2025年下学期高中数学竞赛构造法试卷

2025年下学期高中数学竞赛构造法试卷一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）已知正整数(n)满足(\sqrt{n}+\sqrt{n+2025})为有理数，则(n=)__________。在平面直角坐标系中，抛物线(y=x^2-2x+3)上存在两点(A,B)，使得以(AB)为直径的圆经过原点，且线段(AB)的中点在直线(y=2x-1)上，则(AB)的长度为__________。设集合(S={1,2,\dots,2025})，若将(S)划分为两个子集(A,B)，且对任意(a\inA)，(b\inB)，均有(|a-b|\neq4)，则(\max(|A|,|B|))的最小值为__________。已知正整数(a,b,c)满足(a+b+c=2025)，且(a^2+b^2+c^2=2025^2)，则(\min(abc)=)__________。在三棱锥(P-ABC)中，(PA=PB=PC=2)，且(\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=45^\circ)，则该三棱锥外接球的表面积为__________。设函数(f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x^2+1})的最大值为3，最小值为-1，则(a+b=)__________。满足(x^2+y^2+z^2=2025)且(x+y+z=45)的正整数解((x,y,z))的组数为__________。用红、蓝两种颜色对(3\times3)方格表的每个格子染色，要求任意两个相邻格子（有公共边）不同色，则至少包含一个红色(2\times2)子方格的染色方案数为__________。二、解答题（本大题共4小题，共136分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9.（本题满分32分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，且对任意(n\geq1)，有(a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n})。（1）证明：存在正整数(k)，使得(a_k=\frac{5}{3})；（2）构造一个无穷正整数数列({b_n})，满足(b_1=1)，且对任意(n\geq1)，(b_{n+1}=2b_n+1)，证明：对任意(m\geq1)，(a_{b_m}=\frac{2^{2^m}+1}{2^{2^m}-1})。10.（本题满分34分）在平面直角坐标系中，椭圆(\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(\Gamma)的方程；（2）过椭圆右焦点(F)作两条互相垂直的直线(l_1,l_2)，分别交椭圆于(A,B)和(C,D)两点，构造点(M)为线段(AB)的中点，点(N)为线段(CD)的中点，证明：直线(MN)过定点，并求出该定点的坐标。11.（本题满分35分）设(p)为奇素数，(S={1,2,\dots,p-1})，定义映射(f:S\toS)满足(f(x)=x^2\modp)。（1）证明：存在(a\inS)，使得(f(a)=2)的充要条件是(p\equiv\pm1\mod8)；（2）构造集合(T={x\inS\midf(x)=x}\cup{x\inS\midf(f(x))=x\text{且}f(x)\neqx})，求(|T|)。12.（本题满分35分）给定正整数(n\geq2)，设(A={1,2,\dots,n})，(B={1,2,\dots,2n})，称映射(g:A\toB)为“好映射”，若满足：①对任意(i\inA)，(g(i)\neqi)；②对任意(i<j\inA)，(|g(i)-g(j)|\geq2)。（1）当(n=2)时，求“好映射”的个数；（2）对任意(n\geq2)，构造一个“好映射”，并证明：“好映射”的个数不小于(2^{n-1})。三、附加题（本大题共2小题，每小题20分，共40分，不计入总分，供学有余力的学生选做）13.设(n)为正整数，(a_1,a_2,\dots,a_n)为非负整数，且(a_1+a_2+\dots+a_n=n)，定义(S=\sum_{1\leqi<j\leqn}|a_i-