2025年下学期高中数学语言表达试卷

2025年下学期高中数学语言表达试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分）命题逻辑表达下列关于命题“若函数$f(x)$是奇函数，则$f(0)=0$”的表述中，正确的是（）A.该命题的逆命题为“若$f(0)=0$，则函数$f(x)$是奇函数”，且逆命题为真命题B.该命题的否命题为“若函数$f(x)$不是奇函数，则$f(0)\neq0$”，且否命题为假命题C.该命题的逆否命题为“若$f(0)\neq0$，则函数$f(x)$不是奇函数”，且逆否命题为真命题D.该命题的否定为“若函数$f(x)$是奇函数，则$f(0)\neq0$”，且否定为真命题数学符号规范在描述“平面$\alpha$内的直线$l$与平面$\beta$内的直线$m$垂直”时，下列符号表达正确的是（）A.$l\subset\alpha$，$m\subset\beta$，$l\perpm$B.$\alpha\cap\beta=l$，$m\subset\beta$，$l\perpm$C.$l\in\alpha$，$m\in\beta$，$l\perpm$D.$\alpha\perp\beta$，$l\subset\alpha$，$m\subset\beta$，$l\perpm$统计概念辨析某研究团队对“学生每周数学学习时间与成绩的相关性”进行调查，得到样本相关系数$r=0.85$。下列表述中最准确的是（）A.每周学习时间与成绩正相关，且相关性极强B.每周学习时间每增加1小时，成绩平均提高0.85分C.成绩的85%由学习时间决定D.若样本量增加，$r$的值必然增大算法流程描述执行如图所示的程序框图（未给出图形，仅根据语言描述判断）：“输入$x$，若$x>0$，则$y=x^2+1$；否则$y=2x-3$，输出$y$”。当输入$x=-2$时，下列对输出结果的解释正确的是（）A.因为$x=-2<0$，所以$y=2\times(-2)-3=-7$，输出$-7$B.因为$x=-2$不满足$x>0$，所以执行$y=2x-3$，计算得$y=-7$C.程序的功能是求分段函数$y=\begin{cases}x^2+1,&x>0\2x-3,&x\leq0\end{cases}$在$x=-2$处的函数值，结果为$-7$D.由于输入值为负数，程序直接输出$2x-3$的结果$-7$几何证明逻辑在证明“三棱锥$P-ABC$中，若$PA\perp$平面$ABC$，则$PA\perpBC$”时，下列推理步骤的逻辑顺序正确的是（）①因为$BC\subset$平面$ABC$，所以$PA\perpBC$②由$PA\perp$平面$ABC$，根据线面垂直的性质定理，可知$PA$垂直于平面$ABC$内的任意直线③已知$PA\perp$平面$ABC$，$BC$是平面$ABC$内的直线A.③→②→①B.②→③→①C.①→②→③D.②→①→③二、填空题（共3小题，每小题8分，共24分）数学术语翻译将“函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增”翻译成数学符号语言：__________。概率情境描述某同学用“必然事件”“随机事件”“不可能事件”描述下列现象：（1）抛掷一枚骰子，朝上的点数为7：；（2）从装有2个红球和3个白球的袋子中任取1个球，取出红球：；（3）在标准大气压下，水加热到100℃沸腾：__________。向量运算解释已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，计算$\vec{a}\cdot\vec{b}=11$后，用文字解释该结果的几何意义：__________。三、解答题（共4小题，共96分）逻辑推理与证明（20分）已知命题$p$：“函数$f(x)=\lg(ax^2-ax+1)$的定义域为$\mathbb{R}$”，命题$q$：“不等式$x^2-4ax+3a^2<0$的解集为空集”。（1）用数学符号表示命题$p$成立的充要条件；（2）若“$p\lorq$”为真命题，“$p\landq$”为假命题，求实数$a$的取值范围，并说明理由。数学建模表达（24分）某工厂生产一种产品，每件成本为20元，销售单价为$x$元（$x\geq25$），且日销售量$y$（件）与销售单价$x$的关系为$y=1000-10x$。（1）用含$x$的代数式表示日销售利润$W$（元），并说明该代数式中各部分的实际意义；（2）若要使日销售利润不低于10000元，写出关于$x$的不等式，并求解该不等式，解释解集的实际含义。空间几何语言（26分）如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$BC$的中点。（1）用文字描述直线$AD$与平面$BCC_1B_1$的位置关系，并证明你的结论；（2）若$E$为$A_1B_1$的中点，试用向量法表示异面直线$DE$与$AC_1$所成角的余弦值计算过程（无需计算结果，只需写出关键步骤的文字说明和公式）。数据分析与解释（26分）某学校为研究“课后作业时间与数学成绩的关系”，随机抽取50名学生进行调查，得到如下数据：|每周作业时间（小时）|10以下|10~15|15~20|20以上||----------------------|--------|-------|-------|--------||人数|8|15|20|7||平均成绩（分）|65|75|85|80|（1）根据数据，用一句话概括课后作业时间与成绩的关系，并指出数据中可能存在的异常现象；（2）若要进一步研究两者的相关性，需补充哪些信息？并说明理由。四、开放题（共1题，30分）数学语言创新应用请以“函数的零点”为主题，设计一个面向初中学生的科普片段，要求：（1）用生活化的语言解释“零点”的概念（不超过50字）；（2）举例说明如何判断一个函数是否存在零点，并结合例子说明“数形结合”思想的作用；（3）用数学符号和图形语言描述“函数$f(x)$在区间$(a,b)$内存在零点”的一个充分条件。（全卷共计180分，考试时间120分钟）命题说明：本试卷严格依据《普通高中数学课程标准（2025年版）》设计，聚焦“逻辑推理”“数学抽象”“数学建模”“