新高考数学必会基础复习讲义：超几何分布与二项分布（学生版）

考点20超几何分布与二项分布

知识理解

一.分布列

1.禽散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量.

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为笛，山，…，Xi，...»xn,X取每一个值Mi=l,2,…，

〃)的概率P(X=M)=p,,则称表

XX1X2•••Xi•・・

P0P2・・・Pi•・・P"

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：

/=1,2,…，n；②pi+〃2+...+/%+...+p〃=1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

二.两点分布

如果随机变量X的分布列为

X01

p1-pp

其中Ovpvl,则称离散型随机变量X服从两点分布.其中〃=P(X=1)称为成功概率.

三.超几何分布

1.概念：一般地，设有N件产品，其中有M(MRV)件次品.从中任取〃(，区N)件产品，用X表示取出的〃件

产品中次品的件数，那么P(X=&)=C"f"伙=012,…，⑼.即

X0i•・•m

口二区票

pcbcc

c为•・•

其中〃?=min{M,〃},且〃SV,M<N,〃，M,N£N*.

如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.

2.特征

(1)超儿何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数

(2)考察对象分两类

(3)已知各类对象的个数

(4)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.，超几何分布主要用丁抽检产品、摸不同类别的小球

等概率模型，其实质是古典概型

四.独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试

验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.

(2)在〃次独立重兔试验中，用X表示事件A发生的次数.设每次试验中事件A发生的概率为p,则。(X=

k)=CT(Lp)"r(%=0,l,2,…，)此时称随机变量X服从二项分布，记为X〜B(〃,〃)，并称〃为成功概

率.

五.条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件人和8,在匕知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B\A)

pAR

来表示，其公式为P(B|A)=万晨(P(4)>0).

在古典概型中，若用〃(A)表示事件4中基木事件的个数，则尸(矶4)=鬻.

f4/1

⑵条件概率具有的性质

①03P(6|A)二1；②如果6和C是两个互斥事件，则户(6UC1A)=P(6|A)十P(C|A).

考向一离散型随机变量的分布列的性质

【例I】(1)(2020・全国高三专题练习)随机变量X的分布列如表:

X124

Pab

2

(2)(2021•浙江高三)已知随机变量X的分布列是

X123

2

Pa

23

6

【方法总结】

1.随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取〃次；(2)随机变量X表

示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.

2,离散型随机变量分布列的求解步骤

三.若Y=aX+b,其中小人是常数，X是随机变量，则

(1)E(k)=k,D(k)=O,其中A为常数;(2)K(aX+〃)=aK(X)+〃,D(aXib)=a2D(X)；

22

⑶E(X+X2)=E(Xi)+E(X2);(4：.D(X)=E(X)~(E(X))；

(5)若X，X2相互独立，则反X「X2)=E(XI)・E(X2);

⑹若X〜NQI,『)，则X的均值与方差分别为：E(X)=",DiX)=cr.

【举一反三】

X01234

P0.10.20.3X0.1

A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9

4101

a

P5h

A.4B.5C.6D.7

3.(2020•全国高三专题练习)若随机变量J的分布列为

X123

P0.2a3。

则a的值为()

男物计图

(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；

(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X求随机变量才的分布列及均值

(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差学的大小.(只需写出结论)

常喝不常喝总计

肥胖2

不肥胖18

总计30

4

已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为不.

(1)请将上面的列联表补充完整；

(3)若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目,

设正好抽到的女生为X名，求随巩变量X的分布列与期望.

参考数据：

3.(2020•全国高三)巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”

是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男生女生合计

收看10

不收看8

合计30

已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是百.

(1)请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？

(2)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”人数为X，求X

的分布列和均值.

考向三条件概率

【方法总结】

条件概率的3种求法

定义法先求P(A)和P(AB),再由P(8|A)—今黑求P(BA)

1(A)

借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数〃（A），再求事件AB所包

基本事

1

件法含的基本事件数〃（人0，得"却4）=唔

缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典

缩样法

概型求解，它能化繁为简

【举一反三】

8233

cD

9-9-•8一•4-

A.B.

民

A.1423

--C-D

37•3•4-

3.（2020•黑龙江大庆市•大庆实验中学高三开学考试）2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有

四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件力

="4个医疗小组去的国家各不相同"，事件8=”小组甲独自去一个国家”，则尸（川而=（）

4.(202()•黑龙江牡丹江市•牡丹江一中高三开学考试)一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球,

其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的

是白球的概率是()

1332

A.-B,—C.-I).一

21055

考向四二项分布

【例4】(2020•全国高三专题练习)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失

分的茎叶图如图：

(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；

(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中

失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数I的分布列和均

值.

【方法总结】

二项分布问题的解题策略

判断一个随机变量是否服从一项分布，关键有一：

其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一:

其二是重复性，即试验是独立重复地进行了〃次.

【举一反三】

2.（2020•全国高三专题练习）某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽

取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位

数字为叶）:

（1）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”.求从这16人中隧机选取3人,

至少有1人是“极满意”的概率；

（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中（学生人数很多）任选3人，记X

表示抽到“极满意”的人数，求X的分布列及数学期望.

3.（2020•凯里市第三中学高三月考）北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领

域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人

的理想向往之地.凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项E来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树

立崇高理想，更好地实现人生价俏.为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、

科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随机抽取10所学校学生意向选择喜好类型，统计如下：

类型历史人文游科技体验游自然风光游

学校数442

在这10所中小学中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率（假设

每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）.

（1）若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率；

（2）设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数X，求X的分布列与数学期望.

X013

Pa

32

A.1B.2C.3D.9

2.（2020•全国高三专题练习）随机变展1的分布列如下:

A101

Pabc

其中"，b,c成等差数列，则D&的最大值为（）

3.（2020•全国高三专题练习）已知J的分布列为

41234

1

Pm

663

X012

Pab

3

1112

A.-B.-C.-D.一

3243

78910

PX0.10.3y

A.0.8B.0.6

C.0.4I）.0.2

11525

A.-B.—C.-D.一

75677

7.（2020•莆田第二十五中学高三期中）2019年1（）月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互

联网领先科技成果”,其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”

中分别任诜1项讲行了解，目学生之间的诜择互不影响，则恰好有1名学生诜择“芯片领域”的概率为（）

441948

A.-B.—C.—D.---

92727125

8.（2020•全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为1、2、

3、4、5、6,从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S.在已知S为偶数的憎况下，S能

被3整除的概率为（）

1152

A.-B.-C.—D.一

43123

9.（2020•全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在

第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）

A.3/5B.3/4C.1/2D.3/10

1125

A.-B.-C.一D.-

6336

X023

10

Pab

15.（2020•全国高三专题练习）夏、秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼涧游到长江，历经三千多公里

的潮流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.•个环保组织

曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能

成功溯流产卯繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功

溯流产卵繁殖的概率为.

17.（2020•四川省内江市第六中学高三）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采

用抽签法决定演讲顺序，在''学生甲和乙都不是第一个出场，目甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙

第一个出场的概率为__________.

X012

ClJ_

P2a2

24

20.（2020•四川内江市•高三一模）网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了

100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过

40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年

龄超过40岁.

岁数

30

25

2

3456周平均网购的次数

⑴根据已知条件完成下面的2x2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不

超过40岁有关？

网购迷非网购迷合计

年龄不超过4（）岁

年龄超过40岁

合计

(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数〈的分布列.

0.150.100.050.01

*2.0722.7063.8416.635

21.(2020•全国高三专题练习)我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表:

空气污染指数0〜5051~100101~150151~200201〜250251~300>300

空气质量优良轻微污轻度污中度污中度重污重污染

我们把空气污染指数在。〜100内的称为/类天，在101〜200内的称为8类天，大于200的称为。类天.某

市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：

0326890

11238677390

21238527880

3304763

46793

(1)从这18天中任取3天，求至少含2个力类天的概率；

⑵从这18天中任取3天，记1是达到力类天或8类天的天数，求：的分布列.

22.(2020•全国高三专题练习)2020年五一-期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含

600元)，均可抽奖一次，抽奖方奚有两利1，顾客只能选择其中的一利L方案一：从装有10个形状、大小完全

相同的小球(其中