2025年统计学专业期末考试：抽样调查方法与样本选择试题型

2025年统计学专业期末考试：抽样调查方法与样本选择试题型考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题2分，共20分）1.从包含N个单位的总体中，抽取n个单位作为样本，使得每个可能的样本被抽中的概率相等，这种抽样方法称为（）。A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.整群抽样2.在抽样调查中，由于抽样引起的样本指标与总体指标之间的差异称为（）。A.抽样框误差B.无回答误差C.抽样误差D.登记误差3.某城市有10万户家庭，按家庭规模将全市家庭分为大、中、小三类，然后按各类比例进行随机抽样，这种抽样方法称为（）。A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.整群抽样4.从一个包含有周期性变化的总体中，按固定间隔逐个抽取单位，这种抽样方法称为（）。A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.整群抽样5.将总体各单位划分成若干群，然后随机抽取若干群，并对抽中的群内所有单位进行调查，这种抽样方法称为（）。A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.整群抽样6.抽样调查的主要目的是（）。A.了解总体分布情况B.对总体指标进行估计C.对总体进行分类D.对总体进行排序7.在其他条件不变的情况下，样本量增大，抽样平均误差（）。A.增大B.减小C.不变D.无法确定8.在分层抽样中，若各层的方差相等，则按比例分配样本量，其抽样误差（）。A.最大B.最小C.中等D.无法确定9.在整群抽样中，若群内方差较小，则抽样误差（）。A.最大B.最小C.中等D.无法确定10.对于一个固定的总体和样本量，置信水平越高，则抽样极限误差（）。A.越大B.越小C.不变D.无法确定二、填空题（每空2分，共10分）1.抽样调查是利用__________的一种非全面调查方法。2.抽样误差是由于__________而产生的误差。3.在分层抽样中，理想的分层是__________。4.系统抽样的抽样间隔应为__________的整数倍。5.抽样平均误差是指__________的标准差。三、简答题（每题10分，共30分）1.简述简单随机抽样的特点和适用条件。2.简述分层抽样的优缺点。3.简述影响样本量确定的主要因素。四、计算题（每题20分，共40分）1.某工厂生产某种零件，共10000个，为了了解该零件的重量分布情况，采用整群抽样方法进行调查。将10000个零件划分为250群，每群40个零件。随机抽取了5群，并对抽中的群内所有零件进行称重。调查结果如下表所示（单位：克）：群号12345重量99.8100.199.9100.299.7假设各群内零件重量服从正态分布，且方差相等。试估计该零件的平均重量，并计算抽样平均误差和抽样极限误差（置信水平为95%）。2.某市有30万户家庭，为了了解该市家庭的月均收入情况，采用分层抽样方法进行调查。将全市家庭按收入水平分为高、中、低三层，三层家庭数分别为6万、20万、4万。样本量为1000户，按比例分配样本量。已知高、中、低三层的方差分别为0.64、0.49、0.36。试计算各层样本量，并估计该市家庭的月均收入，并计算抽样平均误差和抽样极限误差（置信水平为95%）。试卷答案一、选择题1.A解析：简单随机抽样是指从包含N个单位的总体中，抽取n个单位作为样本，使得每个可能的样本被抽中的概率相等。2.C解析：抽样误差是指由于抽样引起的样本指标与总体指标之间的差异。3.C解析：分层抽样是将总体各单位划分成若干层，然后按层内比例进行随机抽样。4.B解析：系统抽样是将总体各单位按一定顺序排列，然后按固定间隔逐个抽取单位。5.D解析：整群抽样是将总体各单位划分成若干群，然后随机抽取若干群，并对抽中的群内所有单位进行调查。6.B解析：抽样调查的主要目的是对总体指标进行估计。7.B解析：抽样平均误差与样本量的平方根成反比，样本量增大，抽样平均误差减小。8.B解析：按比例分配样本量时，若各层方差相等，则抽样误差最小。9.B解析：整群抽样中，若群内方差较小，则抽样误差较小。10.A解析：对于一个固定的总体和样本量，置信水平越高，则抽样极限误差越大。二、填空题1.随机原则解析：抽样调查是利用随机原则的一种非全面调查方法。2.抽样解析：抽样误差是由于抽样而产生的误差。3.方差尽可能小解析：在分层抽样中，理想的分层是层内方差尽可能小，层间方差尽可能大。4.总体单位数解析：系统抽样的抽样间隔应为总体单位数的整数倍。5.抽样平均数（或抽样指标）解析：抽样平均误差是指抽样平均数（或抽样指标）的标准差。三、简答题1.简单随机抽样的特点是：每个样本单位被抽中的概率相等，抽样过程简单。适用条件是：总体单位分布比较均匀，没有明显的聚集或周期性变化，总体单位数不是太大。解析：首先说明简单随机抽样的特点，即每个样本单位被抽中的概率相等，抽样过程简单。然后说明其适用条件，即总体单位分布比较均匀，没有明显的聚集或周期性变化，总体单位数不是太大。2.分层抽样的优点是：可以降低抽样误差，提高估计的精度；可以使不同层级的特征得到充分体现。缺点是：需要了解总体的分层结构，分层工作比较复杂；分层抽样要求层内同质性，层间异质性，如果分层不合理，反而会增大抽样误差。解析：首先说明分层抽样的优点，可以降低抽样误差，提高估计的精度，可以使不同层级的特征得到充分体现。然后说明其缺点，需要了解总体的分层结构，分层工作比较复杂，分层抽样要求层内同质性，层间异质性，如果分层不合理，反而会增大抽样误差。3.影响样本量确定的主要因素有：总体方差的大小，置信水平的要求，抽样极限误差的要求，抽样方法，无回答率等。解析：列举影响样本量确定的主要因素，包括总体方差的大小，置信水平的要求，抽样极限误差的要求，抽样方法，无回答率等。四、计算题1.解：(1)计算各群平均重量：$$\bar{x}_1=\frac{99.8}{40}=99.8$$$$\bar{x}_2=\frac{100.1}{40}=100.025$$$$\bar{x}_3=\frac{99.9}{40}=99.975$$$$\bar{x}_4=\frac{100.2}{40}=100.05$$$$\bar{x}_5=\frac{99.7}{40}=99.85$$(2)计算样本平均重量：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^5\bar{x}_i}{5}=\frac{99.8+100.025+99.975+100.05+99.85}{5}=100.015$$(3)计算群内方差（以第一群为例）：$$s_1^2=\frac{\sum_{j=1}^{40}(x_{1j}-\bar{x}_1)^2}{40-1}=\frac{\sum_{j=1}^{40}(x_{1j}-99.8)^2}{39}$$$$s_1^2=\frac{(99.8-99.8)^2+(99.8-99.8)^2+\cdots+(99.8-99.8)^2}{39}=0$$同理，$s_2^2=0,s_3^2=0,s_4^2=0,s_5^2=0$(4)计算群间方差：$$\delta^2=\frac{\sum_{i=1}^5(\bar{x}_i-\bar{x})^2}{5-1}=\frac{(99.8-100.015)^2+(100.025-100.015)^2+(99.975-100.015)^2+(100.05-100.015)^2+(99.85-100.015)^2}{4}$$$$\delta^2=\frac{(-0.215)^2+(0.01)^2+(-0.04)^2+(0.035)^2+(-0.165)^2}{4}=\frac{0.00046225+0.000001+0.0016+0.001225+0.000027225}{4}=0.00045683125$$(5)计算抽样平均误差：$$\mu_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{\delta^2}{r}\cdot\left(1-\frac{r}{R}\right)}=\sqrt{\frac{0.00045683125}{5}\cdot\left(1-\frac{5}{250}\right)}=\sqrt{0.000091365625\cdot0.98}=\sqrt{0.00008939425}\approx0.009456$$(6)计算抽样极限误差（置信水平为95%，查表得1.96）：$$\Delta_{\bar{x}}=\mu_{\bar{x}}\cdot1.96=0.009456\cdot1.96\approx0.0185$$(7)估计该零件的平均重量：$$\bar{X}=\bar{x}\pm\Delta_{\bar{x}}=100.015\pm0.0185$$$$即99.9965\leq\bar{X}\leq100.0335$$答：该零件的平均重量在99.9965克到100.0335克之间。2.解：(1)计算各层样本量：$$n_1=\frac{N_1}{N}\cdotn=\frac{6}{30}\cdot1000=200$$$$n_2=\frac{N_2}{N}\cdotn=\frac{20}{30}\cdot1000=666.67\approx667$$$$n_3=\frac{N_3}{N}\cdotn=\frac{4}{30}\cdot1000=133.33\approx133$$(2)计算各层样本平均数（假设数据已知）：$$\bar{x}_1=\text{（已知）}$$$$\bar{x}_2=\text{（已知）}$$$$\bar{x}_3=\text{（已知）}$$(3)计算抽样平均误差：$$\mu_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}+\frac{\sigma_3^2}{n_3}}$$$$\mu_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{0.64}{200}+\frac{0.49}{667}+\frac{0.36}{133}}$$$$\mu_{\bar{x}}=\sqrt{0.0032+0.000735+0.0027}=\sqrt{0.006635}\approx0.08145$$(4)计算抽样极限误差（置信水平为95%，查表得1.96）：$$\Delta_{\bar{x}}=\mu_{\bar{x}}\cdot1.96=0.0814