2025年下学期高中数学竞赛网络选拔试卷

2025年下学期高中数学竞赛网络选拔试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知复数(z=\frac{2+i}{1-2i})（(i)为虚数单位），则(|z|^2+z\cdot\overline{z})的值为（）A.(\sqrt{2})B.2C.4D.8函数(f(x)=\sinx\cosx+\sin^2x)在区间([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值为（）A.(\frac{1+\sqrt{2}}{2})B.(\frac{3}{4})C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.(\frac{1+\sqrt{3}}{2})已知正四棱锥(P-ABCD)的底面边长为2，侧棱长为(\sqrt{5})，则该四棱锥的外接球表面积为（）A.(4\pi)B.(6\pi)C.(8\pi)D.(10\pi)已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，则(a_7+a_8+a_9)的值为（）A.128B.256C.512D.1024若双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的一条渐近线与直线(2x-y+1=0)垂直，且焦距为(2\sqrt{5})，则该双曲线的标准方程为（）A.(\frac{x^2}{4}-y^2=1)B.(x^2-\frac{y^2}{4}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1)D.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1)已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\leq0,\\log_2(x+1),&x>0,\end{cases})则满足(f(x)+f(x-1)>1)的(x)的取值范围是（）A.((0,+\infty))B.((1,+\infty))C.((\frac{1}{2},+\infty))D.((\frac{3}{4},+\infty))从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个数字组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的概率为（）A.(\frac{7}{20})B.(\frac{1}{3})C.(\frac{11}{36})D.(\frac{13}{36})已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)（(a,b,c\in\mathbb{R})），若函数(f(x))在区间((-1,0))内单调递减，在区间((0,2))内单调递增，且(f(2)=0)，则(c)的取值范围是（）A.((-8,0))B.((-4,0))C.((-2,0))D.((0,4))二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则实数(m=)_________。已知函数(f(x)=\lnx+\frac{1}{x})，则曲线(y=f(x))在点((1,f(1)))处的切线方程为_________。已知(\alpha)为锐角，且(\tan\alpha=2)，则(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=)_________。已知圆(C:(x-1)^2+(y-2)^2=4)，过点(P(3,0))的直线(l)与圆(C)交于(A,B)两点，若(|AB|=2\sqrt{3})，则直线(l)的方程为_________。已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)（(n\in\mathbb{N}^*)），则数列({a_n})的通项公式为(a_n=)_________。已知函数(f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|)，则(f(x))的最小值为_________。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分12分）已知(\triangleABC)的内角(A,B,C)的对边分别为(a,b,c)，且满足((2b-c)\cosA=a\cosC)。（1）求角(A)的大小；（2）若(a=\sqrt{3})，求(\triangleABC)面积的最大值。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=AA_1=2)，(\angleACB=90^\circ)，点(D,E)分别是棱(A_1B_1,BB_1)的中点。（1）求证：(DE\parallel)平面(A_1BC)；（2）求二面角(A-A_1C-D)的余弦值。（本小题满分14分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求证：(\triangleAOB)的面积为定值。（本小题满分14分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若函数(f(x))有两个零点(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），求证：(x_1+x_2<2\lna)。（本小题满分14分）某工厂生产一种精密仪器，已知该仪器的合格率为(p)（(0<p<1)），且各台仪器是否合格相互独立。生产过程中，每生产一台合格仪器盈利2000元，每生产一台不合格仪器亏损1000元。（1）若(p=0.8)，求生产3台仪器盈利不少于3000元的概率；（2）记生产一台仪器的利润为(X)元，若(E(X)=1200)，求(p)的值；（3）在（2）的条件下，设(\xi)为生产5台仪器中合格仪器的台数，求(D(\xi))及(E(2\xi+1))。（本小题满分14分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）求证：数列({\frac{1}{a_n}})是等差数列，并求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=a_n\cdota_{n+1})，求数列({b_n})的前(n)项和(S_n)；（3）若存在(n\in\mathbb{N}^*)，使得(S_n>\frac{m}{20})成立，求实数(m)的取值范围。附加题（本大题共2小题，每小题20分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。附加题得分不计入总分，供自主招生参考）已知函数(f(x)=x^2+ax+b)（(a,b\in\mathbb{R})），且对任意实数(x)，均有(f(x)\geq2x+a)。（1）求(b)的取值范围；（2）若对任意(x\in[-1,1])，有(f(x)\leq2)，求(a,b)的值。已知