2025-2026学年山西省运城市上册9月月考九年级数学试题（附答案）

/2025-2026学年山西省运城市部分学校上学期9月月考九年级数学试卷一、选择题

1.菱形、矩形、正方形共有的性质是（

）A.对角线相等 B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分 D.一条对角线平分一组内角

2.若正方形对角线的长为2，则该正方形的面积为（

）A.2 B.2 C.22 D.4

3.如图，菱形ABCD中，AB=6，∠BCDA.8 B.15 C.10 D.6

4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠AA.40∘ B.50∘ C.60∘

5.如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（

）A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

6.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为(

)A.10 B.5 C.2.5 D.2.25

7.如图，在正方形ABCD对角线AC上取点E，使得AE=AB，连接BE，则A.22.5∘ B.25∘ C.20∘

8.我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为10cm，∠A.50cm2 B.502cm

9.如图，已知四边形ACBD是矩形，点B在直线MN上，若BD平分∠ABNA.BC平分∠ABM B.CD∥MN

C.△BOC是等边三角形

10.如图，明明将家中地砖中心的图案（由大小相同的菱形和正方形组成）绘制到平面直角坐标系中，已知点A的坐标为2,0，则点A.−4,22 B.−2−二、填空题

11.如图，在菱形ABCD中，∠B=40∘，连接

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是2,1，则点C

13.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、

14.如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为____________．

15.如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60∘，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为____________

16.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB=8，AD=6三、解答题

17.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF．求证：AF=DE

18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，D是AB的中点，AE // 

19.如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点（1）求证：△ABN（2）求∠APM

20.数学实践活动课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①如图，分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点E，F作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．若AD=5

21.如图，点E、F为菱形ABCD对角线BD的三等分点.（1）试判断四边形AECF的形状，并加以证明；（2）若菱形ABCD的周长为52，BD为24，试求四边形AECF的面积.

22.如图1，在▱ABCD中，点E,F在对角线AC上，AE=CF,DE⊥AC，过点D作（1）求证：四边形DEFG是矩形．（2）如图2，连接DF,BE，当∠DFG

23.如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.

1求证：AM=2若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=3若2中矩形ABCD两边AB=6，BC=

24.综合与探究【问题情景】在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，P是射线BD上一动点，以AP为边向右作等边三角形APE，点【问题解决】（1）如图1，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD的内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是________，BC与CE的位置关系是________；【类比探究】（2）如图2，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD的外部时，1中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）当点P在线段BD的延长线上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE

参考答案与试题解析2025-2026学年山西省运城市部分学校上学期9月月考九年级数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】正方形的性质利用菱形的性质证明矩形的性质【解析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案．【解答】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意；B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意；C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意；D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意；故选：C．2.【答案】B【考点】根据正方形的性质求面积【解析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵正方形的一条对角线的长为2，∴这个正方形的面积=1故选：B．3.【答案】D【考点】等边三角形的性质与判定利用菱形的性质求线段长【解析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得∠B=60【解答】∵四边形ABCD是菱形，AB=∴AB=∴∠B又∠BCD∴∠B∴△ABC∴故选：D．4.【答案】A【考点】三角形的外角的定义及性质直角三角形斜边上的中线【解析】在Rt△ABC中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边∴CD则∠DCA∵∠BDC是△∴∠BDC故选：A．5.【答案】B【考点】证明四边形是菱形翻折变换（折叠问题）【解析】本题考查剪纸问题，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会动手操作．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．用到的知识点为：四条边相等的四边形是菱形．【解答】解：由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边．故得到的四边形是菱形．故选：B．6.【答案】C【考点】矩形的性质三角形中位线定理【解析】此题暂无解析【解答】C7.【答案】A【考点】根据正方形的性质求角度【解析】本题主要考查的正方形的性质，等腰三角形的性质，根据正方形的性质得出∠BAC=45【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC∵AE∴∠ABE∴∠CBE故选：A．8.【答案】A【考点】根据菱形的性质与判定求面积根据正方形的性质证明含30度角的直角三角形【解析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质．过点D′作D′E⊥BC交BC延长线于E，先证明四边形A′BC【解答】解：过点D′作D′E⊥BC∵正方形ABCD，∴∴∴四边形A′∴∴∠∵∴∠∴∴四边形的面积减少了S正方形故选：A．9.【答案】C【考点】内错角相等两直线平行利用矩形的性质证明等腰三角形的定义【解析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到OA=OB=OC=OD，∠CBD=90∘，进而得到【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB∴∠OBD∵BD平分∠∴∠ABD∴∠ODB∴CD∥MN∴∠COB=∠ABN∵∠CBD∴∠ABD又∵∠ABD∴∠ABC∴BC平分∠ABM；故选项∵OB∴△BOC是等腰三角形，无法得到△BOC是等边三角形，故选项故选C．10.【答案】D【考点】利用菱形的性质求线段长根据正方形的性质求线段长写出直角坐标系中点的坐标勾股定理的应用【解析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，点的坐标，勾股定理，先根据地砖中心的图案是由大小相同的菱形和正方形组成，点A的坐标为2,0，得出菱形和正方形的边长为结合勾股定理得正方形的对角线22【解答】解：过点B作BC⊥∵地砖中心的图案是由大小相同的菱形和正方形组成，点A的坐标为2,∴菱形和正方形的边长为2，故正方形的对角线=2∴OC∵点B在第二象限，∴点B的坐标为−2故选：D二、填空题11.【答案】70∘【考点】利用菱形的性质求角度【解析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质可得∠DAC=∠CAB，∠DAB+∠【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B∴∠DAC=∠CAB∴∠DAB∴∠DAC故答案为：70∘12.【答案】−【考点】根据正方形的性质求线段长关于原点对称的点的坐标【解析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到A,【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，

∴OA=OC，

∴A,C关于原点对称，

∵点A的坐标是2,1，

13.【答案】对角线相等的平行四边形为矩形【考点】平行四边形的性质与判定矩形的判定【解析】本题考查了矩形的判定，根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可．【解答】解：依题意，∵两组对边分别相等，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC∴四边形ABCD是矩形，则只要测量出对角线AC、故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形．14.【答案】2【考点】解一元二次方程-配方法解一元二次方程-因式分解法【解析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到HD=DG=1，进而得到S△DGH，同理可得S△AHE=【解答】解：∵正方形ABCD的面积为4，

∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=90∘，

∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，

∴HD=DG=1，15.【答案】8【考点】证明四边形是菱形解直角三角形的相关计算证明四边形是平行四边形【解析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由题意易得四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得AM=AN，即可得到四边形ABCD是菱形，再解【解答】解：过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于∵两张纸条的对边平行，∴AB //∴四边形ABCD是平行四边形，又∵两张纸条的宽度相等，∴AM∵S∴BC∴四边形ABCD是菱形，在Rt△ADN中，∠ADN∴AD∴四边形ABCD的周长为23故答案为：8316.【答案】7.5【考点】三角形三边关系勾股定理的应用直角三角形斜边上的中线四边形中的线段最值问题【解析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC=10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP=2.5，然后证四边形PGCH是矩形，得GH=CP，当A、【解答】连接AC、AP、CP，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠C=90∘，

∴AC=AB2+BC2=82+62=10，

∵P是线段EF的中点，EF=5

∴AP=12EF三、解答题17.【答案】见解析【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）矩形的性质【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠C=90∘，再推出【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠B=∠C=90∘，

∵BE=CF18.【答案】四边形ADCE是菱形．理由如下：

∵AE // CD，CE // AB，

∴四边形ADCE是平行四边形．

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，D是AB的中点，【考点】直角三角形斜边上的中线菱形的判定【解析】首先判定四边形ADCE是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线的性质判定该平行四边形的邻边相等，即可证得四边形ADCE是菱形．【解答】四边形ADCE是菱形．理由如下：

∵AE // CD，CE // AB，

∴四边形ADCE是平行四边形．

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，D是AB的中点，19.【答案】（1）见解析（2）90【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）根据正方形的性质证明【解析】（1）直接利用SAS证明全等即可；（2）根据全等的性质，得出∠MAP=∠ADM，再由∠【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD∵BM∴BC−CN在△ABN和△AB∴△ABN（2）解：由1知△ABN∴∠MAP∴∠MAP∴∠APM20.【答案】线段CQ的长为25【考点】矩形与折叠问题全等的性质和HL综合（HL）勾股定理的应用【解析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定．连接OQ，由翻折的性质，知AP=AB=3，OP=OB，证明Rt△【解答】解：连接OQ，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3由作图知OB=由折叠的性质，得AP=AB=3，∴OP=又∵OQ∴Rt∴PQ设PQ=CQ=x，则在Rt△ADQ中，由勾股定理，得∴5解得x=∴线段CQ的长为251221.【答案】（1）菱形（2）

40【考点】根据菱形的性质与判定求面积【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形．理由如下：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE∴BO∵AO∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC∴四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，且周长为52，∴AB∵BD=24，E、F为菱形ABCD∴OB由勾股定理得，AO=∴AC∴22.【答案】（1）见解析（2）正方形，见解析【考点】全等三角形的性质与判定平行四边形的性质与判定矩形的判定正方形的判定【解析】（1）由平行四边形的性质可得AD=CB,AD∥CB，从而得出∠DAE（2）先证得DEBF是平行四边形，得出DF // BE，从而得出∠AFD【解答】解：（1）证明：在▱ABCD中，AD=CB,AD∥CB，

∴∠DAE=∠BCF．

又∵AE=CF，

∴△ADE≅△CBFSAS，

∴∠AED=∠CFB．

∵∠AFG=∠CFB，

∴∠（2）四边形DEFG是正方形．

理由：由1知DE∥BF,DE=BF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴DF∥BE，

∴∠AFD=∠BEF．

∵∠DFG=∠BEF，

∴∠AFD=∠DFG23.【答案】1证明：图1，延长AE，BC相交于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD//BC，

∴∠DAE=∠ENC.

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE.

在△ADE和△NCE中，

∠DAE=∠2解：结论AM=AD+CM仍然成立，

理由：如图2，

延长AE，BC相交于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE.

在△ADE和3解：设MC=x，则BM=BC−CM=9−x，

由2知，AM=AD+MC=9+x【考点】全等三角形的性质与判定正方形的性质矩形的性质勾股定理【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△ADE≅△NCE和利用勾股定理建立方程，是一道基础题目．

同（1）的方法即可得出结论；（3）设出MC=x，利用（2）的结论得出AM=【解答】1证明：图1，延长AE，BC相交于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD//