向量线性运算与性质培优归类（12题型）解析版-2026年高考数学一轮复习

专题03向量线性运算与性质培优归类

》炼压轴-弑高度4

题型1向量夹角：坐标型

求平面向量夹角的方法（坐标型）：

坐标法：若非零向量〃=（2）、k依⑷，则cosS>=&；；苗+工

1.（24-25高三•上海阶段练习）函数y=不称的图象（随着工的增大）（）

+sinxL-，_

A.先上升后下降B.先下降后上升

C.先上升后下降再上升D.先下降后上升再下降

［答案］A

【分析】化简函数得出几何意义，通过求解两个向量的夹角变化即可得出结论.

【详解】由题意，

,2x+sinxl'n3n

在）=£/，.2，X€彳'丁中，

\l5-\Jx+sin_x1_22J

函数可改写为：尸（楠2,l）（xM,sinx）二八

其中。为向量（2,1）与（x,sinx）的夹角。

下面对变化进行分析：

1.向量方向变化：

向量1=（x,sinx）的x分量随x增大线性增长，sinx在区间1闱内从1下降到-1,整体方向趋近于x轴

41

正方向。

向量“二（2,1）的方向角为a=arctan«26.565°

2.夹角6的变化：

当;从］增加时，向量I=（x,sin<）的方向角4=2「加11（婴）逐渐减小。

初始时q>a,夹角e=q-a逐渐减小，cos。增大。

当用=。时，cos，达到最大值1；

此后4<a,夹角。增大，cos®减小。

•.・函数y=一厂4：S"上「，X€的图象先上升后下降，

\j5-yjx+sin'xL，2.

故选：A.

/1R

2.（23-24高三上•山东德州•阶段练习）已知向量A*=于-与比=,则ZA8C=()

A.30°B.150°C.60°D.120°

【答案】B

【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.

【详解】因为向量AQ=；,一与,=

所以8s福小就曲二

又0WAB.BCW180,所以A3,8C=30,所以A4,BC=180-30=150

所以N48C=150"

故选：B.

3.（2024,陕西.模拟预测）若向量〃=（-2,-。石=（%1）,3与/；的夹角为钝角，则实数2的取值范围是（)

2(2,+00)B.(2收)

A-r?r

【答案】A

【分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解.

【详解】当♦与否共线时，此时-2=-％=2=2,当4=2时，"=—讥此时［与否方向相反，

当》与五的夹角为钝角时，则需6・6<0且2与五不反向，所以-2/MvO且％工2,解得g,2）u（2,+8）,

故选：A

4.（24-25高三上河北张家口•阶段练习）圆0/+），2=1：与关轴正半轴交点为M,圆0上的点A,B分

2后

别位于第一、二象限，并且NA08=N40W,若点A的坐标为,则点4的坐标为

5

±、

B.<-5,5；一"T'丁

\/

【答案】B

【分析】由NAO8=NAOM,可知。4-O月=。4。0”，设8的坐标为(M)，)，根据向量的关系列方程求解

即可.

【详解】由题意知，M(LO),设B的坐标为(工)')厕。麻=(1,0)、。4=乎，半］5=(x,y),

因为ZAO8=Z4OM,所以次♦砺祈，即条+好…手，又/+、尸=］.

33

^=-5{x=\X=~3/34、

联立解得;或A,因为用在第二象限，故只有:满足，即8.

V=1b，=0yJI55)

55

故答案为B.

【点睛】本题考查了单位圆的性质，考查了向量的坐标表示，向量的数量积，考查了方程思想.，属于基础

题.

题型2向量夹角：模与数量积型

・■・■・■・■•■・■・■■・■・・・■・・・■・■・■■・■・■・■■・■・■・■・■・・・・・・・■・■・■■・■・■•■■・■■・■・■■・■・■・・•■・・・・・・・・・■・■・・•■・■■・■・■・・・・・・・■・■・・•■■・■・■・■・■・■・■・■■・■・■・・・■・■,■・■■・■■・■・■・■■・■•■・「

\@屯@0

：求平面向量夹角的方法模长型)：

—•—•

一"ea•b

i定义法：利用向量数量积的定义得cosv&〃、=FFM，其中两向量v£,B＞的取值范围是［0,司；

•■・■・・•・・■・■・•■・・・一・・・・・■・・・■・・・・・■・・・・・・・・・■・・・・・■・・・・・■・・・■・■・・・■・・・・・■・・・■・・・・・■・・・・・■・・・■・・・・・・•・・・・・■・・・■・■・・・■・・・■・■・■■・■・■・・・■・・・■・■・・・■・■・・・一・・・・・■・■・I

1.(21-22高一下,全国,单元测试)若两个非零向量3］满足口+4=日-4=2忖，则向量3+5与7一刃的夹

角是()

冗r兀c2兀r5兀

AA.-B.-C.——D.—

6336

【答案】C

【分析】设反A/2心根据向量的运算与模长关系可得AB_LAD,从而确定向量与4-5的夹角为

我，丽的夹角，即可得答案.

【详解】由题意作图如下，设人力一反痛—心

DC

—73n

才二〉＜、

故向量〃+B=AC,ci-h=BD,

因为口+可=归-6,所以。。=|而则四边形A8CO为矩形，则A8_L/U)

又因为,+闸=2同，所以|京|=2|羽，贝1］480=/08=’

【详解】如图所示，设7〉后与碇的夹角为，（夕｛[0,1I）.AB1XC,所以A区衣=0,

因为A是线段PE的中点，PE长为24所以Q=_而，网=网=。，

又因为丽=经-福,在=荏一而，所以

BPCE=（AP-AB）（AF-AC）=APAE-APAC-A§AE+ABAC

=-a~-APAC-AB-AE=-a2+AE-AC-AB-AE

=-a2+AE（AC-AB）=-a2+AEBC

=-a2+^PEBC=-a2+^[p^]W\cosO=-a2+a2cosO,

因为6w[0,笈],所以cos。w[7.1],所以当cos9=l时丽最大，

此时。=0,9.在最大的值为0.

被选：A.

4.（2025・四川广安・模拟预测）已知忖=2,神=1,@9=。，忖+25|+2-留=/（6）,则函数的值

域是（）

A.[4,2向B.[3,2>/5]

C.[4,4x/2]D.[3,4&]

【答案】C

【分析】由题知£.〃=2cos8,再根据向量的模长公式可得〃。）=j8+8cos6+j8-8cos。,接着利用二倍

角公式化简可得/（e）=4，+sin6,继而可得到值域.

【详解】•・・看出=巴可,

f|llJsin^e[O,l],sin->0,cos—>0,clb=同网cos0=2cos0,

+4d-b+yla2+4b2-4db

=j8+8cos6+j8-8cos。=卜+8（2COS2^-1+卜-81-2sin2^

,eA.0Jf0.9

—4cos—i-4sin--4.cos—i-sin—J=4Vl+sin6>e[4,4>/2].

22H22

故选：c.

题型3线性运算：〃中点型〃

。。艮

若D点在BC线段上，且满足丽=7而（0<2<1）则有而二（1一㈤而+2冠

1.（25-26高二上•浙江•开学考试）在V"C中，AE=3EC,若说=,必巨+=AC,则实数”的值为（）

A.—B.—C.——D.—1

234

【答案】D

4一

【分析】利用向量的线性运算，结合荏=3所，化简得到Bt=：4C-A反对照题设即得x的值.

4

【详解】因为荏=3成，可得通

4

所以说-赤一而一二七一而，

4

——3----

又因为=+所以x=—].

4

故选：D.

2.（24-25高二下•河北秦皇岛•期末）如图，在梯形ABC。中，点M在线段8。上，|叫=对啊.若

__1—.3—«

AM=-AD+-AB,则人（）

44

【答案】C

【分析】设。府=/1力87（）42W1）,根据平面向量的线性运算可得捐=（1-㈤罚+义/，结合平面向量基

3

本定理可得义=[,即可得结果.

【详解】依题意，设立"=/1函OK/IKI）,

贝IJ说=而+丽=而+/1痂=而+之（而一而）=（1一/1）而+/1通，

l-2=-

又丽而+:福且心丽不共线，则.4

,3

A=—

4

3___3___________

解得"“即OM=产，则。"疝I皿=3|刖所以％=3.

故选：C

3.(24-25高三・海南•阶段练习)如图，在口Q4CB中,E是AC的中点，点/满足8乙=38广若

0C=mOE+nOF,m,neR,贝U()

3443C.w=12c2I

A./〃=一,〃=—B./〃=一,〃=一D./〃=一,，?=一

5555333

【答案】B

【分析】根据向量加减法结合平面向量基本定理计算参数即可.

【详解】在00AC8中，E是4c的中点，点厂满足4己=38尸,

因为oC=oZ+o反，〃oF+〃。户=m(0/i+goQ)+〃(oQ+3a4)=(g+〃)o8+，〃+；[o<

.in,n...43

则ni不+〃=[,4+加=|,所cr以旭=不,〃=不

4rJJJ

故选：B.

4.(24-25高三•湖北孝感期末)如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数夜，石的图形、图中四边

形A8C。的对角线相交于点。，若丽=2丽,则2=()

A.1B.&C.显D.5

2

【答案】B

【分析】根据已知构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标，由向量共线的坐标表示列方程求参数值.

【详解】因为A。？=AC2+CQ2,所以4CJ_C，

以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

2=72

由0C»=/lO/j可得＜

b=41-\

故选：B

题型4线性运算：〃定比分点型〃

:线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线/上三点4、p2、P,且满足鸟户(2工-1),在直线/外

i任取一点0,设OR=a,OP、=石，可得OP="b=―-—a■—b.

1-1+21+21+2

i重要结论：若直线/上三点片、鸟、p,o为直线/外任一点，

\贝IJ丽=义西+〃漉o4+〃=l.

!证明：丽=所+五=所一/1歹=圾+既，贝IJ西一恒=入庭+酬=(1+2)中，

i则0西+虾二国+变也=茏但二生在二人

1+21+21+21+21+A

i

LB(・•・・・・■・■・■•・•・・■•■・・(■・■・■(・•・(■・■(・t■(■•■(■•・।・•・•■・■(・(■•・・■■■•■(■・・・■,・・■(■(■(・,・,・,・•・•・•・(■・■•・•・•・•・•・•■・■•・,・(・(・(・•■(■■■■•■•・(■(■(■■■■■■■,■•■・■

1.(23-24高三・广东广州・模拟)如图，在VA8C中，荏=3而，点E是C。的中点设通=*AC=b.

贝IJ而为()

I-I1-11-II-

A•—a+—bB.—a——bC.-a+—bD.-a——b

62623232

【答案】A

【分析】由向量的线性运算可得结果.

【详解】由而=3而，可得而=g而，

JfcA£=AD+DE=A£）+-DC=>W+-（AC-AD）=-AC+-AD=-/\C+-AB=-67+-^

22、f222662

故选：A.

2.（24-25高三・山西临汾・模拟）如图，在VABC中，。为4c的中点，E是线段AD上的一点，若

CE=xCA+（1-2x）CB,则工=（）

【答案】C

【分析】设理=/〃而，借助向量线性运算与可得在=（1〜〃）^+今由，结合题目所给条件计算即可得.

【详解】设AE=mAD,则CE=CA+AE=C4+niAD=CA+m(AC+C£))

+；可=(1—"i)M+£8,

=C4+m

x=i-m

3

则有《_rn解得，

tl-2x=—21

2m=一

3

故选：C.

3.（24-25高三・四川成都模拟）如图.在VABC中，。是BO的中点，E为A/）卜的点.日近-2丽.

若Ag=d,AC=5.则BE用口,5表不为（）

Bc.-1a-——1br

32

21-

D.——a+-b

3633

【答案】D

【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可.

【详解】由图知，诙=荏一通万一通=|x；（Ag+码一48

3333

故选：D.

4.（24-25高三河南郑州•阶段练习）如图，在△A8C中，加=3万心衣=2斤,£是A。的中点，则炉=

()

A

1—1—

B.--AB+-AC

63

C.-AB+-AC

63

1—7—

D.--AB+—AC

824

【答案】D

【分析】根据向量的加整结包手呼]量型性表示计算求解.

【详解】在△ABC中，BD=3DGAF=2FC,E是A£)的中点，

_一一2-1-2-1(1.§

贝IJ而=而一*就2一方而=：2祝一]|京4巨+彳A(']=-AC--AB.

3232)248

故选：D.

题型5线性运算：内线交点型

\[逅]

;向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量〃与非零向量Z共线的充要条件是有且只有一个实数义，使得，

ih=Aa-

;变形形式：已知直线/上三点A、B、P,0为直线/外任一点，有且只有一个实数X,使得：

:OP=(\-A)OA+AOB.

1特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“2工。”，否则几可能不存在，?

；也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，

当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明:

；这两条直线不重合.

ii

T：…(24万5高三近苏赤州而陵垢引厂如图「石丫人薪旺「春而：犷芬另。是近4己6｝朝币菽一工不马瓶相

交于点G,设而=%*=6,则旃=()

3333

【答案】D

【分析】结合图形，利用重心的性质由向量的加法法则可得.

【详解】由题意可得G为三角形直心，

所以否（5=|^〃=：］；8>4+：3乙）=；84+:31=（（前+而）十|%「

=-（/VC+M4）+-7VC=/VC--^V=XC-A?V--^V=AC--Ay*=5--6；,

3、）33333

故选：D.

2.（22-23高一下•四川广安期中）如图，已知在△COA中，M=AC,0D=2DB,。。和。4交于点£

若8。=«"=儿则以｛〃同为基底表示所正确的是（）

―.2-I-

B.BE=-a+-h

3255

一1-9

C.BE=-a+-hD.BE=-a+-b

5523

【答案】C

【分析】由已知可得海珈=刎+1吧进而可得加寺0万+匆己利用三点共线可求得石土进

而利用向量的线性运算可求得说.

【详解】因为丽=而，所以丽=；0»+；觉，又因为。瓦A三点共线，

所以设历=2丽=（丽+（无，又加=2丽，所以丽=|而，

所以OE=褂dj+goC,又。,瓦。三点共线，所以曰+g=i,解得;1=*,

所以。£=］而+1oc：

JJ

所以航二月。+赤=的一2BO+2（月。—月1）二,©（5+2月3=1々+25

55）555

故选：C.

3.（24-25高三广东惠州•阶段练习）如图，在XM8C中，点。是4C的中点，点£在边AC上,且满足3荏=定,

BE交AD于点F,设A户=+贝IJ/1+”（）

C.；D.1

2

【答案】B

【分析】根据向量共线定理表示出而,XF.从而求出入〃，即可求得义+〃.

【详解】设"=机而，因为以F,E共线，所以衣=人左+(1-A)A从

又3荏=/，所以衣=胃比+[1-依而，

又因为A力=+AC)=—AF,

2in

所以而=A*+(1-幻而=上(而+/)=%通+乂正，

3222

k_m1

ni=—

’2,即,2

解：

一="k=M

24

_1_1___一_1_3_

所以4户=!46+±4&,代入得而=AF-AB=-AC--AB,

4444

3|1

解得a=一二,〃=~7，则有4+〃=一套.

442

故选：B.一s

4.(24-25高一下•四川南充•阶段练习)如图，点。、/分别在VA8C的边6C、AC上.且院=3浅,4E=2£C.

8E与A。交于点M,+贝IJ4-〃=()

IIII

【答案】A

【分析】设与7=机而=＞戒="丽+网记、根据丽=〃屉="而1-〃而，可得

443

AM=AB+BM=^-AC+(]-n)AB,再利用向量相等得到方程组，求犯〃的值，再求心

A,义一〃即可.

【详解】因为院=3是'，所以莅—通=3而—3亚，

__1__3__

所以AQ=-AB+'AC,

44

__7_____9_

XAE=2EC=-AC,贝I屏=荏-通=§/-近

设丽=,〃而二生通+网记，

44

设丽=7面=出/-曲、

3

则说=而+丽=当近+(1_〃)研

所以(而+半近=等而+(]_〃)殖

又因为泡，而不共线，

3m2/i9

n=一

所以4T11

tn8,

—：m=一

1411

AC

所以/1=52,〃=己6，所以义一〃二一、4

故选：A.

题型6线性运算：面积比值型

I◎屯G0

1:…(21-22高三王而南下运⑪铲段综目厂巨知点。力主VAAC所茬下面上二点二直满足

04+/10*+(1+%)03=。，若△O4C的面积与△OAB的面积比值为1:4,则2的值为()

C.2D.3

【答案】B

【分析】如图。，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到。点=-义0万,

由于正三角形A3C,结合题目中的面积关系得到S,m=』5,腔，S,COB=WSSHC，由面积之比，。分。E所成

XX

的比，从而得出入的值.

[^Mlv04+205+(1+A)OC=0,

/.OA+OC+A(OB+OC)=0•

如图，D,E分别是对应边的中点，

由平行四边形法则知OA+OC=20E,2(08+OC)=22OD,

^0E=-MD

在正三角形A8C中，

且三角形AOC与三角形COB的底边相等,面积之比为;.

.OE\.1

所RCI以而守倚ZB'=3

故选：B

2.（22-23高一上•辽宁沈阳期中［点P是VA8C所在平面上一点，若丽=g丽+：贝卜加2与△ACP

的面积之比是（）

317

A.—B.3C.—D.—

233

【答案】D

【分析】如图，延长心交8c于点。，设而=4而，则而而+。而工根据平面向量共线定理得推

理求出4,从而可确定2P的位置.即可得出答案.

【详解】如图，延长转交8c于点。，

设痛=如2则而=1福+（正，

因为用C,。共线，

所以1+［=1,解得

一53-2一

所以AP=-AO,AD=-AB+-AC,

655

贝US&ABP=S»\BD,SzACP=Swf)•

由入方=|A8+|AC：

W-(AD-A5)=|(AC-A5),即［而=］反,

cri,BD2

所以­二7

CD3

S2

所以d=大，

%ACD3

5S

sA°GABD2

所以沁=•1—=4,

"cP沁"3

故选：D.

3.（22-23高一下•安徽六安•阶段练习）VA8C所在平面上一点。，满足9+反=义正（％wR且4/0）,

若aAOC的面积为4,则VA3C的面积为（）

A.6B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】取4c中点。，连接。。，根据向量的运算法则可得瓦+觉=2丽=丸/，即Q/）〃AC,从而可

得VA8C的面积与△AOC面积关系，即可得答案.

【详解】如图，取8c中点。，连接0。

则方+加=2罚所以QD//AC,故点A到直线AC的距离等于2倍的点9到直线AC的距离，

则《UC=2L”=2X4=8.

故选：B.

4.（22-23高一下•江苏盐城期中）已知A、B、。是平面上不共线的三点，。是△ABC的重心，点P满足

I_1_2-

OP=-OB+-OC+-OA,贝lJ△4b与面积比为（）

663

A.5:6B.1:4C.2:3D.1:2

【答案】B

【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】如图所示

A

:.OA+OB+OC=<),

OB+OC=-OA.

•,OP=-OS+-OC+-OA,

663

:.6OP=OB+OC+4OA,

6OP=3OA,即2加="C

.,•点产为04的中点，即点P,O为4c边中线A。的两个三等分点,

-lc_lc

•,"T-T,3eABC'

,Bep624

故选：B.

题型7线性运算：勾股弦图型

1.（24-25高三・江西赣州•阶段练习）勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出

的，被后人称为“赵爽弦图"，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的

会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形A3CO和瓦6"中，AD=ED=2,则下列结论正确的是（）

一1一1一

B.EA=-EC+-EF

22

C.tanFB,FE=3D.丽在皮上的投影数量为2|力回

【答案】C

【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项即可求解.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意。（0,0）,C（2,0）,£（-20）,4（0,2）,户（0,4）,3（2,2）,4（2,-2）,G（4,2）,

对干A,因为力=（-2,0）,乔=（2,4）,所以诙.丽=-4,故A错误；

对于B,因为或=（2,2）,g比+；6=g（4,0）+；（2,4）=（3,2）,故B错误；

对于C,因为丽=（2,-2）,屈二（一2,-4）,

一TSrn万•施-4+8M

所以8s根由同悯"访亚=而，

而,故c正确；

所以tan而，在——=3

10

E启•DE—8

对于D,因为方二（4,2）,£>£=（-2,0）,所以丽在诙上的投影数量为下可'7=-4,而4词=4,

故D错误.

故选：C.

2.（2025高三・全国・专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在222年，他为《周髀算经》一书作序时，

介绍了"勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中

间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一

个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设而=4而+〃而，若DF=2AF,则可以推出log/4]=

（）

C.0D.-72

【答案】B

【分析】设|AF|二L建立如图所示的百角坐标系，结合余弦岸理和正弦定理解三角形，利用丛标法即可得

出结栗

【详解】设|AF|=L则|阳=3,|阳=

建立如图所示平面直角坐标系,

由题可知404=120。，由|河外=人可+忸叶一2|4）|•忸QjcosNAO/L

所以|A却=713,则|的=|A8卜历.所以B（V13,0）,,A（0,0）,

又忸|A8|

nsinZBAD=—,所以cos/BAD=Vl-sin2ZBAD=

sinZB/4DsinZADB2626

所以O（|AZ）|cosN8AO」Aasin/8A。）和D

所以而=21V13

26

2

2613所以log/，］=log|3=-l,故选：B.

又而=4通+〃/，所以•,解得

3屈V393，5VAJ3

—二-=---Nu=一

26213

2.（21-22高一上•青海海南・期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股

定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方

形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若BE=2EF,贝1）丽=（）

3_I_Q_2_

A.—BC+—BAB.—BC+—BA

13131313

2一3一1一2一

C.—BC+—BAD.—

13131313

【答案】B

【分析】由题意可得出乔=；而，结合平面向量的线性运算可得出访关于碇、瓦（的表达式.

【详解】因为在“赵爽弦图”中，若BE=2EF,

所以乔」而1而+而）=』而+2丽］」而+2鬲，而+2（丽一码

333、3，3939

2

所以所=一।成+o—_丽__一一4_~_E_F_,所以二1_所___=一1_丈___+—0_画_，所以_访_=，3肥_+已0函

3999391313

故选：B.

3.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨阶段练习）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”

巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正

方已组成.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形

拼成的一个较大的等边三角形，若而"=3屏\|"|=3,则肝=2血+//熊，则％+4=（）.

7___in___

【分析】利用向量的数乘、加减法运算可整理得到标=福+；近-三犷，化简整理可得4〃的值，从而

求得结果.______

【详解】由A尸=3办■•知：CE=3DE,BD=3Fb；

\AF=3EF=3[1）F-DE）=DB-CE=CB-CD-CE=CS--CE

=（AB-AC）--（AE-AC）=^4--AC--x^AF=AB+2AC-12AF,

333339

IQ一?—9--6Q6Q615

：.-AF=AB+-AC.：.AF=—AB+—AC,贝IJ2=—,//=—,：.A+^=—+—=—,

9319191919191919

故选：A.

【点睛】思路点睛；本题考查平面向量基本定理的应用，解题的基本思路是能够利用向量的加减法和数乘

运算，利用基底表示出所求向量或构造出关于所求向量的方程，从而求得参数的值.

题型投影向量

-逅8

a在b方向上的投影向量为：丝,=再马+)1)'2

Ib|2

1、.(2022・上海金山,一模)已知向量a与6的夹角为120。，且7•=—2,向量C满足义＜1),

且12=5,2记向量d在向量〃与方方向上的投影分别为以)，.现有两个结论：①若义=；,则网=2|4；②

V+产+冷，的最大值为彳.则正确的判断是()

4

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【答案】C

【分析】①根据居3=-2及史与5的夹角为120°求出|如|同=4,假设同=2间成立，求出问=&与同=2日,

代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段A8上，再结合＞"=加入可

得：OC_LA8.利用投影公式求出f+9+刀=；,,只需求出同最大值，利用面积公式和基本不等式求

出忖最大值为1,进而求出犬+9+孙的最大值

【详解】由〃•方=则碓5120。=-2,解得：|〃阴=4,当4时，3=手+/，由得：

假设同=2瓦则可求出忖=应，同=2及，代入：时中，等号不成立，故1错误；

JJJ

设丽=£，沆=；OC=c,因为"雨+(1-4))(0＜义＜1),由向量共线定理可知，点C在线段AB上，

如图，设〃了=。，贝IJ瓦3=120。一a,因为WB.2所以同•同8$。=网词(:。$(120。一。)，即

|^|.cosa=|^|.cos(1200-a),故d在c：方向的投影等于5在c：方向的投影相等，故点C满足