15.1.2 线段的垂直平分线 导学案 2025~2026学年人教版数学八年级上学期

/15.1.2线段的垂直平分线15.1.2第1课时线段垂直平分线的性质与判定素养目标1.知道线段的垂直平分线的性质及判定并能简单应用.2.理解原命题与逆命题、互逆定理的概念.线段垂直平分线的性质和判定.【自主预习】1.线段的垂直平分线上一点到线段两个端点的距离有什么关系?2.与线段两个端点的距离相等的点一定在什么线上?3.互为逆命题的两个命题的题设和结论有什么关系?4.写一个互为逆定理的例子.1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的长为()A.3 B.4 C.2 D.62.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的()A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点3.下列命题的逆命题是假命题的是()A.对顶角相等B.两直线平行,同位角相等C.若a2=b2,则a=bD.若a=b,则a3=b34.下列说法不正确的是()A.任何命题都有逆命题B.“三角形的内角和等于180°”是真命题C.真命题的逆命题不一定是真命题D.每个定理都有逆定理【合作探究】知识点一：线段的垂直平分线的性质阅读课本本课时第1个“思考”之前的内容,解答下列问题.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.

知识点二：线段的垂直平分线的判定阅读课本本课时第一个“思考”的内容,解答下列问题.1.与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的上.

2.线段的垂直平分线可以看成与这条线段的集合.

如图,AC=AD,BC=BD,则有()A.AB与CD互相垂直平分B.CD垂直平分ABC.AB垂直平分CDD.CD平分∠ACB知识点三：原命题与逆命题、互逆定理阅读课本本课时第二个“思考”的内容,解答下列问题.两个命题的题设、结论正好,具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的定理.

1.下列命题的逆命题是真命题的是()A.全等三角形的面积相等B.如果a=b,那么|a|=|b|C.两直线平行,内错角相等D.两个全等三角形的三对对应角相等2.下列定理没有逆定理的是()A.两直线平行,内错角相等B.两直线平行,同旁内角互补C.对顶角相等D.若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等题型线段垂直平分线的性质与判定的综合应用例如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P.(1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上.(2)已知∠FAN=56°,求∠FPN的度数.变式训练如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,△ADE的周长是7.(1)求BC的长.(2)若∠B+∠C=60°,求∠DAE的度数.

15.1.2第2课时作轴对称图形的对称轴素养目标1.能依据轴对称的性质找出轴对称图形的对称轴.2.能作出轴对称图形的对称轴,即线段垂直平分线的尺规作图.3.会用尺规作图的方法过直线外一点作这条直线的垂线.作轴对称图形的对称轴.【自主预习】1.怎样确定一条线段的垂直平分线?2.怎样过直线外一点作该直线的垂线?1.用直尺和圆规作线段的垂直平分线,下列作法正确的是()A. B.C. D.2.观察图中尺规作图的痕迹,可知线段BD一定是()A.△ABC的角平分线B.△ABC的中线C.AC边的垂直平分线D.△ABC的高3.如图,这是一个轴对称图形,对称轴是直线()A.aB.bC.cD.d【合作探究】知识点一：作线段的垂直平分线阅读课本本课时“思考”的内容,解答下列问题.1.回忆:线段的垂直平分线是一条直线,如何确定一条直线?2.思考:找到两点到已知线段的两个端点的距离相等,就能作出该线段垂直平分线的依据是什么?3.如图,根据作图痕迹可使得AC=,AD=,所以点C和点D都是线段AB垂直平分线上的点.作直线CD,使用的工具是.

4.我们也可以用作线段垂直平分线的方法作出线段的.

如图,在△ABC中,分别以顶点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧(弧所在圆的半径均相等),两弧相交于点M,N,连接MN,分别与边AB,BC相交于点D,E.若AC=5,△AEC的周长为18,则BC的长为知识点二：作轴对称图形的对称轴阅读课本本课时“思考”至“例”之间的内容,解答下列问题.1.下列图形都是轴对称图形,它们各有几条对称轴?2.由轴对称的性质可知,如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的,就可以得到这两个图形的对称轴.

作轴对称图形的对称轴的方法:找到一对,作出连接它们的的线,就可以得到这个图形的对称轴.

1.画出下列各个轴对称图形的所有对称轴.2.角有条对称轴,正方形有条对称轴,圆有条对称轴.

知识点三：过直线外一点作直线的垂线阅读课本本课时“例”的内容,解答下列问题.已知:如图,直线AB和AB外一点C.求作:AB的垂线,使它经过点C.作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的.

(2)以点C为圆心,CK的长为半径作弧,交于点D和点E.

(3)分别以点D和点E为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点F.

(4)作直线CF,则直线CF就是所求作的垂线.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=5,AB=12,BC=13.以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交BC于点D;再分别以点C和点D为圆心,大于12DC的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点F,则AF的长为题型尺规作图的综合问题例如图,AM平分∠BAC,BC边的垂直平分线l分别交AC,BC,射线AM于点E,F,G.(1)尺规作图:作BC的垂直平分线l,并标出点E,F,G(保留作图痕迹,不写作法).(2)在(1)的条件下,连接BE,若∠AGE=∠C,求证:AG垂直平分BE.

课时1参考答案【自主预习】预学思考1.解:相等.2.解:在该线段的垂直平分线上.3.解:题设和结论正好相反.4.解:“两直线平行,同位角相等”的逆定理是“同位角相等,两直线平行”.(答案不唯一)自学检测1.A2.B3.A4.D【合作探究】知识生成知识点一相等知识点二1.垂直平分线2.两个端点距离相等的所有点对点训练C知识点三揭示概念相反逆归纳总结真逆对点训练1.C2.C题型精讲例解:(1)证明:如图,连接BP,AP,PC.∵PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,∴点P在线段BC的垂直平分线上.(2)∵PE⊥AB,PM⊥AC,∴FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°,∴∠ABC+∠BFE=∠ACB+∠MNC=90°.设∠ABC=x,∠ACB=y,∴∠ABC=∠BAF=x,∠ACB=∠CAN=y,∠BFE=90°-x,∠MNC=90°-y,∴∠PFN=∠BFE=90°-x,∠PNF=∠MNC=90°-y.∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°,∠FAN=56°,∴2x+2y+56°=180°,∴2(x+y)=124°,∴x+y=62°.∵∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°,∴90°-x+90°-y+∠FPN=180°,∴∠FPN=180°-180°+(x+y)=62°.变式训练解:(1)∵DM是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB.同理可得EA=EC.∵△ADE的周长为7,∴DA+DE+EA=7,∴BC=DB+DE+EC=7.(2)∵DA=DB,EA=EC,∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.∵∠B+∠C=60°,∴∠ADE+∠AED=2∠B+2∠C=120°,∴∠DAE=180°-120°=60°.课时2参考答案【自主预习】预学思考1.解:根据线段的垂直平分线性质,找到两个点使它们到线段两个端点的距离相等,过这两点画直线.2.解:先设法在直线上画出一条线段,使得已知这点到这条线段两个端点的距离相等,再作线段的垂直平分线.自学检测1.C2.D3.C【合作探究】知识生成知识点一1.解:由于两点确定一条直线,找到该直线上的两点连线即可.2.解:到线段两个端点的距离相等的点在该线段的垂直平分线上.3.BCBD无刻度的直尺4.中点对点训练13知识点二1.解:依次有1条、4条、5条、3条对称轴.2.垂直平分线垂直平分线归纳总结对应点线段垂直平分对点训练1.解:如图.2.14无数知识点三(1)两旁(2)AB(3)12对点训练60题型精讲例解:(1)如图,BC的垂直