（2021-2025）5年高考数学真题分类汇编专题09 平面向量9种常见考法归类（全国）（解析版）

五年（2021-2025）高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题09平面向量9种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1平面向量的基本定理与坐标表示（5年4考）考点01平面向量的坐标运算2025·全国一卷1.平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算2.平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。考点02平面向量基本定理的应用2025·天津2022·新高考全国Ⅰ卷2022·天津考点03平面向量的共线问题2024·上海2021·全国乙卷知识2平面向量的数量积（5年5考）考点04平面向量的数量积2024·北京2023·全国乙卷2023·上海2022·上海2022·全国甲卷2022·全国乙卷2021·浙江2021·新高考全国Ⅱ卷2021·北京考点05平面向量数量积的最值问题2024·天津2023·天津2023·全国乙卷2022·北京考点06平面向量的垂直问题2024·新课标Ⅰ卷2024·全国甲卷2023·新课标Ⅰ卷2022·全国甲卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷考点07平面向量的模长问题2025·上海2025·北京2025·全国二卷2024·新课标Ⅱ卷2023·新课标Ⅱ卷2023·北京2022·全国乙卷2021·全国甲卷2021·新高考全国Ⅰ卷考点08平面向量的夹角问题2023·全国甲卷2022·新高考全国Ⅱ卷知识3向量与几何最值（5年2考）考点09平面向量的最值问题2022·浙江2021·浙江考点01平面向量的坐标运算1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（

）等级风速大小m/s名称21.6~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.7劲风A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风【答案】A〖祥解〗结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.【详析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A.考点02平面向量基本定理的应用2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详析】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．3．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则（用，表示），若，，则【答案】；〖祥解〗根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.【详析】如图，因为，所以，所以．因为D为线段的中点，所以；又因为，所以，，所以所以，所以．故答案为：；.4．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示，若，则的最大值为【答案】〖祥解〗法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．【详析】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．考点03平面向量的共线问题5．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为．【答案】15〖祥解〗根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详析】，，解得．故答案为：15．6．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则．【答案】〖祥解〗利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.考点04平面向量的数量积7．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B〖祥解〗考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详析】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.8．（2023·上海·高考真题）已知,，求【答案】4〖祥解〗由平面向量数量积的坐标运算求解.【详析】由题意得故答案为：49．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，，．【答案】〖祥解〗由已知可得，展开化简后可得结果.【详析】由已知可得，因此，.故答案为：.10．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则；.【答案】03〖祥解〗根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，.故答案为：0；3.11．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C〖祥解〗根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详析】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.12．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B〖祥解〗根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.13．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B〖祥解〗方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.14．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则.【答案】/〖祥解〗设，利用数量积定义求出，即可求出.【详析】因为，所以，设.由可得：，两式相除得：.又，且解得：.因为，所以，解得：.故答案为：.15．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．【答案】〖祥解〗设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．考点05平面向量数量积的最值问题16．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详析】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.【『点石成金』】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.17．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详析】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D18．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为．【答案】〖祥解〗解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【详析】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.19．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．【答案】〖祥解〗空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详析】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.

考点06平面向量的垂直问题20．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D〖祥解〗根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详析】因为，所以，所以即，故，故选：D.21．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则．【答案】〖祥解〗根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详析】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【『点石成金』】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．22．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C〖祥解〗根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.23．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．24．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则．【答案】/〖祥解〗直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详析】由题意知：，解得.故答案为：.25．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则．【答案】.〖祥解〗利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详析】,，解得,故答案为：.【『点石成金』】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.考点07平面向量的模长问题26．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则【答案】〖祥解〗根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.【详析】，因为，则，则，解得.则，则.故答案为：.27．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则．【答案】〖祥解〗法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详析】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.28．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D〖祥解〗先求得，然后求得.【详析】因为，所以.故选：D29．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．【详析】因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.30．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B〖祥解〗由得，结合，得，由此即可得解.【详析】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.31．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B〖祥解〗利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详析】向量满足，所以.故选：B32．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是．【答案】〖祥解〗利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.【详析】若，则，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；故.不妨设，则，不妨设，，则，则，则，由，，则，故.故答案为：.33．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则.【答案】〖祥解〗根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详析】∵∴∴.故答案为：.34．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC〖祥解〗A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详析】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC考点08平面向量的夹角问题35．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详析】因为，所以，则，，所以.故选：B.36．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗作出图形,根据几何意义求解.【详析】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.37．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C〖祥解〗利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详析】解：,,即,解得,故选：C考点09平面向量的最值问题38．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是．【答案】〖祥解〗根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．【详析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．39．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为.【答案】〖祥解〗设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详析】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【『点石成金』】关键点『点石成金』：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.专题09平面向量9种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1平面向量的基本定理与坐标表示（5年4考）考点01平面向量的坐标运算2025·全国一卷1.平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算2.平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。考点02平面向量基本定理的应用2025·天津2022·新高考全国Ⅰ卷2022·天津考点03平面向量的共线问题2024·上海2021·全国乙卷知识2平面向量的数量积（5年5考）考点04平面向量的数量积2024·北京2023·全国乙卷2023·上海2022·上海2022·全国甲卷2022·全国乙卷2021·浙江2021·新高考全国Ⅱ卷2021·北京考点05平面向量数量积的最值问题2024·天津2023·天津2023·全国乙卷2022·北京考点06平面向量的垂直问题2024·新课标Ⅰ卷2024·全国甲卷2023·新课标Ⅰ卷2022·全国甲卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷考点07平面向量的模长问题2025·上海2025·北京2025·全国二卷2024·新课标Ⅱ卷2023·新课标Ⅱ卷2023·北京2022·全国乙卷2021·全国甲卷2021·新高考全国Ⅰ卷考点08平面向量的夹角问题2023·全国甲卷2022·新高考全国Ⅱ卷知识3向量与几何最值（5年2考）考点09平面向量的最值问题2022·浙江2021·浙江考点01平面向量的坐标运算1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（

）等级风速大小m/s名称21.6~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.7劲风A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风【答案】A〖祥解〗结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.【详析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A.考点02平面向量基本定理的应用2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详析】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．3．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则（用，表示），若，，则【答案】；〖祥解〗根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.【详析】如图，因为，所以，所以．因为D为线段的中点，所以；又因为，所以，，所以所以，所以．故答案为：；.4．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示，若，则的最大值为【答案】〖祥解〗法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．【详析】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．考点03平面向量的共线问题5．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为．【答案】15〖祥解〗根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详析】，，解得．故答案为：15．6．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则．【答案】〖祥解〗利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.考点04平面向量的数量积7．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B〖祥解〗考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详析】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.8．（2023·上海·高考真题）已知,，求【答案】4〖祥解〗由平面向量数量积的坐标运算求解.【详析】由题意得故答案为：49．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，，．【答案】〖祥解〗由已知可得，展开化简后可得结果.【详析】由已知可得，因此，.故答案为：.10．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则；.【答案】03〖祥解〗根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，.故答案为：0；3.11．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C〖祥解〗根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详析】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.12．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B〖祥解〗根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.13．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B〖祥解〗方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.14．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则.【答案】/〖祥解〗设，利用数量积定义求出，即可求出.【详析】因为，所以，设.由可得：，两式相除得：.又，且解得：.因为，所以，解得：.故答案为：.15．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．【答案】〖祥解〗设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．考点05平面向量数量积的最值问题16．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详析】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.【『点石成金』】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.17．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详析】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D18．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为．【答案】〖祥解〗解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【详析】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.19．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．【答案】〖祥解〗空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详析】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.

考点06平面向量的垂直问题20．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D〖祥解〗根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详析】因为，所以，所以即，故，故选：D.21．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则．【答案】〖祥解〗根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详析】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【『点石成金』】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．22．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C〖祥解〗根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.23．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．24．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则．【答案】/〖祥解〗直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详析】由题意知：，解得.故答案为：.25．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则．【答案】.〖祥解〗利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详析】,，解得,故答案为：.【『点石成金』】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.考点07平面向量的模长问题26．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则【答案】〖祥解〗根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.【详析】，因为，则，则，解得.则，则.故答案为：.27．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则．【答案】〖祥解〗法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详析】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.28．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D〖祥解〗先求得，然后求得.【详析】因为，所以.故选：D29．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．【详析】因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.30．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】