2025年下学期初中社区教育数学试卷

2025年下学期初中社区教育数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各数中，最小的是（）A.-3B.-1C.0D.2下列计算正确的是（）A.a²+a³=a⁵B.(a²)³=a⁵C.a⁶÷a²=a³D.a²·a³=a⁵如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（）A.40°B.50°C.130°D.150°下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形已知反比例函数y=k/x的图象经过点（2，3），则k的值为（）A.6B.-6C.3/2D.-3/2某校九年级（1）班50名学生的视力情况如下表所示：视力4.6以下4.64.74.84.95.05.0以上人数3451012106则这50名学生视力的众数和中位数分别是（）A.4.9，4.8B.4.9，4.9C.5.0，4.8D.5.0，4.97.若关于x的一元二次方程x²+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作圆，若圆C与斜边AB相切，则r的值为（）A.2B.2.4C.3D.49.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.a>0，b>0，c>0B.a<0，b>0，c<0C.a<0，b<0，c>0D.a<0，b>0，c>010.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是AD的中点，点F在AB上，且BF=1，P是BC上一动点，当△PEF的周长最小时，点P的位置在（）A.B点处B.BC的中点处C.距离B点2个单位处D.距离B点3个单位处二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）分解因式：x³-4x=______．若点P（a，2）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a+b=______．一个扇形的圆心角为60°，半径为6cm，则这个扇形的面积为______cm²．（结果保留π）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC=______．若关于x的分式方程2/(x-3)+x+m/(3-x)=2有增根，则m的值为______．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______．三、解答题（本大题共8小题，共72分）（8分）计算：（-1）²⁰²⁵+√12-4sin60°+（π-3.14）⁰．（8分）先化简，再求值：（x-1-3/(x+1)）÷(x²+4x+4)/(x+1)，其中x=2．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：BE=DF．（8分）某校为了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，绘制了如下不完整的统计图．请根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校有1500名学生，估计该校对“防溺水”安全知识掌握情况为“优秀”的学生有多少名？（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．（1）求证：BD是圆O的切线；（2）若AD=2，AE=4，求BC的长．（10分）某商店销售一种进价为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其部分对应值如下表所示：销售单价x（元）405060销售量y（件）302010（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若商店每天销售这种商品的利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出销售单价x为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，且在第四象限，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（12分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使AD=AE，∠DAE=α，连接CE．（1）如图1，当α=60°时，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，当α=90°时，①求证：CE⊥BC；②若BD=2，DC=4，求AD的长；（3）在（2）的条件下，将△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落在AB边上，此时点E的对应点为E′，连接CE′，请直接写出CE′的长．参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共30分）A2.D3.C4.C5.A6.B7.A8.B9.D10.C二、填空题（每小题3分，共18分）x(x+2)(x-2)12.113.6π14.1.515.-116.(√5+1，0)三、解答题（共72分）解：原式=-1+2√3-4×(√3/2)+1…………4分=-1+2√3-2√3+1…………6分=0…………8分解：原式=[(x-1)(x+1)-3]/(x+1)÷(x+2)²/(x+1)…………2分=(x²-1-3)/(x+1)×(x+1)/(x+2)²…………4分=(x²-4)/(x+2)²…………5分=(x+2)(x-2)/(x+2)²…………6分=(x-2)/(x+2)…………7分当x=2时，原式=(2-2)/(2+2)=0…………8分证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C…………3分∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)…………6分∴BE=DF…………8分解：（1）本次调查共抽取学生：24÷40%=60（名）…………2分（2）C等级人数：60-18-24-6=12（名），补全条形统计图略…………5分（3）估计该校对“防溺水”安全知识掌握情况为“优秀”的学生有：1500×(18/60)=450（名）…………8分（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO…………1分∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°∵∠CBD=∠A，∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=90°∴OD⊥BD…………3分∵OD是圆O的半径，∴BD是圆O的切线…………4分（2）解：连接DE，∵AE是圆O的直径，∴∠ADE=90°…………5分∵∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB…………6分∴AD/AC=AE/AB∵AD=2，AE=4，∴AB=2AO=AE=4，∴2/AC=4/AB，即2/AC=4/AB，∵AB²=AC²+BC²，设AC=x，则AB=2x，∴(2x)²=x²+BC²，∵△ADE∽△ACB，∴AD/AC=AE/AB=DE/BC=2/x=4/(2x)=1/x，∴DE=BC/x，在Rt△ADE中，DE=√(AE²-AD²)=√(16-4)=√12=2√3，∴2√3=BC/x，∴BC=2√3x，代入(2x)²=x²+(2√3x)²，4x²=x²+12x²，4x²=13x²，此方程无解，说明前面设AB=2AO=AE=4错误，正确解法：∵AE是直径，AE=4，∴半径OA=OD=OE=2，设AC=a，BC=b，AB=c，由勾股定理得a²+b²=c²，由△ADE∽△ACB得AD/AC=AE/AB，即2/a=4/c，∴c=2a，由射影定理得BC²=BD·BA，AC²=AD·AB，AC²=AD·AB，即a²=2c，∵c=2a，∴a²=2×2a=4a，∴a=4，∴c=2a=8，∴b=√(c²-a²)=√(64-16)=√48=4√3，即BC=4√3…………8分（注：原解答过程有误，修正后BC=4√3）解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（40，30），（50，20）代入得：{40k+b=3050k+b=20解得：{k=-1b=70∴y与x之间的函数关系式为y=-x+70…………4分（2）w=(x-30)y=(x-30)(-x+70)=-x²+100x-2100…………6分w=-x²+100x-2100=-(x-50)²+400…………8分∵a=-1<0，∴当x=50时，w有最大值，最大值为400元…………10分解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C（0，3）代入得：3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3…………3分（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入得：{3k+b=0b=3解得：{k=-1b=3∴直线BC的解析式为y=-x+3…………4分设点P的坐标为（m，-m²+2m+3），则点P到直线BC的距离d=|m+(-m²+2m+3)-3|/√(1+1)=|-m²+3m|/√2=|m²-3m|/√2…………6分∵点P在第四象限，∴0<m<3，-m²+2m+3<0，∴m²-3m<0，∴d=(-m²+3m)/√2=-(m²-3m)/√2=-(m-1.5)²+2.25)/√2，∴当m=1.5时，d有最大值，此时点P的坐标为（1.5，-1.5²+2×1.5+3）=（1.5，3.75）…………7分（3）存在，理由如下：设点M的坐标为（n，-n²+2n+3），点N的坐标为（t，0），①当AC为边时，若AC∥MN，AC=MN，∵A（-1，0），C（0，3），∴AC的中点坐标为（-0.5，1.5），MN的中点坐标为（(n+t)/2，(-n²+2n+3)/2），∴(n+t)/2=-0.5，(-n²+2n+3)/2=1.5，解得：n=0或n=2，当n=0时，t=-1，点N的坐标为（-1，0）（与点A重合，舍去），当n=2时，t=-3，点N的坐标为（-3，0）；若AM∥CN，AM=CN，同理可得点N的坐标为（1，0）或（3，0）（与点B重合，舍去）；②当AC为对角线时，AC的中点坐标为（-0.5，1.5），MN的中点坐标为（(n+t)/2，(-n²+2n+3)/2），∴(n+t)/2=-0.5，(-n²+2n+3)/2=1.5，解得：n=0或n=2，当n=0时，t=-1，点N的坐标为（-1，0）（与点A重合，舍去），当n=2时，t=-3，点N的坐标为（-3，0）；综上所述，点N的坐标为（-3，0）或（1，0）…………10分（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)…………3分（2）①证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵AD=AE，∠DAE=90°，∴∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△A