热点05 三角形的全等与相似-2023年中考数学专练

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

热点05.三角形的全等与相似

【考纲解读】

1.了解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的外角；等腰（边）三角形的概念；全等图形的概念；知

道什么是比例式、比例中项；知道分割的意义和生活中的应用；知道什么是相似三角形：了解相似多边形

的性质；位似图形的概念

2.理解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的三边关系；等腰（边）三角形的性质及判定；直角三角

形的性质及判定；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定；理解并掌握角平分线的性质；比例的基本

性质及定理；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质

3.会：作三角形的中线、角平分线、高线；证明三角形的内角加定理；.利用HL判定两个三角形全等；会

判定两个三角形全等；会运用定理进行相似计算和证明；知道位似是相似的特殊情况.

4.掌握：三角形的内角和定理及其三边关系定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质及判定；直角三

角形的性质及判定：勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；相似三角形；平行线分线段戌比例定理；

相似三角形的判定和性质；相似多边形的性质。

5.能：利用三角形内（外）角和定理进行角的有关计算与证明；解决等腰三角形的有关计算；证明一个三

角彩是等腰（边）三角形；运用勾股定理及逆定理解决实际问题：利用角平分线的判定解决有关的实际问

题：能熟练运用比例的基本性质进行相关的计穿.能运用相似三角形的性垢和判定方法证明简单问题：能

利用位似放大和缩小•个图形

【命题形式】

1.从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题形式考查，属于中低档题，难度一般.少数以

解答题的形式考查（以三角形或四边形为背景），此类题型属于中高档题，难度比较大

2.从考查内容来看，涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外）角和定理

及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；相似

三角形的定义、性质与判定；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质

3.从考查热点来看，涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆

定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质；相似三角形的性质及

判定；相似多边形的性质；位似的性质；平行线分线段成比例定理、相似三角形与生活实际问题的应用

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二

轮复习必刷真题过关训练.

一、单选题

I.（2022•江苏淮安・统考中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系判断即可.

【详解】A.V3+3=6,

・•・长度为3,3,6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

B.V3+5<10,

，长度为3,5,10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

C.V4+6>9,6-4<9,

・•・长度为4,6,9的二条线段能组成二角形，本选项符合题意；

D.,；4+5=9,

・•・长度为4,5,9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边

是解题的关键.

2.（2022.江苏淮安.统考中考真题）如图，在△48C中，AB=AC,4B4C的平分线交BC于点。，E为AC的中

【答案】C

【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可.

【详解】'：AB=AC=10,力。平分乙艮4C,

.\AD1BC,

・・・〃DC=90。,

,・，E为力C的中点，

・・・哈.=5.

故选C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线.熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

3.(2U22•江苏宿迁•统考中考真题)若等腰二角形的两边长分别是和“〃?，则这个等腰三角形的周长是

()

A.ScniB.13cmC.或D.11cm13cm

【答案】D

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要

应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】解：当3是腰时，

V3+3>5,

A3,3,5能组成三角形,

此时等腰三角形的周长为3+3+5=11(cm),

当5是腰时，

V3+5>5,

5,5,3能够组成三角形，

此时等腰三角形的周长为5+5+3=13(cm),

则三角形的周长为11。"或13cm.

故选：D

【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情

况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

4.(2022•江苏镇江•统考中考真题)如图，点小B、C、。在网格口小正方形的顶点处，4。与OC相交于点0,

小正方形的边长为1,则4。的长等于()

A.2B;C.也D.这

355

【答案】A

【分析】先根据勾股定理计算A。的长，再根据△AOBS/XQOC对应边成比例，从而求出AO的长.

A.点户是△/18C三边垂直平分线的交点B.点户是△/18C三条内角平分线的交点

C.点尸是△A8C三条高的交点D.点P是44BC三条中线的交点

【答案】D

【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为％轴，建立直角坐标系，则P炉+P82+PC2=3Q—2)2+

3(了一丁+第可得P(2,§时，P摩+P82+PC2最小，进而即可得到答案.

【详解】以点A为坐标原点，A%所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，

则A((),0),B(6,0),C(0,8),

2

设P(X,y),则P炉+pB2+pC2=x2+y2+(%—6)2+y2+X2+(y―8)

2

=3x2+3y2-12x-16y+100=3(%-2)2+3(y-+等，

222

.•.当x=2,)，=1时，即：P(2,勺时，PA+PB+PC^hf

•・•由待定系数法可知：A8边上中线所在直线表达式为：y=-^%+8,

J

AC边上中线所在直线表达式为：y=-|x+4,

又*・P(2,§满足AB边上中线所在直线表达式和4c边上中线所在直线表达式，

:.点P是^ABC三条中线的交点，

故选D.

【点睛】本题主要考杳三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数

问题，是解题的关键.

7.(2021•江苏连云港•统考中考真题)如图，AABC中，BDLAB,8。、力C相交于点。，力。=^AC.AB=2,

/.ABC=150°,则4DBC的面积是（）

A.C.当D•竽

【答案】A

【分析】过点C作CEJ.4B的延长线于点E,由等高三角形的面积性质得到工所^:匕口.二？：？，再证明△

ADB〜AACE,解得*=：，分别求得人从CE长，最后根据△ACE的面积公式解题.

AE7

【详解】解：过点。作CE_L48的延长线于点£

DB(:与A/1D8是等IWJ二角形，

43

S+*SA即=AD-.DC=-AC:-AC=4:3

S^DBC'SBABC=3:7

vBD1AB

•••△ADBACE

4

S^ADB(yAC\i16

SMCEA。AC49

AB4

•__——

"AE~7

•••AB=2

7

AE=-

2

•••乙ABC=150。,

:.乙CBE=180°-150°=30°

：.CE=tan30°♦BE=£

设SAADB=4X,S&DBC=3%

49

•••SAACE=彳工

4917、尺

—X=-X-X—

4222

V3

'eX=14

.•.3x=%

14

故选:A.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

8.（2022•江苏扬州•统考中考真题）如图，在ZUBC中,ABV4C,将公ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,

点。在8C边上，DE交4C于点尸.下歹U结论：©△AFEDFC；②DA平分N8CE；③4CDF=^BAD,其中

C.①③D.①②③

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：•・•将Ai48c以点A为中心逆时针旋转得到△4DE,

:,kADE=△ABC,

,・Z.E=ZC,

•,Z.AFE=乙DFC,

•.AAFE〜ADFC,故①正确;

••AADE=△ABC,

,,AB=AD,

,•/.ABD=Z.ADB,

vZ.ADE=/.ABC,

:.Z.ADB=/.ADE,

:*ZM平分/故②正确；

△ADE=△ABC,

•••Z.BAC=Z.DAE,

•••Z.BAD=/.CAE»

△AFEDFC,

:.Z.CAE=乙CDF,

:.乙CDF=z.BADt

故③正确

故选D

【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似二角形的性质判定与性质，全等二角形的性质，掌握

以上知识是解题的关键.

二、填空题

9.（2021.江苏盐城.统考中考真题）如图，在RG4BC中，CO为斜边上的中线，若CD=2,则48=

【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题;

•••△A3。是直角三角形，C。是斜边中线,

：.CD=^AB,

,:CD=2,

・MB=4,

故答案为4.

【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

10.(2021•江苏宿迁•统考中考真题)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水

一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方

形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分8c为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸

边，那么芦苇的顶部。恰好碰到岸边的C'处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是

尺.

【答案】12

【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC'的长为1()尺，贝北e=5尺，设

芦苇长=尺，表示出水深AB,根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水

设芦苇长4c=AC'="尺,

则水深45=(%-1)尺，

,：CE=10尺，

：・CB=5尺,

在中,

52+(x-l)2=/,

解得％=13,

即芦苇长13尺，水深为12尺，

故答案为：12.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合.

11.(2022•江苏泰州•统考中考真题)如图上，AABC中/C=90°,4C=8,BC=6,。为内心，过点。的直线

分别与AC、人8相交于。、E,若DE=CD+BE,则线段C。的长为.

【答案】2或押耳或2

【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可；

【详解】解：①如图，作DE〃8C,OF1BC,OGLAB,连接。B,则。D_LAC,

•JDE//BC,

:.乙OBF=々BOE

二。为ZL4BC的内心,

：.Z.OBF=乙OBE,

工乙BOE=乙OBE

：.BE=OE,

同理，CD=OD,

：,DE=CD+BE,

AB=y/BC2+AC2=J62+82=10

:。为A/18C的内心,

：・0F=0D=0G=CD,

：.BF=BG,AD=AG

：.AB=BG+AG=BC-CD+AC-CD=6-CD+8-CD=10

：.CD=2

②如图，作。ElAB,

CDA

由①知，BE=4,AE=6,

'：LACB=Z.AED,Z.CAB=Z.EAD

:・XABC〜LADE

,AB_AD

**~AC-~AE

・.cARAE10x615

..AD=-------=-------=—

AC82

：.CD=AC-AD=8-^=l

'：DE=^AD2-AE2=J㈢之-62=g

m£+CD=4+海

・・・CD=3

故答案为：2或

【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情

况并应用性质定理进行求解是解题的关键.

12.（2022♦江苏常州•统考中考真题）如图，在RtZkABC中，Z.C=90°,AC=9,BC=12.在中,

乙F=90。，DF=3,EF=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,Rt△DK尸从起始位置（点。与点8重

合）平移至终止位置（点E与点力重合），且斜边DE始终在线段48上，则ABC的外鄢被染色的区域面积

是.

B(D)F

【分析】过点尸作4B的垂线交于G,同时在图上标出M,N,尸如图，需要知道的是心△ABC的被染色的区域

面积是S梯形MNF3,所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可

求解.

【详解】解：过点/作A8的垂线交于G，同时在图上标出M,N,广如下图：

:.AB=>JAC2+BC2=15,

在RtaDEF中，Z,F=90°,。尸=3,EF=4.

DE=VDF2+FE2=5,

•••4E=AB-DE=15-5=10,

•••EF//AF',EF=AF\

四边形A"•尸为平行四边形，

:.AE=FFr=10,

•5&DEF=|DF-FF=^DEGF=6,

解得：GF*,

vDF//AC,

•••Z.DFM=^ACM^FDM=Z-CAM,

•••△DFMACM,

DMDF1

A--=---=一,

AMAC3

DM=-AM=-AB=-,

344

•••BC//AF",

同理可证：xANF's^DNC,

:.-A-F'=-A-N-=一,1

BCDN3

DN=3AN='-AB=-,

44

.'.MN=DN-DM=—-—=—,

442

Rt△ABC的外部被染色的区域面积为S梯形MN/F=1X(^+10)X^=21,

故答案为：21.

【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题

的关键是把问题转化为求梯形的面积.

13.(2022•江苏镇江・统考中考真题)《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆,

也异了称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物，可以把被称

物与硅码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个祛码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物

体.图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是祛码重量的倍.

被称物祛码

【答案】1.2

【分析】设被称物的重量为Q,祛码的重量为1,根据图中可图列出方程即可求解.

【详解】解：设被称物的重量为Q,缺码的重量为1,依题意得，

2.5a=3x1,

解得Q=1.2,

故答案为：1.2.

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关铤.

14.（2022•江苏常州•统考中考真题）如图,在△48C中,E是中线4。的中点.若△力"的面积是1,则

的面积是.

【分析】根据AACE的面积=ADCE的面积，A480的面积=A4CD的面积计算出各部分三角形的面积.

【详解】解：•••4。是8C边上的中线，E为力。的中点，

根据等底同高可知，A4CE的面枳=ADCE的面积=1,

A4BD的面积=AAC。的面积=2AAEC的面积=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算.

15.（2022•江苏苏州・统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍

长三角形”.若等腰aABC是“倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰AB的长为.

【答案】6

【分析】分类讨论：AB=AC=2BC^BC=2AB=2AC,然后根据三角形三边关系即可得出结果.

【详解】解：•••△ABC是等腰三角形，底边8c=3

：.AB=AC

当A8=AC=28C时，△A8C是“倍长三角形”：

当8c=248=2AC时，AB+AL8C,根据三角形三边关系，此时A、B、。不构成三角形，不符合题意；

所以当等腰△ABC是“倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰48的长为6.

故答案为6.

【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类认.论思想，结合三角形三边关系，灵活运用

分类讨论思想是解题的关键.

16.（2022.江苏无锡・统考中考真题）△/WC是边长为5的等边三角形，△QCE是边长为3的等边三角形，直

线8。与直线A£交于点P.如图，若点。在△A4C内，ZDBC=20°,则°；现将△QCE绕

点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段A八长度的最小值是.

B

【答案】8()4一百##一百十4

【分析】利用SAS证明△BQCgaAEC,得到NO8C=NE4C=20。，据此可求得N84尸的度数；利用全等三

角形的性质可求得乙"3=60。，推出A、B、C、尸四个点在同一个圆上，当4"是圆C的切线时，即当CDLBF

时，/FBC最大,则/五84最小，此时线段A片长度有最小值，据此求解即可.

【详解】解：〈△ABC和△OCE都是等边三角形，

：,AC=BC,DC=EC,ZBAC=^ACB=ZDCE=60°,

・••NOCB+NACD=/EC4+NACZ)=60。，

即/£>C8=NECA,

CD=CE

ffiABCD和△ACE中，乙BCD=/.ACE,

BC=AC

•••△ACE0△3CO(SAS),

：・/EAC=/DBC,

•・•NDBC=20。,

，^EAC=20°,

，ZBAF，=ZBAC+ZEAC=80°；

设8户与AC相交于点H,如图：

,/LACABCD

:・AE=BD,ZEAC=ZDBC,且NAHF=NBHC,

・•・NAF8=NAC8=60。,

・•/、B、C、尸四个点在同一个圆上，

•・•点。在以C为圆心，3为半径的圆上，当8尸是圆。的切线时，即当CO_L8/时，NF8C最大，则NF8A

最小，

・••此时线段4尸长度有最小值，

在RmBCD中,BC=5,CD=3,

：.BD=>J52-32=4,即AE=4,

:.ZI'DE=180o90°60o=30°,

•・•ZAra=60°,

；・NFDE=NFED=30。,

:・FD=FE,

过点尸作/G_LQE于点G,

：.DG=GE=^,

2

：.FE=DF=-^-=V3,

cos30°

：,AF=AEFE=4y[3,

故答案为：80：4V3.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本

题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

三、解答题

17.（2022•江苏淮安・统考中考真题）己知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且40=CP,AB=DE,

乙BAC=£EDF.求证：乙B=LE.

【答案】见解析

【分析】根据SAS证明△ABC三z\DE凡即可得出答案.

【详解】证明：・・・AD=CF,

：,AD+CD=CF+CD,

：.AC=DF,

AB=DE

;在△/IFCfUADEE中乙A=乙EDF,

AC=DF

：.AABC^^DEF（SAS）,

zF=Z.E.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键.

18.（2022•江苏徐州・统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有一个坡面CQ,坡

角乙QCN=3。。.在阳光卜.，小明观察到在地面上的影长为120cm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻，

小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度.

【答案】（170+60V5）cm

【分析】延长AO交BN于点E,过点。作。F_L8N于点尸，根据直角三角形的性质求出。凡根据余弦的

定义求出CF根据题意求出ER再根据题意列出比例式，计算即可.

【详解】解：延长AD交BN于点、E,过点。作Q/」BN于点F,

在RtZkC。/中，ZCFD=90°,ZDCF=30°,

则（cm）,CF=CD-cosZDCF=18Ox^=9OV3（cm）,

由题意得：祟黑艮喘喘

解得：EF=135,

:.BE=BC+CF+EF=120+9075+135=（255+9（）V3）cm,

则—竺—=竺，

255+90V390

解得："=170+606，

答：立柱A8的高度为（170+60百）cm.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确

作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算:.

19.（2022•江苏常州•统考中考真题）如图，点力在射线0X上，0A=a.如果。4绕点0按逆时针方向旋转叫0<

n<360）到0A,那么点4的位置可以用（a,九。）表示.

（1）按上述表示方法，若a=3,n=37,则点4的位置可以表示为；

⑵在（1）的条件下，已知点3的，'立置用（3,74。）表示，连接AA、AfB.求证：A>A=A'B.

【答案】（1）（3,37。）

⑵见解析

【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；

（2）画出图形，证明（SAS）,即可由全等三角形的性质，得出结论.

【详解】⑴解:由题意，得4（小〃。），

丁。=3,〃=37,

，A<3,37。），

故答案为：（3,37。）；

（2）证明：如图，

•・/（3,37。），5（3,74°）,

，NAOV=37。，NAO8=74。，0A=0B=3,

二NA'OB=NAOBNAOA'=74°37°=37。，

•WO/V,

.••△AQUg/XBOA'（SAS）,

••・AA=A'4.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

20.（2022•江苏常州•统考中考真题）在四边形4BCD中，。是边BC上的一点.若AOAB三AOCD,则点。叫

做该四边形的“等形点

⑴上方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如图，在四边形4BCD中，边BC上的点。是四边形48CD的“等形点已知CD=4VLOA=5,8C=12,

连接AC,求AC的长；

⑶在四边形中，EHHFG.若边上的点。是四边形”的“等形点”，求前的值.

FGG，0G

【答案】（1）不存在，理由见详解

（2）475

（3）1

【分析】（1）根据'.等形点”的概念，采用反证法即可判断；

（2）过4点作AM-L8C于点M,根据“等形点”的性质可得AB=CD=4V2,0A=0C=5,08=7=00,设M0=a,

则8M=/30"。=7〃，在R/AABM和RQA0M中，利用勾股定理即可求出AM,则在AMC中利用勾股定

理即可求出AC；

（3）根据“等形点”的性质可得0F=0”，OE=OG,ZEOF=ZGOH,再根据EH|尸G,可得NEOF=NOEH,

ZGOH=ZEHO,即有进而有OE=OH,可得OF=OG,则问题得解.

【详解】（1）不存在，

理由如下：

假设正方形ABC。存在“等形点”点O,即存在△OAB9AOCD,

•・•在正方形A4CO中，点。在边BC上，

工480=90。，

二•△0A的△OCO,

.・・ZABO=ZCDO=90°,

：.CD±DO,

CDIBC,

：,DOWC,

:。点在BC上，

；・DO与BC交于点、O,

・•・假设不成立，

故正方形不存在“等形点”；

（2）如图，过A点作AMJ_3C于点M,如图，

D

:。点是四边形ABCD的“等形点”，

•••△O/WdOC。，

：.AB=CD,OA=OC,OB=OD,NAOB=NCOD,

'：CD=4V2,04=5,BC=\2,

：,AB=CD=4V2,0A=0C=5,

/.OB=BCOC=\25=1=OD,

VXM1BC,

/.NAMO=90o=NAMB,

工设M0="，MBM=BOMO=la,

・••在和RAAOM中，AM2=AB2-BM2=AO2-MO2,

：.AB2-BM2=AO2-MO?,即(4&)2-(7-a)2=52-a2,

解得：a=3,即M。=3,

MC=MO+OC=3+5=8,AM=yjAO2—MO2=V52-32=4

:.在氐△AMC中，AC=44M2+MC?=742+82=475,

即AC的长为46；

(3)如图，

•・・。点是四边形EFGH的“等形点”，

：.20EF@A0GH,

：.OF=OH,OE=OG,/EOF=/GOH,

•：EH\\FG,

:・/EOF=NOEH,NGOH=NEHO,

，根据/EOF=ZGOH有ZOEH=ZOHE,

：.OE=OH,

*：OF=OH,OE=OG,

：.OF=OG,

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三

角形的性质是解答本题的关键.

21.（2022・江苏无锡・统考中考真题）如图，△ABC为锐角三角形.

（1）请在图I中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点使NOAC=NACB,且CD_L4C；（不

写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件F，若乙8=60>,AB=2,BC=3,则四边形A4C。的面积为.（如需画草图,

请使用试卷中的图2）

【答案】（1）见解析

【分析】（1）先作再利用垂直平分线的性质作CO即可找出点。；

（2）由题意可知四边形A8c。是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AQ的长，求出梯形的

面积即可.

【详解】（1）解：如图,

・••点。为所求点.

（2）解：过点A作A七垂直于BC,垂足为七,

'：=60°,/-AEB=90°,

.\z^/lE=90o-60o=30o,

'：AB=2,

：,BE=-2AB=1,CE=BC-BE=2,

：,AE=>JAB2-BE2=V22-l2=百，

ZDAC=ZACBt

•MDIIBC,四边形ABCD是梯形，

AzD=(ECD=90°,

・•・四边形AECO是矩形，

：,CE=AD=2,

:.四边形ABCD的面积为5(4。+3C)•4E=：x(2+3)xb=乎,

444

故答案为：竽.

【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理

求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键.

22.(2021•江苏常州•统考中考真题)如图，B、F、C、£是直线/上的四点，AB//DE,AB=DE,BF=CE.

(1)求证：△48CDEF；

(2)将△4BC沿直线/翻折得到A4'BC.

①用直尺和圆规在图中作出△ABC(保留作图痕迹，不要求写作法)；

②连接A。，则直线40与/的位置关系是.

【答案】(1)见详解；(2)①见详解；②平行

【分析】(1)根据"SAS'即可证明△力BC三△/)£1/；

(2)①以点8为圆心，B4为半径画弧，以点C为圆心，CA为半径画画弧，两个弧交于4，连接A8,《C,

即可；

②过点A作HMJJ,过点。作ONJ_/,则AM〃/)M旦4M=DM证明四边形是平行四边形，即可

得到结论.

【详解】(1)证明：［BF=CE,

.二BC=EF,

•:AB"DE,

・•・ZABC=ZDEF,

又=DE,

“ABC"DEF；

(2)①如图所示，△ABC即为所求；

@A'D//L理由如下:

'：kABC/DEF,△/TBC与△力8c关于直线/对称,

：.LA'BC三△/)",

过点A'作4MJJ,过点。作DN_L/,则4M〃QM且4M=OM

・•・四边形4MN。是平行四边形，

：.A'D//l,

故答案是：平行.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边

形是解题的关键.

23.(2022•江苏徐州・统考中考真题)如图，在△ABC中,NB4C=90。，4B=AC=12,点P在边AB上，。、

E分别为BC、PC的中点，连接。£过点E作8C的垂线，与BC、AC分别交于八G两点.连接OG,交

PC于点、H.

AA

(1)/EOC的度数为.

(2)连接尸G,求△APG的面积的最大值;

(3)PE与QG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由;

(4)求答的最大值.

【答案】(1)45。

(2)9

(3)PE二DG,理由见解析

(4)等

【分析】(1)先说明N8=45。，再说明OE是△C8P的中位线可得。EII8P,然后由平行线的性质即可解答;

(2)先说明△EDFfllAGFC是等腰直角三角形可得。F=E/三乎DE、GF=CF=^CG；设八尸=心贝UBP=l2x,

BP=\2x=2DE,然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG,再根据三角形的面积公式

列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；

(3)先证明△GFDgZXCFE,可得。G=CE,进而可得PE=OG；由AGFDgACFE可得NECF=NDGF,

进而得到NGNCFE=90。，即可说明OG、PE的位置关系；

(4)先说明△CE/S/XCQ”得到第=芸，进而得到郎=桨，然后将已经求得的量代入可得笄==

CDLnCtCc

心工，然后根据a+；(、0+3)J2之2求最值即可•

X+12

【详解】(1)解：•・・在AABC中，NBAC=90。，AB=AC=\2

ZB=ZAC5=45°

•・,，。、E分别为8C、PC的中点

：.DEWBP,DE=^BP

工NEDC=NB=45。.

(2)解：如图：连接PG

•：4EDC=/ACB=45°,GFLDC

•••△£。〃和仆GR7是等腰直角三角形

：.DF=EF=^-DE,GF=CF=^-CG,

22

设则BP=12x,BP=\2x=2DE

•八r*12—xkp,12—x

,•DEr，EFF

APC,

：,PC=\/AP2+AC2=>Jx2+144

.\CE=1Vx2+144

*//?/△EFC

・•.FC=FG=^CE2-EF2=J(|Vx2+144)'-(^)'=4要7=泰

12+x

:・CG=&CF=

：,AG=\2CG=\2—=—

22

：.S^APG=-AP-AG=-x--=坦土一(X-6)2+36

22244

所以当尸6时，SMPG有最大值9.

(3)解：DG=PE,DGLPE,理由如下:

•:DF=EF,ZCFE=ZGFD,GF=CF

/.△GFD^ACFE(SAS)

:.DG=CE

•”是PC的中点

：・PE=CE

：.PE=DG；

，ZECF=ZDGF

*/ZCEF=ZPEG

，ZGHE=ZEFC=90°,即。G_LPE.

(4)解：,:△GFDmXCFE

•••NCEF=NCDH

乂二乙ECF=/DCH

:.'CEFSRCDH

：.—=—,BPCE^CH=CF-CF

CDCH

.CH_CFC。

**CE~CE2

•"C二舞‘CE=/x?+144,CD=^BC=V122+122=6V2

・CH=翳6.x+12=12

CE(1VX2+144)2/+144X+12+^^-24

12_12_1_2V2+2_V2+1

-2V288-24-24V2-24-2或-2-4-2

.琮的最大值为竽.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相

似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键.

24.(2022•江苏连云港•统考中考真题)【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个

三角板按照如图I所示的方式摆放.其中乙4c8==90。，ZF=30°,BE=AC=3.

【问题探究】小昕同学将三角板DE8绕点8按顺时针方向旋转.

(1)如图2,当点E落在边A8上时，延长DE交8c于点八求8F的长.

(2)若点C、E、。在同一条直线上，求点。到直线8c的距离.

(3)连接QC,取DC的中点G,三角板。E8由初始位置(图1),旋转到点C、B、D首次在同一条直线上(如图

3),求点G所经过的路径长.

(4)如图4,G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线48的注离的最大值足

【答案】(1)275

(2)否±1

(3)—7T

(4严

【分析】（1）在RSBEF中,根据余弦的定义求解即可；

（2）分点E在BC上方和下方两种情况讨论求解即可；

（3）取8c的中点0,连接G0,从而求出0G=V5,得出点G在以。为圆心，百为半径的圆上，然后根据弧长

公式即可求解：

（4）由（3）知，点G在以。为圆心，V5为半径的圆上，过。作于〃，当G在。，的反向延长线上

时，GH最大,即点G到直线4B的距离的最大，在心△80,中求出0从进而可求GM

【详解】（1）解：由题意得，^BEF=^BED=90°,

op

•・・在R£ZkBE9中，Z.ABC=30°,BE=3,cos/-ABC=

••."=』=春=2技

（2）①当点E在8C上方时，

如图一，过点、D作DH1BC,垂足为H,

图1

•・•在△ABC中，LACB=90°,4ABe=300,AC=3,

Atanz/IFC=—,

=熹=3叵

•・•在ABDE中，£.DEB=90°,乙DBE=KABC=30°,

BE=3,tan^DBE=BE

：.DE=BE-tan300=y/3.

•・•点C、E、。在同一直线上，且/OEB=90。，

:.乙CEB=180°-乙DEB=90°.

又*•在^CBE中，Z-CEB=90°,BC=373,BE=3,

：.CE=y/BC2-BE2=372,

：.CD=CE+DE=3^2+y/3.

•・•在ABCD中，S^BCD=^-CD-BE=-BC-DH,

CDBE

:・DH==V6+1.

BC

②当点E在BC下方时,

图2

在ABCE中，'：Z-CEB=90°,BE=3,BC=3®

：,CE=\/BC2-BE2=3a

：.CD=CE-DE=3V2-V3.

过点。作0MJ.8C,垂足为M.

在ABDC中，S.BDC=；BC.DM=：CD-BE,

：.DM=V6-1.

综上，点。到直.线BC的距高为述±1.

・••点G在以。为圆心，百为半径的圆上.

当三角板。E8绕点8顺时针由初始位置旋转到点C、B、。首次在同•条直线上时，点G所经过的轨迹为150。

所对的圆弧，圆弧长为四乂2兀乂遮=越小

3606

・••点G所经过的路杼长为岁7T.

（4）解：由（3）知，点G在以。为圆心，遮为半径的圆上,

如图四，过。作于H,

当G在0〃的反向延长线上时，GH最火,即点G到直线48的距离的最大,

在心△8。“中，Z5/70=90°,ZOBH=30°,BO=^BC=^-,

/.OH=BO•sinzOFW=—•sin30°=—,

24

/.6W=OG+OH=V3+—=—,

44

即点G到直线AB的距离的最大值为乎.

4

【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识,分点E在上方和下方是

解第（2）的关键.确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.

25.（2022•江苏扬州•统考中考真题）如图1,在2UBC中,2BAC=90°/C=60，点。在8c边上由点C向点

8运动（不与点8、。重合），过点。作。E_L4D,交射线力B于点E.

备用图

（1）分别探索以下两种特殊情形时线段4E与BE的数量关系，并说明理由:

①点E在线段718的延长线上且BE=BD：

②点E在线段48上且E8=ED.

(2)若A8=6.

①当黑=苧时，求力£的长；

②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.

【答案】（1）①4E=28E②AE=2BE

⑵©^@4

【分析】（I）①算出△480各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；

②算出A/lOE各内角发现其是30。的宜角三角形即可推出；

（2）①分别过点A,E作8c的垂线，得到一线三垂直的相似，即△EGD〜△川M,设。E=y[3a,AD=2a,

利用30。直角三角形的三边关系，分别表示出ED,AD,EG,DH,列式求解。即可；

②分别过点A,E作8c的垂线，相交于点G,H,证明△EHOs^DGA可得*=普，然后利用完全平方公

DHEH

式变形得出4EN3十£〃，求出AE的取值范围即可.

【详解】（1）①;在△力BC中，^BAC=90°,ZC=60°

：.^ABC=30°

*：BE=BD

:•乙BDE=\z-ABC=15°,乙BDA=90°-乙BDE=90°-15°=75°

在A480中，4BAD=180°-/.ABD-/.BDA=180°-30°-75°=75°

：.LBAD=乙BDA=75°

••AB=BD=BE

：.AE=2BE；

②如图：

••'BE=DE

•MEBD=乙EDB=30°,^AED=60°

二在RM/lOE中，Z.EAD=30°

：.AE=2ED

••AE=2BE；

（2）①分别过点A,£作8C的垂线，相交于点”，G,则N£GO=NO”A=90。,

：・NGED+NGDE=9()。,

•・・N〃QA+NGOE=90。，

：・4GED=/HDA,

J.LEGD^^DHA,

设DE=V5Q,AD=2a,则7E=VDE2+4"二夕如BE=6-V7a,

在At△ABC中，Z,ABC=30°,AB=6

则4。=瑞=2K，BC=2AC=4V3

在At△BEC中，AEBG=30°,BE=6-6a

则EG=些=3-亚a

22

在Rt/k4”C中，4c=60°,AC=2^3

:.DH=>/AD2-AH2=74cL2-9

由么EGA△OH■得空-萼，

解得：ax=|V7»a2--3A/7(舍)

故HE=y/7a=y；

②分别过点A,E作BC的垂线，相交于点G,H,则NE”O=/AGO=90。,

A

•.•NAO£=9。。，

，NEQH=9()o/4OG=ZDAG,

•・•NEHD=NAGO=90。，

:MEH"&DGA,

,AG_DG

DH~EH'

：・AG•EH=DH•DG,

VZBAC=90°,ZC=60°,

/.Z5=30°,

：,AG=^AB=3,EH=：BE=：(6-AE),

：.DHDG=3EH,

:.A*=AD2+DE2=AG2+DG2+DH2+EH2=9+DG2+DH2+EH2,

*：DG2+DH2>2DG-DH

：,AE2>9+2DG-DH+EH2,

：.AE2N9+6EH+EH2>(3+EH)2,

V/iE>0,DH>0,

：,AE>3+EH,

=1(6/E),

：,AE>3+^(6-ZlF),

：.AE>4,

故的最小值为4.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似

模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键.

26.(2021.江苏淮安.统考中考真题)【知识再现】

学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称HL定理)”

是判定直角三角形全等的特有方法.

【简单应用】

如图(1),在△ABC中，/84C=90。，AB=AC,点。、E分别在边AC、4B上.若CE=BD,则线段AE

和线段A。的数量关系是.

【拓展延伸】

在△ABC中，ZBAC=a(90°<tz<180°),AB=AC=m,点。在边AC上.

(1)若点石在边人8上，且CE=BD,如图(2)所示，则线