,AC=4,BD=2,OA=0C,AB//CD,

I

:S装形488=干C.BD=4,上O4B=±OCD.

•：±AOE=HOF,

:AJOF^ACOF（ASA）,

:SAW+S&COF~；S芟形业z>=1»

故答案为：1.

11.10

［分析］由平行四边形的性质可得。CHAB,DC=AB即上。匹。=上OEB、上ODF=上£8。,

再结合0。=。8可得△O0E^^8OE(AAS)可得Z)P=EB,最进一步说明尸C二4七二10即

可解答.

【详解】解：•；4BCD中,

\DCIIAB,DC=AB,

:上OFD=上。必,上ODE=1J-BO,

vOD=OB,

:△。。金△BOE(AAS),

:DF=EB,

:DC-DF=AB-BE=/!£=10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角

形全等是解答本题的关键.

12.见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何

直观等.先证明上/出。二匕IOC,AAS证明△/水/△/OC,即可得出结论.

【详解】证明：Q上CBE=KDF,±/iBC+上CBE=180°,±ADC+±CDF=180°,

答案第6页，共35页

:_LABC=AyiDC.

在△49C和△力。。中,

Z8C=4DC

(ZACB=ZACD,

AC^AC

'.^ABC^^ADC,

：AB=AD.

13.见解析

【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明上胡E二上D4E,再

证明△历化且/\。加"从而可得结论.

【详解】证明：在菱形力比。中，

:上B/1F=±DAE,

：上B4E+±EAF=上E4F+±J)AF,

:上BAE=上。/产，

[N8=/D

在"AE和A/Mf中卜8:0.

:ABAE父4DAF,

:BE=DF.

14.⑴见解析；

(2)A/I5C的面积为1或1.

【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨

论思想：

(I)先作出与4的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可;

(2)分上84C=90°,48=AC；_h45C=90°,8/=BC；上/1CB=90°,。=C8三种情况，结

合三角形面枳公式求解即可

答案第7页，共35页

【详解】(1)解•：如图,

直线/就是所求作的直线.

(2)①当上R4C=90°,/B=XC时,

Q/II/,IU,直线乙与/2间的距离为2,且/与人间的距离等于，与A间的距离，根据图形的

对称性可知：BC=2,

AAB=ACw五。

②当-8。=90°,历1=8C时,

分别过点4。作直线人的垂线，垂足为A7,N,

：±AMB=±MNC=90°.

Q/II/,II4,直线人与4间的距离为2,且/与人间的距离等于/与，2间的距离,

:CN=2,AM=1.

q±MAB+1ABM=90°,±ABC+±ABM=90°,

：±MAB=上NBC，:/\AMB%ABNC,

:BM=CN=2.

在Rf/BM中，由勾股定理得=AM1+BM1,

：AB=、/5.

:$3-1ABBC^5,

322

答案第8页，共35页

MBNh

C

综上所述，2BC的面积为1或\

15.见解析

【分析】根据己知条件得出上二上CO。，进而证明根据全等三角形的

性质即可得证.

【详解】证明：Q上4。。=上C08,

:上月0。-上BOD=上COB-上BOD,

即上478二上CW.

在△〃力和△COQ中，

IOA=0C,

\±AOB=上COD,

'llOB=OD,

：》OB小COD

：AB=CD.

【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、

推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

16.证明见解析

【分析】利用8/二CE得出8C=£7L再利用SAS证明根据全等三角形的

对应角相等，即可得出上J二上Q.

【详解】证明：：4"二CE,

:BC=EF,

答案第9页，共35页

又•:AB=DE,上B=上£,

:“8C丝△。斯（SAS）

:=_tz）.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题

的关健.

17.（1）见解析：（2）见解析

【分析】（1）通过两角和等于90°,然后通过等量代换即可证明；

（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明.

【详解】证明：（1）在等腰直角三角形/中，上EO/=90°,

:±^DF+±^DF=90°.

•••1ACB=90°,

:±f）/7C+±ADF=±/lCB=90°,

:±ADE=±DFC.

（2）连接4E.

由平移的性质得力£7/8£/1E=BF.

:±EAD=±ACB=90°,

:±DCF=180°-_b4C8=90°,

:上FAD=上D「F.

•••△££）尸是等腰直角三角形，

:DE=DF.

由（1）得上/1。石=上。尺：，

:4AED3CDF,

:AE=CD,:CD=BF.

【点睛】本小题考杳平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性

答案第10页，共35页

质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质.

18.见解析

【分析】由QEJL/1C。"！.力〃得出上力EC=上。尸B=由S4S证明AOECg△。尸8,得

出对应角相等即可.

【详解】证明：•.•OEJ■4C,。尸_|_月8,

:上QEC=上68=90。.

/)£=/».

在△OEC和Aira中，一DEC」)卜B.

CE=BF,

:△DEC冬DFB,

:±Z?=±C.

【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、

空间观念与几何直观.

19.D

【分析】本题主要考查了翻折的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的

关键是熟练掌握翻折的性质及勾股定理.

根据等腰直角三角形的性质得出上4=45°,根据翻折的性质和线段的和差得出。冽=3,最

后利用勾股定理即可求解，

【详解】解：±J3AC=90°,AB=AC,

:△ABC为等腰直角三角形，

:上3=45°,

由翻折的性质可得上。冽8=±5=45°,

900,08=DB,,

Q//=5,40=2,

\DB=DB，=AB-AD=5-2=3,

在Rl△4中，由勾股定理得，

ABgI。*f)B=?79=H,

故选：D.

20.C

【分析】本题考查了二角形的二边关系，根据二角形的二边关系求解即可，熟练掌握二角形

答案第11页，共35页

的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由题意可得：5-3<川<5+3,

:2<w<8>

:加的值可以是6,

故选：C.

21.C

【分析】本题考查的是最值线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键.连

接施，则朋的长度即为PE与尸c和的最小值，再利用等边三角形的性质可得BE_L/C,

然后根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，连接与力。交于点P,

:△44C是等边三角形，“。是4c边上的高

,:AP_LBC,BD=CD,即力。垂直平分

BC,:PB;PC,

：PE+PC=PB+PE>BE,

:此时PE+PC最小，即5E就是PE+PC的最小值，

QM8C是等边三角形，

:上BCE=60°,

QB4=BC=4C=2,七是4C的中点，

：RF.A_4C.(b--I

:上BEC=90°,

BE=>1HC：-CE：=6

故选：C.

22.D

【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判

答案第12页，共35页

定和性质，过点8作斯J_ON,过点C作C£l_。"，交于点E在C/上截取CK,使CK=Q4,

连接8K,AK,得出四边形O8FC是矩形.由矩形的性质进一步证明△〃方会

由全等三角形的性质进一步推出△力8K是等腰直角三角形.由等腰直角三角形的性质得出

上J8K=45。，再证明&COD3BFKG网由全等三角形的性质得出上。CO=±FBK,进

而可得出答案.

【详解】解：如图，过点8作8/_LON,过点。作C/J_O历，交于点、F,在b上截取

CK,使CK=O4,连接8K,AK,

:上OBF=±.OCF=±MON=90°.

:四边形O8FC是矩形.

:OC=BF,OB=CF,上尸=90°.

•••AC=OB,

:MO5^^CJ（SAS）.

:hOBA=上。K,AB=AK.

•••上。力8+上。历1=90°,

:上048+上。K=90°.

:NBAK=90°.

:△49K是等腰直角三角形.

:_LABK=45°.

•••OB=CF,

:OD+BD=CK+KF.

•:BD=OA=CK,

:OD=KF.

•：OC=BF,上。0c=±/-'=90°,

答案第13页，共35页

:△COOgA8/7K（SAS）.

:上OCQ二±F8K.

:上OBA+上FBK=上OBF-上4BK=45°,

:DOBA+DOCD=45°.

故选：D.

23.D

【分析】本题考查角平分线，垂直平分线的尺规作图，作一个角等于已知角，掌握作图方法

是解题的关键.

根据角平分线，垂直平分线的性质，及角相等，逐项分析，即可解答.

【详解】解：：上历1C=9O。,上夕=30°,

"ACB=90°-ZZ?=60°.

A.:。。是EUC4的平分线，

・・・ZJCD=/BCD=；ZACB«3U*.

:.AD^^CD,±^CD=±^=30°,

.%JD=-CD=-/?/>.

22

故A正确.

B.由垂直平分线可得

CD=BD,

：±JiCD=±5=30°,EP±ACD=±4cB-±BCD=30°,

同理可知二:卅）.

故B正确.

C.有作图可知上灰T）=上夕=40°,

同理可证卅）.

故C正确.

D.无法证明二［BD.

故答案选D.

24.D

答案第14页，共35页

【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明上。=上1=40。，再证

明/C=NO=40。，从而可得答案.

【详解】解：-AB//CD,上1=40°,

：_tc=±l=40°,

v±2=2上。,D2=DC+DD,

：ZC=ZZ)=40°,

上=2x40°=80°.

故选：D.

25.3jj

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质

及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键；连接8例：由旋转的性质得△C8M是等边

三角形，则=在RtZ\48C,利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得

BC,即可求解.

【详解】解：如图，连接BBC;

由旋转的性质得884=60°.

:△C8M是等边三角形，

:BC=BB&;

在Rt4/BC,±/1=60°,AC=3,

:±ABC=90°-±A=30°,

:AB=2AC=6,

由勾股定理得AC=j人炉一”7=3万,

：BB6=33.

故答案为:373.

答案第15页，共35页

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和

定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到D4=08,则由等边

对等角和角平分线的定义可得NBAD=NB,再由三角形内角和定理可推出

±CAD=30°,则可得到BD=AD=2CD,再由线段的和差关系求解即可.

【详解】解：•.F8的垂直平分线OE交5c于点。，垂足为点

:DA=DB,

:上D4B=上B,

•••AD平分DCAB,

:ZCAD=NBAD=4B,

v±C=90°,

1JiAD+-90。，

:_LCAD=30°,

:BD-AD-2CD,

-BC=CD+BD=6,

:；BD+BD=6.

:BD=4,

故答案为：4.

27.V5-1

【分析】根据圆的切线性质，得上CMC=上08c=90。，得上CMC+上。180°,得

±ytOB+±ACB=180°,得±AOB=a=60°,由切线长性质，得

1AOC=±f!OC=^±AOB=30°,得可得乂C=1,由得

S=S-S=百-卫

明影四边形O/C3阳形。（8'2•

【详解】解.：连接OC,

-OA.OB为eO的切线，

:AC_LOA,BCA.OB,

:±.OAC=±OBC=90°t

:上。4C+上O8C=180°,

:上408+上=180°,

答案第16页，共35页

v±jcs+±a=18()。,

：ALAOB=a=60°,

:ZOC=ZBOC=：〃05=劝.

・・・/(7•；”,

•••O/p+AG=OG,OA=75.

:AC=I,

由轴对称知，△OAC咨M)BC,

•cCc,I八40则必4<

"Sg=«ac-5*3.=•*吊。《•水彳一二73-3

故答案为：J5-：.

【点睛】本题考查了圆的切线.熟练掌握圆的切线性质.切线长性质，四边形性质，含30

度的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，是解题的关键.

28.，或三

【分析】本题考查了折登的性质、勾股定理、解直角三角形，由勾股定理可得45=10,解

直角三角形得出sin上8=qcos±5=1,再分两种情况：当OE〃力。时，延长ED交8C于

F；当OEII4c时，令DE交4c于G；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是

解此题的关键.

【详解】解：••在RUA/16C中，±/lCB=90°,AC-6,5C-8,

：・ARZAC21肝=10,

由■生，

/A4ABS

如图：当。E〃a。时，延长EO交8C于产,

答案第17页，共35页

E

A

/

由折叠的性质可得：CE=BC=8,上E=上方，

•••DE//AQ

\!ACF+_b£FC=180°,

:±JCF=±^R;=90°,

432”

:EF=CE.cos±'8-.-.,即此时点后到8C边的也离为：；

如图，当OEH8C时，令DE交AC于G,

A

由折叠的性质可得：CE=BC=8,上£=上8,

vDE//AQ

;±£GC=±ACB=90°,

:CG=CE.sin±A«^=y.即此时点上到8c边的距离为［；

综上所示，即此时点£至U8C边的距离为1或2：；

,p74

故答案为：或I1

29.80°##80度

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的外

角性质是解题的关键.

由邻补角的性质求出上/IB尸二50°,由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到答案.

【详解】解：•••上I=130°,

:±ABF=180°-上1=50°,

•••ABIIMO,

:_LPFO=AL4BF=50°,

答案第18页，共35页

•••上/6/=上2=30°,

:±3=上PFO+上POF=80°

故答案为:80°.

30.20°

【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互会，解题关键利用直角三角形两个锐

角互余求出相应角度.

根据上仍。二±2+90°+（90°-上1）求解.

【详解】解：,••与始=±2+90°+（90°-上1）,ZI=7O°,±ABO=130°,

:130°=±2+90°+（90°-70°）,解得：上2=20°.

故答案为：20°.

31.2加

【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，过点。作

Dll_LAB于〃，设OC=Qcm，则BD=34cm,CB-44cm，可得BH=2^2acm,

44二（l+2「a）cm,利用勾股定理列方程即可，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键.

【详解】解：如图，过点D作DH_1_AB于H,设。。=〃cm,则8。=3acm,CB=4dcm,

Q4D平分£）B4C交BC于点。,DH^_AB,±C=90°,

.CD=Dll-a

根据勾股定理可得8H-4DB:-DH'=26x01

Q上。。=±/"。,上C=1AHD=90°,JD=AD,

:△4CQ/A4〃Q（AAS）,

,.AC=AH=1cm,

\AB-

根据勾股定理可得力O+BG=,即I?+（4a）2=（1+/%）

解得“二立，负值舍去），

答案第19页，共35页

：BC=4a=2j12cm,

故答案为：2Ji.

32.1080##108度

【分析】根据48=/1C,上8=36°得到上C=上8二36。，利用三角形内角和定理解答即可.

本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟冻掌握性质和定理是解题的关键.

【详解】解：根据力8=4C,±5二36。得到上。二上方二36°,

古攵上B4C=180°-±C=±^=108°,

故答案为：108°.

33.1.2

【分析】本题主要考查扇形面积公式，勾股定理的应用和解直角三角形，根据已知求得弧田

术弓形面积，再结合题意得至以,。力=OC-CO二厂2/和。4二〃，利用勾

股定理求得广，根据sin上4。。=…求得上408=2上48,利用扇形面积和三角形面积公

式即可求得实际面积，作差即可.

【详解】解：根据已知弧田术得，

弓形面积=(弦长X矢长+矢长X矢长)+2

=(2;x12+2-;x2(2

=+6=26.4;

如图，

•••弦48长为12m,矢CO长为2.。m,

:"D=DB=JB=6.OD»OC-CD«r-2V3»04-r,

2222

则。P=4。+O。，即r=6+(r-2,后>,解得r-4.，

vsmZ>4OD=—=-^=—.

AO4432

答案第20页，共35页

:上408=2_b4OZ)=120°：

1202I

那么，弓形面积

sSIIx

，盘中可

=48-12-73=27.6,

则与实际的误差为27.6・26.4=1.2,

故答案为：1.2.

34.70

【分析】本题考查三角形的外角的性质，根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两

个内角的度数和，进行求解即可.

【详解】解：：点。在8c延长线上,

:上/。。是△力AC的一个外角.

:上优。=上/1+上方,

:±^=60°,±^C7)=130°,

:上"70°;

故答案为：70

35.⑴见解析

【分析】（1）尺规作边力。的垂直平分线，得出力。中点点。，以点。为圆心，X。为直径

作圆O,圆。交边48于点£,连接则上。口＞上。/仁.

2根据上。£。=上。4C,得出tan上。"C=tan上“〃-；-'设力C=2t,4C=3x,则

3AC

BC=4x,根据力8=5和勾股定理求出x=1,得Z）C=2MC=3,过。作根据等

面积法得出C”,勾股定理求出力