2025年统计学专业期末考试：统计与决策应用题库

2025年统计学专业期末考试：统计与决策应用题库考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、假设某快餐连锁店想要评估其新推出的两种饮料（A和B）的偏好度。随机抽取了100名顾客，询问他们更偏好哪种饮料。结果如下：选择A饮料的顾客有55人，选择B饮料的顾客有45人。请计算：1.样本中选择A饮料顾客的proportions和选择B饮料顾客的proportions。2.如果要估计总体中偏好A饮料顾客比例的95%置信区间，请计算该区间的上下限。（假设样本比例近似服从正态分布）3.基于样本结果，是否有足够的证据（α=0.05）认为偏好A饮料的顾客比例显著高于偏好B饮料的顾客比例？请说明你的检验过程，包括原假设、备择假设、计算检验统计量及其值、确定p值范围或直接给出p值，并做出统计决策。二、某公司人力资源部想要研究员工的工作满意度（用评分1到10表示，分数越高表示满意度越高）与员工年龄（单位：年）之间的关系。随机抽取了15名员工，得到以下数据（仅列出部分数据，非完整数据集）：员工编号:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15年龄(年):22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64满意度评分:6,7,7,8,7,8,9,8,9,8,7,6,5,6,41.请计算该样本的员工平均年龄和平均满意度评分。2.计算年龄与满意度评分之间的样本相关系数，并解释其含义。3.建立满意度评分对年龄的简单线性回归模型。请写出模型方程，并解释回归系数（斜率和截距）的实际意义。4.当某员工年龄为45岁时，请利用建立的回归模型预测其满意度评分，并给出预测结果的95%置信区间。三、一家制造厂生产某种零件，关心零件长度是否符合标准（标准长度为10厘米）。质检部门抽取了25个零件，测得样本平均长度为9.95厘米，样本标准差为0.15厘米。1.假设检验的显著性水平α=0.01，请检验该厂生产的零件长度是否显著偏离标准长度10厘米？请完成假设检验的全过程，包括提出假设、计算检验统计量及其值、确定p值或临界值、做出统计决策。2.如果要求零件长度的允许偏差范围是±0.2厘米（即长度在9.8厘米到10.2厘米之间为合格），请计算样本均值9.95厘米对应的样本比例（即样本中长度在合格范围内的零件所占比例）。3.基于样本比例，如果要估计该厂生产的零件长度合格率的95%置信区间，请计算该区间的上下限。四、某零售商想要比较其两个不同店铺（店铺1和店铺2）在过去一个月的销售额表现。随机抽取了两个店铺的10天销售额数据如下（单位：万元）：店铺1销售额:18,20,22,19,21,23,24,20,22,21店铺2销售额:15,17,16,18,14,19,20,15,17,161.请分别计算两个店铺销售额的样本均值和样本方差。2.请使用假设检验（α=0.05）来判断两个店铺的平均销售额是否存在显著差异？请完成假设检验的全过程。3.在进行上述检验时，做了哪些关于数据分布的假设？如果实际数据不符合这些假设，可以考虑使用什么非参数检验方法来替代？请简要说明该非参数检验方法的基本思想。五、一家保险公司想要评估某项新保险产品的潜在需求。他们进行了市场调查，收集了潜在客户年龄和他们对该产品支付意愿（支付意愿分为“高”、“中”、“低”三个等级）的数据。部分数据整理如下（非完整数据集）：年龄(岁):25,30,35,40,45,50,55,60,65,70支付意愿:高,中,低,高,中,低,高,中,低,中1.请计算该样本中各个支付意愿等级（高、中、低）的频数和proportions。2.计算样本中年龄与支付意愿之间的列联表（即交叉表）。3.基于样本数据，请使用卡方检验（α=0.05）来判断年龄与支付意愿之间是否存在关联性？请完成假设检验的全过程。六、某投资者考察了两种股票（股票X和股票Y）在过去5年的年度收益率数据（单位：%）如下：年份:1,2,3,4,5股票X收益率:10,15,-5,20,5股票Y收益率:8,12,-8,18,41.请分别计算股票X和股票Y的样本均值、样本标准差和样本变异系数。2.请比较两种股票收益率数据的离散程度，并说明你的判断依据。3.请计算股票X和股票Y收益率之间的样本协方差和样本相关系数，并解释相关系数的含义。4.假设投资者计划将资金按比例分配投资于这两种股票，且希望投资组合的预期年收益率达到12%。请根据两种股票的样本历史收益率，计算为实现这一目标，投资于股票X和股票Y的资金比例应分别为多少？（假设两种股票的投资比例之和为1）试卷答案一、1.选择A饮料顾客的proportions=55/100=0.55；选择B饮料顾客的proportions=45/100=0.45。2.样本比例p̂=0.55，样本量n=100，标准误SE=sqrt[p̂(1-p̂)/n]=sqrt[0.55(1-0.55)/100]=sqrt[0.2475/100]=sqrt[0.002475]≈0.04975。95%置信区间的临界值z(0.025)≈1.96。置信区间下限=p̂-z(0.025)*SE=0.55-1.96*0.04975≈0.55-0.09745≈0.45255。置信区间上限=p̂+z(0.025)*SE=0.55+1.96*0.04975≈0.55+0.09745≈0.64745。所以95%置信区间约为(0.453,0.647)。3.原假设H₀:p_A≤p_B（或p_A-p_B≤0），即偏好A饮料的比例不高于偏好B饮料的比例。备择假设H₁:p_A>p_B（或p_A-p_B>0），即偏好A饮料的比例高于偏好B饮料的比例。这是一个单尾检验。可以使用z检验或正态近似卡方检验。此处使用z检验。检验统计量z=(p̂_A-p̂_B)/sqrt[(p̂(1-p̂))(1/n_A+1/n_B)]。这里假设n_A=n_B=n/2=50。p̂_A=0.55,p̂_B=0.45。p̂_pooled=(n_A*p̂_A+n_B*p̂_B)/(n_A+n_B)=(50*0.55+50*0.45)/100=0.5。标准误=sqrt[0.5(1-0.5)*(1/50+1/50)]=sqrt[0.25*(2/50)]=sqrt[0.25*0.04]=sqrt[0.01]=0.1。检验统计量z=(0.55-0.45)/0.1=1.0/0.1=10.0。p值是观察到检验统计量z≥10.0的概率。在标准正态分布中，p值极其接近0(p<0.0001)。由于p值远小于显著性水平α=0.05，因此拒绝原假设H₀。统计决策：有足够的证据认为偏好A饮料的顾客比例显著高于偏好B饮料的顾客比例。二、1.样本平均年龄=(22+25+28+31+34+37+40+43+46+49+52+55+58+61+64)/15=665/15≈44.33年。样本平均满意度评分=(6+7+7+8+7+8+9+8+9+8+7+6+5+6+4)/15=108/15≈7.2分。2.计算相关系数r需要各变量的离差平方和及离差乘积和。计算过程略（此处假设已计算完成）。假设计算结果为r≈-0.65。相关系数r的值在-1到1之间。r=-0.65表明年龄与满意度评分之间存在较强的负相关关系，即年龄越大，满意度评分倾向于越低。3.建立简单线性回归模型y=a+bx，其中y是满意度评分，x是年龄。假设计算得到的回归方程为ŷ=10.5-0.08x。模型方程为满意度评分=10.5-0.08*年龄。回归系数b（斜率）=-0.08的实际意义是：在其他因素不变的情况下，员工年龄每增加1年，其满意度评分预计平均下降0.08分。截距a（10.5）表示当员工年龄为0岁时，预测的满意度评分为10.5分。虽然年龄为0不现实，但在统计上，截距有时也解释为数据集中点的截距或趋势线的起始点。4.当x=45时，预测的满意度评分ŷ=10.5-0.08*45=10.5-3.6=6.9分。预测区间的计算需要标准误SE_pred。假设计算得到的95%预测区间上下限分别为(6.35,7.45)。三、1.原假设H₀:μ=10，即零件平均长度等于标准长度。备择假设H₁:μ≠10，即零件平均长度偏离标准长度。使用t检验，因为总体标准差未知且样本量n=25较小（假设总体近似正态分布）。检验统计量t=(样本均值-总体均值)/(样本标准差/sqrt样本量)=(9.95-10)/(0.15/sqrt25)=-0.05/(0.15/5)=-0.05/0.03=-1.67。自由度df=n-1=25-1=24。查t分布表或使用计算器，t(0.025,24)≈2.064（双尾检验临界值）。因为-1.67的绝对值<2.064，即|t|<t_crit。或者，p值>2*P(T>|t|)=2*P(T>1.67)。查表或计算，P(T>1.67)≈0.05。所以p值≈2*0.05=0.10。p值=0.10>显著性水平α=0.05。统计决策：不拒绝原假设H₀。没有足够的证据表明该厂生产的零件长度显著偏离标准长度10厘米。2.合格范围下限=9.8，合格范围上限=10.2。样本中长度在合格范围内的零件数量=25个（假设所有样本点都在合格范围内，因为未给出具体数据）。样本比例p̂_合格=25/25=1.0。3.样本比例p̂_合格=1.0，样本量n=25。计算95%置信区间需要标准误SE_p̂=sqrt[p̂(1-p̂)/n]=sqrt[1.0(1-1.0)/25]=sqrt[0/25]=0.0。计算出的标准误为0，这通常意味着样本比例是100%或0，或者样本量不足以计算具有意义的标准误。在这种情况下，无法构建一个有意义的标准误不为零的置信区间。如果题目意图是计算合格率的标准上限，则可以认为在α=0.05水平下，标准误为0意味着置信区间的上限等于样本比例，下限等于样本比例减去标准误（此时为负数，通常取0）。因此，可以报告一个极宽的置信区间，例如(0,1.0)，但这失去了置信区间的常规意义。更合理的处理是指出样本比例是100%，因此我们100%相信合格率不低于100%，但这不是一个统计推断区间。四、1.店铺1：样本均值=(18+20+22+19+21+23+24+20+22+21)/10=210/10=21万元。样本方差s₁²=[(18-21)²+(20-21)²+...+(21-21)²]/(10-1)=[9+1+1+4+0+4+9+1+1+0]/9=30/9≈3.33万元²。样本标准差s₁=sqrt(3.33)≈1.82万元。店铺2：样本均值=(15+17+16+18+14+19+20+15+17+16)/10=170/10=17万元。样本方差s₂²=[(15-17)²+(17-17)²+...+(16-17)²]/(10-1)=[4+0+1+1+9+4+9+4+1+1]/9=34/9≈3.78万元²。样本标准差s₂=sqrt(3.78)≈1.94万元。2.原假设H₀:μ₁=μ₂，即两个店铺的平均销售额无显著差异。备择假设H₁:μ₁≠μ₂，即两个店铺的平均销售额存在显著差异。使用独立样本t检验（假设方差相等或使用Welch修正，此处假设方差相等）。合并方差s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=[(10-1)3.33+(10-1)3.78]/(10+10-2)=[9*3.33+9*3.78]/18=[29.97+34.02]/18=63.99/18≈3.555万元²。合并标准差s_p=sqrt(3.555)≈1.88万元。检验统计量t=(样本均值₁-样本均值₂)/(s_p*sqrt(1/n₁+1/n₂))=(21-17)/(1.88*sqrt(1/10+1/10))=4/(1.88*sqrt(0.2))=4/(1.88*0.4472)≈4/0.841=4.75。自由度df=n₁+n₂-2=10+10-2=18。查t分布表或使用计算器，t(0.025,18)≈2.101。因为4.75>2.101，即t>t_crit。或者，p值<2*P(T>4.75)。查表或计算，对于df=18，P(T>4.75)非常小（远小于0.001）。所以p值<0.002。p值<显著性水平α=0.05。统计决策：拒绝原假设H₀。有足够的证据认为两个店铺的平均销售额存在显著差异。3.假设检验（如t检验）通常要求数据服从正态分布，且两组方差相等（对于独立样本t检验）。如果实际数据不符合正态分布假设，或者两组方差差异较大，则t检验的结论可能不可靠。这时可以考虑使用非参数检验方法。常用的非参数检验方法是Wilcoxon秩和检验（Mann-WhitneyU检验）。其基本思想是：不依赖于数据的分布类型，先将两组数据混合排序，然后分别计算两组数据的秩和，通过比较秩和来推断两组分布位置是否存在差异。如果两个店铺的销售额数据是非正态的，可以使用Wilcoxon秩和检验来替代独立样本t检验。五、1.样本量（假设为n）：支付意愿“高”的频数f_高=4，proportions=4/n。支付意愿“中”的频数f_中=5，proportions=5/n。支付意愿“低”的频数f_低=1，proportions=1/n。总计n=4+5+1=10。proportions（近似）：高≈0.4，中≈0.5，低≈0.1。2.列联表（交叉表）：支付意愿年龄|高|中|低|合计------|---|---|---|-----<45|2|3|1|6≥45|2|2|0|4合计|4|5|1|103.原假设H₀:年龄与支付意愿之间无关联性（独立）。备择假设H₁:年龄与支付意愿之间存在关联性（不独立）。使用卡方检验。计算期望频数E_ij=(行合计*列合计)/总样本量。E_11=(6*4)/10=2.4E_12=(6*5)/10=3.0E_13=(6*1)/10=0.6E_21=(4*4)/10=1.6E_22=(4*5)/10=2.0E_23=(4*1)/10=0.4卡方统计量χ²=Σ[(O_ij-E_ij)²/E_ij]χ²=[(2-2.4)²/2.4+(3-3.0)²/3.0+(1-0.6)²/0.6+(2-1.6)²/1.6+(2-2.0)²/2.0+(0-0.4)²/0.4]χ²=[(-0.4)²/2.4+(0)²/3.0+(0.4)²/0.6+(0.4)²/1.6+(-0.2)²/2.0+(-0.4)²/0.4]χ²=[0.16/2.4+0/3.0+0.16/0.6+0.16/1.6+0.04/2.0+0.16/0.4]χ²=[0.0667+0+0.2667+0.1+0.02+0.4]χ²≈0.8534。卡方检验的临界值取决于自由度df=(行数-1)*(列数-1)=(2-1)*(3-1)=1*2=2。查χ²分布表，χ²(0.025,2)≈7.378。因为0.8534<7.378，即χ²<χ²_crit。或者，p值=P(χ²>0.8534)。对于df=2，p值远大于0.05（通常大于0.10）。p值>显著性水平α=0.05。统计决策：不拒绝原假设H₀。没有足够的证据表明年龄与支付意愿之间存在关联性。六、1.股票X：样本均值=6.4，样本标准差=sqrt[sum(x_i-x̂)²/(n-1)]=sqrt[(10+15-6.4)²+(...)+(-5-6.4)²]/4=sqrt[297.6/4]=sqrt[74.4]≈8.63。样本变异系数CV_X=标准差/均值=8.63/6.4≈1.35。股票Y：样本均值=7.6，样本标准差=sqrt[sum(y_i-ŷ)²/(n-1)]=sqrt[(8+12-7.6)²+(...)+(-8-7.6)²]/4=sqrt[231.04/4]=sqrt[57.76]≈7.60。样本变异系数CV_Y=标准差/均值=7.60/7.6=1.0。2.