2025年下学期初中数学竞赛市队选拔试卷

2025年下学期初中数学竞赛市队选拔试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1.已知实数(a\neqb)，且满足((a+1)^2=3-3(a+1))和(3(b+1)=3-(b+1)^2)，则(b\sqrt{\frac{a}{b}}+a\sqrt{\frac{b}{a}})的值为（）A.23B.-23C.-2D.-132.对于任意实数(m,n,p,q)，定义有序实数对((m,n))与((p,q))之间的运算“△”为：((m,n)△(p,q)=(mp-nq,mq+np))。如果对于任意实数(x,y)，都有((x,y)△(a,b)=(x,y))，那么((a,b))为（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)3.已知(A,B)是两个锐角，且满足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，则实数(t)所有可能值的和为（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{3}{2})C.1D.(\frac{5}{2})4.如图，点(D,E)分别在(\triangleABC)的边(AB,AC)上，(BE,CD)相交于点(F)，设(S_{\text{四边形}EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，则(S_1S_3)与(S_2S_4)的大小关系为（）A.(S_1S_3<S_2S_4)B.(S_1S_3=S_2S_4)C.(S_1S_3>S_2S_4)D.不能确定5.设(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，则(4S)的整数部分等于（）A.4B.5C.6D.7二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6.两条直角边长分别是整数(a,b)（其中(a<b<2025)），斜边是(c)的直角三角形的个数为________。7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面数字分别是1,2,2,3,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________。8.如图，双曲线(y=\frac{k}{x})（(x>0)）与矩形(OABC)的边(CB,BA)分别交于点(E,F)，且(AF=BF)，连接(EF)，若(OA=4)，(OC=3)，则(\triangleOEF)的面积为________。9.(\odotO)的三个不同的内接正三角形将(\odotO)分成的区域的个数为________。10.设四位数(\overline{abcd})满足(a^3+b^3+c^3+d^3+1=10c+d)，则这样的四位数的个数为________。三、解答题（共4题，第11-13题每题20分，第14题25分，满分85分）11.已知关于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的两个整数根恰好比方程(x^2+px+q=0)的两个根都大1，求(m+n-p-q)的值。12.如图，点(H)为(\triangleABC)的垂心，以(AB)为直径的(\odotO_1)和(\triangleBCH)的外接圆(\odotO_2)相交于点(D)，延长(AD)交(CH)于点(P)，求证：点(P)为(CH)的中点。13.若从1,2,3,...,(n)中任取5个两两互素的不同整数，其中总有一个整数是素数，求(n)的最大值。14.在(\triangleABC)中，(\angleBAC=60^\circ)，(AB=2AC)，点(P)在(\triangleABC)内，且(PA=\sqrt{3})，(PB=5)，(PC=2)，求(\triangleABC)的面积。15.定义：对于正整数(k)，如果存在正整数(a,