3.3.1 《垂径定理》教学设计-浙教版九上

3.3.1垂径定理教学设计课型新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。学习者分析学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。教学目标1.通过实验观察，理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.教学重点掌握垂径定理，理解其探索和证明过程.教学难点能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示图片：我国历史上著名的赵州桥建于隋大业（公元605～618）年间，桥长64.40m，是现存世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥.你知道怎样确定桥拱圆弧的半径吗？教师提出问题：在练习本上画出一个圆圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.学生活动1：学生观察课本图片，思考问题。学生在练习本上花园，思考老师提出的问题。活动意图说明：通过实际问题，如何找出问题中的数量关系，对学生是一个挑战，从而刺激学生的求知欲望，并引出课题。环节二：探究垂径定理教师活动2：教师出示课本问题：【小组合作】在透明纸上任意作一个圆和这个圆的一条弦AB，再作一条和弦AB垂直的直径CD，CD与AB相交于点E.然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线段、圆互相重合？你能将你的发现归纳成一般的结论吗？一般地，圆有下面的性质：垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.你能证明这个性质吗？CD是已⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连结AO，BO，则AO＝BO.在等腰三角形OAB中，OC⊥AB，得AE=BE.所以把图沿直径CD对折时，射线EA与射线EB重合,可知点A与点B重合，则弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别重合，所以弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别相等，记做弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.这样便证明了垂径定理.【总结归纳】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。符号语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD【拓展提高】根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.如图：C是弧AB的中点，D是弧ADB的中点。学生活动2：学生思考，回答课本中的问题。学生在教师的引导下总结垂径定理。学生在教师的引导下证明垂径定理。学生在教师的引导下总结归纳。学生理解弧的中点的概念。活动意图说明：首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。环节三：例题讲解教师活动3：【例1】已知弧AB，用直尺和圆规作这条弧的中点.分析：要平分弧AB，只要画垂直于弦AB的直径，而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此，画弦AB的垂直平分线就能把弧AB平分.作法：1.连结AB.2.作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求作的弧AB的中点.【例2】一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16.求截面圆圆心O到水面的距离OC.解：由题意，OC⊥AB，由勾股定理，得答：截面圆圆心O到水面的距离为6.弦心距圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.例如，图中，OC的长就是弦AB的弦心距.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本画图问题。师生共同完成画图。学生在教师的引导下完成课本例题，总结弦心距的概念。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。板书设计课题：3.3.1垂径定理一、垂径定理二、弧的中点三、弦心距课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.下列图形中对称轴最多的是(A)A．圆B．菱形C．正三角形D．正方形2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论错误的是(C).A.CE＝EDB.弧BC＝弧BDC.OE＝BED.∠BAC＝∠BAD3.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.已知CD＝16，OE＝6，则⊙O的直径为(D).A．8B．10C．16D．204.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为__13π__．选做题：5.下列说法正确的是(B)A．圆的对称轴只有一条B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴D．与半径垂直的直线是圆的对称轴6.如图，AB为⊙O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD⊥AC，垂足为E.若DE＝1，BC＝6，则AC的长度为(D)A．3B．2eq\r(6)C．5D．2eq\r(7)【综合实践类作业】7.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，求桥拱所在圆的半径．解：由题意得CD⊥AB，CD＝8m，AB＝8m，∴AD＝DB＝4m.如图所示，连结OA.设OA＝rm，则OD＝(8－r)m.在Rt△ODA中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5.∴桥拱所在圆的半径为5m.作业布置【知识技能类作业】必做题1.如图，M(0，－3)、N(0，－9)，半径为5的⊙A经过M、N两点，则点A的坐标为(D)

A．(－5，－6)B．(4，－6)C．(－6，－4)D．(－4，－6)2.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知轴心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB的长为6米，⊙O的半径为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(B)A．1米B．(4－eq\r(7))米C．2米D．(4＋eq\r(7))米选做题：3.如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(C)A．3 B．4C．5 D．64.如图，武汉晴川桥可以近似地看成是半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB的长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为(A)A．50m B．45mC．40m D．60m【综合实践类作业】5.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径．解：连结OD，设OB＝OD＝R，则OE＝16－R.∵直径AB⊥CD，CD＝16，∴∠OED＝90°，DE＝CD＝8，由勾股定理得OD2＝OE2＋DE2，则R2＝(16－R)2＋82，解得R＝10，∴⊙O的半径为10.课堂总结本节课你学到了哪些知识？垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。可简述为在五个条件中，具备了任意两个，则另三个必成立，但必须注意的是，具备平分弦的直径这两个条件时，需对它增加这条弦不是直径的限制，因为任意两条直径必互相平分，但不一定垂直.教学反思以新数学课程标准下的基本理念和