2023年高考数学函数专题提分训练卷

2023年高考数学函数专题提分训练卷同学们，大家好！函数作为高中数学的核心内容，始终是高考考查的重中之重。其概念抽象，性质丰富，应用广泛，既是解决其他数学问题的基础，也是区分考生数学能力的关键。为了帮助同学们在最后阶段有效梳理函数知识脉络，突破重点难点，提升解题技能，顺利拿下函数专题的分数，我们特别策划了这份提分训练卷。本文旨在结合考情，提炼方法，并辅以针对性练习，助力大家在函数板块实现质的飞跃。一、考情回顾与核心素养解读近年来，高考数学对函数的考查呈现出“稳中求新，注重本质，强调应用”的特点。题目设置上，既有基础题目的送分，也有中档题目的区分，更有压轴题目的拔高。考查内容不仅涵盖函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等基本性质，还深度融合了函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与化归思想。从核心素养层面看，函数专题着重考查学生的数学抽象（如理解函数概念、抽象函数问题）、逻辑推理（如函数性质的推导与证明、不等式的证明）、数学建模（如利用函数解决实际问题）、直观想象（如函数图像的识别与应用、数形结合解题）以及数学运算（如导数的计算、方程的求解）。因此，同学们在复习时，不能仅仅停留在知识的记忆，更要注重这些素养的内化与提升。二、核心知识点梳理与方法提炼要攻克函数专题，首先必须对核心知识点有清晰的认识，并掌握相应的解题方法。1.函数的概念与表示*定义域：求解时务必考虑分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零、零次幂的底数不为零等基本情形，同时也要注意抽象函数定义域的求解规则。*值域：常用方法有观察法、配方法、换元法、判别式法、反函数法（针对分式型）、单调性法、基本不等式法以及导数法。要根据函数表达式的特点灵活选择。*解析式：求函数解析式的方法有待定系数法、换元法、消元法（解方程组法）以及赋值法（针对抽象函数）。2.函数的基本性质*单调性：定义法证明的步骤（取值、作差/作商、变形、定号、结论）是基础，导数法是研究单调性的利器。复合函数的单调性遵循“同增异减”原则。单调性常用来比较大小、解不等式、求最值。*奇偶性：首先要关注定义域是否关于原点对称。判断方法有定义法（f(-x)与f(x)的关系）和图像法（关于原点或y轴对称）。奇函数在原点有定义时，f(0)=0是一个重要的隐含条件。奇偶性常与单调性、周期性结合考查。*周期性：若f(x+T)=f(x)，则T为函数的周期。要熟记一些常见的周期结论，如f(x+a)=-f(x)，则周期为2a等。*对称性：常见的有关于x轴对称、y轴对称、原点对称，以及函数图像自身的轴对称（如f(a+x)=f(a-x)则关于x=a对称）和中心对称。3.基本初等函数*一次函数与二次函数：二次函数是核心，要熟练掌握其图像（开口方向、对称轴、顶点坐标）、最值（含参数讨论）、零点分布问题。一元二次方程根的分布与二次函数图像紧密相关，体现了数形结合思想。*指数函数与对数函数：重点是理解其定义、图像和性质（定义域、值域、单调性、过定点）。指数式与对数式的互化是基础，对数的运算性质要熟练运用。比较指数式、对数式的大小是常见题型。*幂函数：了解常见幂函数（y=x,y=x²,y=x³,y=x^(-1),y=x^(1/2)）的图像和性质。4.函数的图像*作图：描点法是基本方法，但更要掌握利用基本初等函数图像进行平移、伸缩、对称变换来作图。*识图：从图像中获取函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等信息。*用图：利用函数图像解决方程解的个数问题、不等式的解集问题、参数的取值范围问题等，即“数形结合”。5.函数与导数*导数的几何意义：函数在某点处的导数即为该点处切线的斜率。这是导数应用的起点。*导数与函数的单调性：f’(x)>0则f(x)在相应区间单调递增；f’(x)<0则单调递减。*导数与函数的极值、最值：求解函数极值的步骤（求导、求驻点、判断符号变化），函数在闭区间上的最值需比较端点值与极值。*导数的综合应用：利用导数证明不等式、解决恒成立问题、研究函数零点或方程根的个数等，往往需要构造辅助函数，对学生的综合能力要求较高。三、典例精析与解题策略下面，我们通过几道典型例题的分析，来具体阐释解题思路与方法技巧。题型一：函数的概念与性质综合*例1：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x²-2x。则当x<0时，f(x)=______；不等式f(x)>x的解集为______。*分析：本题考查奇函数的定义及利用函数性质解不等式。*思路：对于第一空，利用奇函数f(-x)=-f(x)，设x<0，则-x>0，代入已知表达式即可求出f(x)。对于第二空，需分x≥0和x<0两种情况，分别代入相应的解析式，解不等式，最后取并集。*解答：（过程略）当x<0时，f(x)=-x²-2x；不等式f(x)>x的解集为(-3,0)∪(3,+∞)。*策略：处理分段函数或利用奇偶性求解析式问题，关键是“求谁设谁”，并注意自变量的取值范围。解含函数符号的不等式，需结合函数的定义域和单调性，有时需分类讨论。题型二：函数图像的识别与应用*例2：函数y=(x²-1)e^|x|的图像大致是（）*分析：本题考查函数图像的识别，可通过研究函数的定义域、奇偶性、单调性、特殊点函数值等排除错误选项。*思路：首先判断函数的奇偶性，f(-x)=(x²-1)e^|x|=f(x)，故为偶函数，图像关于y轴对称，排除A、B选项；再看x=0时，y=-1，排除C选项。*解答：（过程略）选D。*策略：识别函数图像，通常从以下几个角度入手：定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性、周期性、特殊点（与坐标轴交点、极值点、最值点）、极限趋势（x→±∞时函数值的变化）。题型三：导数的几何意义与应用*例3：已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图像与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切。（1）求a,b,c的值；（2）求函数f(x)的单调区间。*分析：本题综合考查导数的几何意义、极值的条件以及利用导数研究函数的单调性。*思路：（1）f’(x)=3x²+2ax+b。由极值点的条件知f’(-2)=0；由切线条件知f(1)=0且f’(1)=-3。联立这三个方程可解出a,b,c。（2）求出f’(x)，令f’(x)>0和f’(x)<0，解不等式即可得到单调区间。*解答：（过程略）（1）a=1,b=-8,c=6；（2）单调递增区间为(-∞,-2)和(4/3,+∞)，单调递减区间为(-2,4/3)。*策略：导数的几何意义和极值存在的条件是建立方程的关键。求单调区间时，需先求出导函数的零点，再划分区间判断导函数的符号。题型四：函数与方程、不等式综合*例4：已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围。*分析：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数零点问题。*思路：（1）求导f’(x)=(1/x)-a，定义域为(0,+∞)。对a进行分类讨论：a≤0时，f’(x)>0恒成立；a>0时，令f’(x)=0得x=1/a，从而确定单调区间。（2）函数有两个零点，即方程lnx=ax有两个不同的正实根，可转化为函数g(x)=(lnx)/x与直线y=a有两个交点。利用导数研究g(x)的单调性、极值，结合图像即可求出a的范围。*解答：（过程略）（1）当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0,1/a)上单调递增，在(1/a,+∞)上单调递减。（2）0<a<1/e。*策略：含参数的函数单调性讨论是常见题型，关键是找到分类的标准。函数零点问题可转化为两个函数图像交点问题，利用导数研究函数的最值和图像走势是解决此类问题的有效方法，体现了数形结合与转化与化归的思想。四、提分建议与备考策略1.回归课本，夯实基础：高考万变不离其宗，所有题目都源于课本知识点的延伸与综合。务必将课本上的定义、公式、性质、例题、习题吃透，不留死角。2.梳理体系，构建网络：将零散的知识点串联起来，形成知识网络。例如，函数的各种性质之间有何联系？导数如何统一处理函数的单调性、极值、最值问题？3.强化运算，提升能力：数学运算能力是基本能力，尤其是导数的计算、复杂方程的求解等，必须准确熟练。平时练习要养成规范书写的习惯。4.注重思想，掌握方法：深刻理解并运用函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。这些思想是解题的灵魂。5.精选习题，有效训练：做题不在多而在精。选择高考真题、模拟题中具有代表性的题目进行练习，注重一题多解和多题一解，总结解题规律和技巧。错题本是很好的工具，要及时整理错题，分析错误原因，定期回顾。6.限时训练，模拟实战：在复习后期，进行限时训练，模拟考试环