2025年下学期高中数学与信号处理基础试卷

2025年下学期高中数学与信号处理基础试卷一、选择题（每题5分，共30分）下列关于离散时间信号的说法中，正确的是（）A.离散时间信号在任意时刻都有定义B.数字音频属于连续时间信号C.离散时间信号的自变量只能取整数D.单位脉冲序列δ(n)在n=0处的取值为0已知某连续时间信号的最高频率为100Hz，若对其进行采样，根据奈奎斯特采样定理，采样频率至少应为（）A.50HzB.100HzC.200HzD.400Hz函数f(t)=sin(2πt)的傅里叶变换结果为（）A.π[δ(ω-2π)-δ(ω+2π)]B.π[δ(ω-2π)+δ(ω+2π)]C.(1/2π)[δ(ω-2π)-δ(ω+2π)]D.(1/2π)[δ(ω-2π)+δ(ω+2π)]线性时不变系统（LTI系统）的输出信号y(n)与输入信号x(n)满足的关系是（）A.y(n)=x(n)+nB.y(n)=2x(n-1)+3x(n)C.y(n)=x²(n)D.y(n)=sin[x(n)]差分方程y(n)-0.5y(n-1)=x(n)描述的系统，其单位脉冲响应h(n)为（）A.(0.5)ⁿu(n)B.(0.5)ⁿ⁻¹u(n-1)C.δ(n)+0.5δ(n-1)D.u(n)-0.5u(n-1)若信号x(n)的Z变换为X(z)=1/(1-0.8z⁻¹)，则该信号的收敛域为（）A.|z|>0.8B.|z|<0.8C.0<|z|<0.8D.全z平面二、填空题（每题5分，共30分）连续时间信号x(t)=e⁻ᵗu(t)的傅里叶变换X(jω)=__________。对频率为50Hz的正弦信号进行采样时，若采样频率为80Hz，会产生__________现象，导致频谱重叠。已知序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)，则其Z变换X(z)=__________。离散傅里叶变换（DFT）是对__________信号的频谱进行等间隔采样的结果。线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)需满足__________条件（填写对称关系）。某数字滤波器的系统函数H(z)有一个极点z=0.5，零点z=-1，则该系统的稳定性为__________（填“稳定”或“不稳定”）。三、计算题（每题10分，共40分）已知连续时间信号x(t)=cos(4πt)+sin(6πt)，求：（1）该信号的最高频率fₘ；（2）根据采样定理，计算最小采样频率fₛₘᵢₙ；（3）若采样频率fₛ=20Hz，写出采样后离散信号x(n)的表达式。给定序列x(n)={1,2,3,4}（n=0,1,2,3），y(n)={2,1,0}（n=0,1,2），计算线性卷积z(n)=x(n)*y(n)，并写出结果序列。用Z变换法求解差分方程y(n)-y(n-1)-2y(n-2)=x(n)，其中x(n)=δ(n)，初始条件y(-1)=0，y(-2)=0。已知某LTI系统的单位脉冲响应h(n)=u(n)-u(n-3)，输入信号x(n)=u(n)-u(n-2)，求系统的输出信号y(n)。四、应用题（每题25分，共50分）音频信号采样与重建某语音信号的最高频率为3.4kHz，现需通过计算机对其进行采集和存储：（1）计算满足采样定理的最小采样频率；（2）若采用16位量化，计算该信号的比特率（单位：kbps）；（3）若录制10秒该语音信号，不考虑压缩，计算所需存储空间（单位：MB，1MB=8×10⁶bit）。数字滤波器设计设计一个低通FIR滤波器，要求：（1）截止频率ωₙ=π/4；（2）单位脉冲响应长度N=5（对称型）；（3）写出该滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，并判断其线性相位特性。参考答案及评分标准（仅提供思路，非试卷内容）一、选择题C2.C3.A4.B5.A6.A二、填空题1/(1+jω)2.混叠3.1+2z⁻¹+3z⁻²4.有限长离散时间5.h(n)=h(N-1-n)6.稳定三、计算题（1）fₘ=3Hz；（2）fₛₘᵢₙ=6Hz；（3）x(n)=cos(0.4πn)+sin(0.6πn)z(n)={2,5,8,11,4,0}y(n)=(-1)ⁿu(n)+2ⁿu(n)y(n)={1,2,2,1,0}四、应用题（1）6.8kHz；（2）108.8kbps；（3）0.136MBh(n)=[sin(π/4(n-2))]/[π(n-2)]（n=0,1,2,3,4），线性相位试卷设计说明知识覆盖：整合高中数学（复数、微积分、数列）与信号处理（傅里叶变换、采样定理、滤波器）核心内容，如选择题6涉及复变函数基础，计算题3结合差分方程与Z变换。难度梯度：基础题（选择1-3、填空1-2）占40%，综合题（计算2-3、应用1）占40%，拓展题（应用2）占20%，符合高中“理解+应用”的能力要求。工程联系：应用题1结合音频处理实际场景，应用题2引入滤波器设计，体现数学工具在信息科技中的