专题3.3 垂径定理（高效培优讲义）（学生版）

专题3.3垂径定理教学目标学生能够准确理解垂径定理及其推论的内容，熟练掌握定理中“直径”“垂直于弦”“平分弦”“平分弦所对的优弧”“平分弦所对的劣弧”之间的相互关系，能够用几何语言准确表述定理和推论。通过典型例题和练习，学生能正确运用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明，解决与圆中弦、弧、圆心距等相关的几何问题。教学重难点1.重点（1）垂径定理及其推论的内容理解和掌握是教学的首要重点；（2）学生需要清晰明确地认识到定理中各个条件和结论之间的逻辑关系，这是后续运用定理解决问题的基础；（3）熟练运用垂径定理及其推论进行计算和证明也是重点内容，学生要能够根据具体的几何问题，准确地选择合适的定理和推论，将已知条件与定理相结合，通过合理的推理和计算得出结论。2.难点（1）垂径定理及其推论的推导过程较为抽象，涉及到圆的对称性、全等三角形等多个知识点的综合运用，对学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高，这是教学的难点之一；（2）在实际问题中，学生往往难以准确地识别出垂径定理的基本图形，无法快速判断哪些条件可以运用垂径定理及其推论来解决问题，这需要学生具备较强的图形识别能力和问题分析能力，也是教学过程中需要突破的难点；

（3）在运用垂径定理进行计算时，常常需要结合勾股定理等知识，构建方程来求解未知量，这种综合运用知识解决问题的方法对部分学生来说存在一定困难，也是教学难点的重要组成部分。知识点01垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分【即学即练】1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD=8，OD=5，则A．4 B．3 C．2 D．1知识点02垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【即学即练】1．在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度AB=A．5cm B．7cm C．8cm题型01利用垂径定理求值【典例1】如图，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=8dmA．5dm B．10dm C．4dm【变式1】如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为92m，桥拱半径OC为52m，则水面宽AB为（A．32m B．3m C．72m【变式2】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【变式3】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且CD⊥AB，垂足为E．若AE=3BE

题型02利用垂径定理求平行弦问题【典例2】如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E（1）若AB=6，CD=8，求（2）若CD=46，且EF=【变式1】已知⊙O的半径为13，弦AB平行于弦CD，CD=10，【变式2】设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为．【变式3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=．题型03利用垂径定理求同心圆问题【典例3】如图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,(1)求证：AC=(2)若AB=8,BD=1，小圆的半径为5【变式1】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P.（1）PA与PB相等吗？请说明理由；（2）若AB=8，求圆环的面积【变式2】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm题型04利用垂径定理求解其他问题【典例4】小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点A,B,C，并连接了AB和【变式1】如图，等腰△OAB的底边AB交⊙O于点C、D．求证：AC【变式2】如图，⊙P与y轴相切于点C0，3，与x轴相交于点A1，0，B9，0．直线题型05垂径定理的推论【典例5】如图、已知AB为⊙O的直径，点B为CD的中点．则下列结论中一定正确的是（

A．BM=OM B．AB⊥CD C．【变式1】如图，A、B在⊙O上，连接OA，OB，AB．∠AOB的平分线交AB于点C，交⊙O于点DA．AC=BC B．OD⊥AB C．【变式2】如图，是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE=DE．若⊙O的半径为5,A．2 B．3 C．4 D．5【变式3】如图，AD是⊙O的直径，弦BC与AD交于点E，连接AB，AC，CD，BD．若BD=CD，∠BAC=50°A．50° B．55° C．60° D．65°题型06垂径定理的实际应用【典例6】如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为1.7m，拱门最下端AB(1)求拱门最高点到地面的距离；(2)现需要给房间内搬进一个直径为3m的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门．【变式1】如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=26cm，MN为水面截线，MN=24cm，GH

(1)作OC⊥MN于点C，求(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了7cm【变式2】某地欲搭建一座桥，桥的底部两端间的距离AB=24米，桥面最高点C到AB的距离CD(1)方案一：如图1，设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式．(2)方案二：如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；(3)现有一艘宽为18米的货船，货船露出水面部分的横截面为矩形，并高出水面2.7米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．【变式3】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4(1)求桥拱的半径；(2)此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为121．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB=8，A．3 B．2 C．6 D．52．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，AC∥OB

A．30° B．45° C．60° D．75°3．如图，点A,B,C在⊙O上，点A是BC中点，若∠A．10° B．15° C．20° D．25°4．如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED=2，则矩形ABCD的面积等于（

A．21 B．22 C．23 D．245．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一如图，石拱桥整体形状为圆的一部分，已知该石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，水面AB的长也为8m，则该石拱桥的半径为（A．4m B．5m C．6m D二、填空题6．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，则⊙7．如图，过AB的中点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=4，CD=2，则8．如图，在⊙O中，弦AB=23，O到AB的距离OC=1，则9．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，DE=25，10．如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是11．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径EF的长为8cm，则点O到CD的距离为cm12.已知如图，AB、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为点E，AB被CD分成3厘米、14厘米两段（AE<EB），则点O13．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=2寸，AB=8寸（注：1尺=10寸），则可得直径三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若BE(1)求CE的长度；(2)求OC的长度．15．西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA、OB，已知AB=18cm，碗深CD16．如图，某零件的截面为弓形．(1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心；(2)若AB=