2.4 一元二次方程根与系数的关系 课后训练 2025~2026学年湘教版九年级数学上学期

/2.4一元二次方程根与系数的关系课后培优提升训练湘教版2025-2026学年九年级上册一、选择题1．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（

）A．或 B．或 C． D．2．已知、是方程的两根，且，则的值为（）A． B． C．95 D．3．设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（

）A．0 B．2025 C．2024 D．20234．已知，是方程的两个实数根，则的值为（

）A． B． C． D．5．若是方程的一个根，则另一个根是（

）A． B． C． D．6．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．两根分别是2和5 D．两根分别是和7．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（

）A． B． C． D．20258．若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（

）A．或1 B． C．1 D．1或4二、填空题9．设，是方程的两个实数根，则的值为．10．已知，是一元二次方程的两根，则．11．为方程的两个根，则代数式的值为．12．已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是．三、解答题13．已知关于x的一元二次方程(1)若该方程有一个根是，求k的值．(2)若该方程的两个实数根满足，求k的值．14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“3倍根方程”．(1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”．(2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值；(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值．15．阅读下列材料：【材料1】若一元二次方程的两根为，则．【材料2】已知实数满足，且，求的值．解：由题知是方程的两个不相等的实数根，∴；∴

．根据上述材料，解答下列问题：(1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________；(2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值；(3)已知：，，且．求的值为______________．16．已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．17．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是（填序号）．①；②；③．(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．(3)若方程是“邻根方程”，求证：．18．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为何值，该方程都有实数根；(2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值．参考答案一、选择题1．C2．A3．C4．D5．B6．C7．C8．C二、填空题9．10．11．112．三、解答题13．【解】（1）解：把代入方程得：解得：或；（2）解：∵方程的两个实数根∴，解得：；∴，∴，解得：或（不合题意，舍去）．∴．14．【解】（1）解（1）∵，∴解得．∵，∴是“3倍根方程”．（2）∵，解得

．∵是“3倍根方程”，分情况讨论：①则：．②则：．（3）∵（是常数）是“3倍根方程”，∴不妨设是的三倍，由韦达定理：，解得．当时，，∴．当，，∴．15．【解】（1）解：∵关于的方程的两个根是和1，∴，即：，∴．故答案为2．（2）解：设关于的方程的两个实数根分别为，根据根与系数的关系得，∵，∴，∴，∴，解得：，当时，原方程化为，则，此方程没有实数解；当时，原方程化为，则，此方程有两个不相等的实数解．综上所述，的值为．（3）解：∵，∴，∴，即，∵∴是方程的两个的实数根，且．∵，∴．16．【解】（1）解：∵方程有实数根，∴，∴，解得：；（2）解：∵方程两实数根分别为，，∴，，∵，∴，，解得：（舍去）或，∵，∴．17．【解】（1）解：，解得：，∴，故①不是“邻根方程”；，解得：；∴，故②不是“邻根方程”；，解得：，∴；故③是“邻根方程”；故答案为：③（2）解：方程的两根为，方程是“邻根方程”，，