2025年下学期高中数学竞赛水平测试试卷

2025年下学期高中数学竞赛水平测试试卷一试（时间：80分钟满分：120分）一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）已知函数$f(x)=\sqrt{3}\sin2x-2\cos^2x+1$，则$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值为________。设复数$z$满足$|z|=1$，且$\text{Re}(z^3)=\frac{1}{2}$，则$\text{Im}(z)$的值为________。已知等比数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=2$，$S_3=14$，则公比$q=$________。在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，则该三棱锥外接球的表面积为________。若实数$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\0\leqy\leq3\end{cases}$，则$z=x+2y$的最小值为________。从5名男生和4名女生中选出3人参加数学竞赛，要求至少有1名女生，且男生甲与女生乙不能同时入选，则不同的选法共有________种。已知函数$f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases}$，则方程$f(f(x))=1$的解的个数为________。在平面直角坐标系中，抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，过点$F$的直线$l$与抛物线交于$A,B$两点，若$|AF|=3|BF|$，则直线$l$的斜率为________。二、解答题（本大题共3小题，共56分）（本题满分16分）已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n+1$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）证明：数列${a_n+n+2}$是等比数列；（2）求数列${a_n}$的前$n$项和$S_n$。（本题满分20分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$P(2,1)$。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）过点$Q(1,0)$的直线$l$与椭圆$C$交于$A,B$两点，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$（$O$为坐标原点），求直线$l$的方程。（本题满分20分）已知函数$f(x)=x\lnx-ax^2+x$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）若$a=1$，求函数$f(x)$的单调区间；（2）若函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上有两个极值点$x_1,x_2$（$x_1<x_2$），证明：$x_1+x_2>\frac{2}{a}$。二试（时间：170分钟满分：180分）一、（本题满分40分）如图，在锐角$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$的中点，以$AD$为直径的圆$\Gamma$与$AB,AC$分别交于点$E,F$（异于点$A$）。过点$E$作圆$\Gamma$的切线，与$BC$交于点$G$；过点$F$作圆$\Gamma$的切线，与$BC$交于点$H$。证明：$DG=DH$。（注：请在答题纸指定位置作图并写出详细证明过程）二、（本题满分40分）设正实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$，证明：$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq\frac{15}{2}$$三、（本题满分50分）求所有正整数$n$，使得存在正整数$a,b,c$，满足以下条件：（1）$a+b+c=n$；（2）$a^2+b^2+c^2=2025$；（3）$a,b,c$中任意两个数的差的绝对值不大于2。四、（本题满分50分）在一个$8\times8$的方格表中，每个格子内填入$0$或$1$。定义一次“操作”为：选择一个$2\times2$的子方格表，将其中的四个数同时取反（$0$变为$1$，$1$变为$0$）。证明：（1）任意一个初始状态都可以通过有限次操作变为全$0$状态或全$1$状态；（2）不存在初始状态需要超过$16$次操作才能变为全$0$状态。（试卷结束）说明：一试侧重高中数学核心知识的综合应用，覆盖函数、几何、代数、概率统计等板块，题型与高考衔接，强调解题速度与准确性；二试聚焦竞赛四大核心板块：平面几何（圆幂定理、切线性质）、代数不等式（柯西不等式、均值不等式）、数论（不定方程、整数性质）、组合