2024-2025学年广东省广州市高二上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（）A.外离 B.相交 C.相切 D.内含【答案】B【解析】对圆，圆心，半径.圆：，圆心，半径.圆心距：.因为，所以两圆相交.故选：B.2.已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（）A.椭圆焦距为 B.C.椭圆的离心率 D.的面积的最大值是【答案】C【解析】如图：根据椭圆的标准方程：，得，，所以.所以：椭圆的焦距为：，故A错；根据椭圆的定义：，故B错；椭圆的离心率：，故C正确；当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为，故D错.故选：C.3.如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为：.故选：D.4.柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设柜子里的3双不同的鞋为：，，.从中随机地取出2只，所有的可能情况有：，，，，，，，，，，，，，，.共15种.其中“取出的鞋恰好成双”的情况有：，，3种，“取出的鞋不成双”的情况有：种.所以“取出的鞋不成双”的概率为：.故选：D.5.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，抛物线方程为，所以抛物线焦点为，所以该直线方程为，即，联立，得，设，则，所以.故选：A6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，设其倾斜角为，当时，直线为，，当，直线的斜率，则，由正切函数性质可知.故直线的倾斜角的范围是，故选：C.7.在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为，则，则，设平面的法向量为，则，可取，所以，因直线与平面所成角的余弦值为，故直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，故正四棱柱的体积为，故选：B.8.双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，，，，选A.情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，，，所以，即，所以双曲线的离心率.选C.[方法二]：答案回代法，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，

两交点都在左支,，，则，，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率，若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故，即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.9.下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,则,,因为，所以，因为,所以，所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故A正确；对于B选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,则,,因为，,所以，所以,但是与都不垂直，所以与面不垂直，故B错误；对于C选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,则,,因为，所以，因为,所以，所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故C正确；对于D选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,则,,因为，所以，因为,所以，所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故D正确；故选：ACD.10.一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（）A. B.C.事件A和事件B相互独立 D.事件B和事件C相互独立【答案】BCD【解析】由题，，故事件A和事件B相互独立，事件B和事件C相互独立,故选项C、D正确.对于A选项，，故选项A错误；对于B选项，故选项B正确；故选：BCD.11.我们把由半椭圆与半椭圆：合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，，是“果圆”与x，y轴的交点，叫做“果圆”的顶点，是线段的中点，为“果圆”上任意一点.则（）A.若半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为B.若是边长为1的等边三角形，则“果圆”部分方程为C.若，则D.若取得最小值，则为“果圆”的顶点【答案】BC【解析】对A：根据半椭圆的方程，可得：，，所以，该半椭圆的离心率为：；另外的半椭圆方程为：，其离心率为：.所以两个半椭圆离心率的乘积为：，故A错误；对B：因为，，，且是边长为1的等边三角形，所以，，所以.所以半椭圆的方程分别为：和，故B正确；对C：因为且，所以.因为，所以，所以.故C正确；对D：因为，，所以.若点在半椭圆上，则.若，即时，在时取最小值，此时点不是“果圆”的顶点，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点，方向向量为的直线方程是______.【答案】【解析】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为：.又直线过点，所以直线方程为：，即.13.某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则_______m.【答案】3【解析】如图：建立平面直角坐标系.设过点的圆的方程为：.因为点，在圆上，所以，解得.所以圆的方程为：.令得：.又，所以.14.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知，分别为双曲线：的左，右焦点，为坐标原点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，过点作，垂足为，则_______.【答案】【解析】如图：根据双曲线的标准方程：，得：，，.延长，交直线于点，由题意：平分，又，所以，且为中点.所以.又为中点，为中点，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球.（1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；（2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论?解：（1）设三个红球记为：，，，一个黄球记为：.从中不放回地依次随机摸出3个球，该实验的样本空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个基本事件.第一次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个.所以第一次摸到红球的概率为：.（2）第二次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有18个.所以第二次摸到红球的概率为：.第三次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个.所以第三次摸到红球的概率为：.结论：抽签的概率与抽签顺序无关.16.已知直线：与以C为圆心的圆交于A、B两点.（1）当时，求弦长；（2）当面积为时，求的外接圆的方程.解：（1）当时，直线：，以圆心半径为2，圆，所以圆心到直线距离为，所以弦长.（2）设圆心到直线距离为，则弦长为，当面积为时，或，所以或，解得，所以，联立，解得．不妨设，设外接圆的方程为，将三点的坐标代入所设圆的方程，得：，解得，所以外接圆的方程为．17.如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点.（1）证明：E，F，G，H四点共面；（2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角余弦值；（3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：如图，连接.∵E，F，G，H分别为，，，的中点，∴，∴，∴E，F，G，H四点共面.（2）解：∵四边形为菱形，，∴，为等边三角形，.设菱形的边长为2，则.∵二面角为直二面角，∴平面平面，∵平面平面，，平面，∴平面.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，故，∴异面直线，所成角的余弦值为.（3）解：设菱形的边长为2，则.如图，连接.∵为等边三角形，∴，∵异面直线，的所成角为，∴，∵平面，，∴平面，∵平面，∴，∴.∵，平面，平面，平面平面，∴为二面角的平面角.∵，∴平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，已知平行四边形存在内切圆.（i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程；（ii）求平行四边形的面积的取值范围.解：（1）易知，即，又点在椭圆上，所以.所以椭圆标准方程为：.（2）（i）如图：因为点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，所以点也在椭圆上.又存在内切圆，所以圆心必为，设圆的半径为.所以点到直线，，，的距离相等，均为，又，，，的面积相等，所以，故为菱形.所以.当直线存在斜率，且斜率不为0时，设直线：，由，不妨取.用代替，可得.由，即.当直线斜率为0时，可取,，则，所以.当直线不存在斜率时，类似可得：.所以该内切圆为定圆，其方程为：.（ii）当直线斜率为0或不存在时，.当直线斜率存在且不为0时，令（），则，因为，所以，所以所以.综上可知：.19.如图，边长为1的正方体中，M为底面上一动点，且满足，过点M作垂直于，垂直于，直线与直线交于点P.（1）若以D为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，求点P的轨迹方程.（2）以为直径作圆，以圆为底面，为高作圆柱，是否存在一个与平面平行的平面，该平面与圆柱相交，所得截面面积为定值，若存在，确定平面的位置，并求截面的面积；若不存在，说明理由.解：（1）以题设建立平面直角坐标系，并补充过原点D向上方向为z轴.设且，因为，所以，由,则，即，因为，，故，，设，由在上，所以，又因为在上，所以，故，有因为点满足，将代入有，故点轨迹方程为，且；（2）先判断在平面ABCD内是否存在与平行的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值，假设满足条件的直线存在，其方程为，设，，的中点为，点的坐标为.与为直径的圆相交于点，，的中点为，则，，因为，所以，所以.令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，所以过点作一个与平面平行的平面，与圆柱相交，所得截面为矩形，底边长为，高为1，面积为定值.广东省广州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（）A.外离 B.相交 C.相切 D.内含【答案】B【解析】对圆，圆心，半径.圆：，圆心，半径.圆心距：.因为，所以两圆相交.故选：B.2.已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（）A.椭圆焦距为 B.C.椭圆的离心率 D.的面积的最大值是【答案】C【解析】如图：根据椭圆的标准方程：，得，，所以.所以：椭圆的焦距为：，故A错；根据椭圆的定义：，故B错；椭圆的离心率：，故C正确；当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为，故D错.故选：C.3.如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为：.故选：D.4.柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设柜子里的3双不同的鞋为：，，.从中随机地取出2只，所有的可能情况有：，，，，，，，，，，，，，，.共15种.其中“取出的鞋恰好成双”的情况有：，，3种，“取出的鞋不成双”的情况有：种.所以“取出的鞋不成双”的概率为：.故选：D.5.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，抛物线方程为，所以抛物线焦点为，所以该直线方程为，即，联立，得，设，则，所以.故选：A6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，设其倾斜角为，当时，直线为，，当，直线的斜率，则，由正切函数性质可知.故直线的倾斜角的范围是，故选：C.7.在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为，则，则，设平面的法向量为，则，可取，所以，因直线与平面所成角的余弦值为，故直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，故正四棱柱的体积为，故选：B.8.双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，，，，选A.情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，，，所以，即，所以双曲线的离心率.选C.[方法二]：答案回代法，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，

两交点都在左支,，，则，，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率，若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故，即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.9.下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,则,,因为，所以，因为,所以，所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故A正确；对于B选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,则,,因为，,所以，所以,但是与都不垂直，所以与面不垂直，故B错误；对于C选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,则,,因为，所以，因为,所以，所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故C正确；对于D选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,则,,因为，所以，因为,所以，所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故D正确；故选：ACD.10.一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（）A. B.C.事件A和事件B相互独立 D.事件B和事件C相互独立【答案】BCD【解析】由题，，故事件A和事件B相互独立，事件B和事件C相互独立,故选项C、D正确.对于A选项，，故选项A错误；对于B选项，故选项B正确；故选：BCD.11.我们把由半椭圆与半椭圆：合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，，是“果圆”与x，y轴的交点，叫做“果圆”的顶点，是线段的中点，为“果圆”上任意一点.则（）A.若半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为B.若是边长为1的等边三角形，则“果圆”部分方程为C.若，则D.若取得最小值，则为“果圆”的顶点【答案】BC【解析】对A：根据半椭圆的方程，可得：，，所以，该半椭圆的离心率为：；另外的半椭圆方程为：，其离心率为：.所以两个半椭圆离心率的乘积为：，故A错误；对B：因为，，，且是边长为1的等边三角形，所以，，所以.所以半椭圆的方程分别为：和，故B正确；对C：因为且，所以.因为，所以，所以.故C正确；对D：因为，，所以.若点在半椭圆上，则.若，即时，在时取最小值，此时点不是“果圆”的顶点，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点，方向向量为的直线方程是______.【答案】【解析】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为：.又直线过点，所以直线方程为：，即.13.某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则_______m.【答案】3【解析】如图：建立平面直角坐标系.设过点的圆的方程为：.因为点，在圆上，所以，解得.所以圆的方程为：.令得：.又，所以.14.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知，分别为双曲线：的左，右焦点，为坐标原点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，过点作，垂足为，则_______.【答案】【解析】如图：根据双曲线的标准方程：，得：，，.延长，交直线于点，由题意：平分，又，所以，且为中点.所以.又为中点，为中点，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球.（1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；（2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论?解：（1）设三个红球记为：，，，一个黄球记为：.从中不放回地依次随机摸出3个球，该实验的样本空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个基本事件.第一次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个.所以第一次摸到红球的概率为：.（2）第二次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有18个.所以第二次摸到红球的概率为：.第三次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个.所以第三次摸到红球的概率为：.结论：抽签的概率与抽签顺序无关.16.已知直线：与以C为圆心的圆交于A、B两点.（1）当时，求弦长；（2）当面积为时，求的外接圆的方程.解：（1）当时，直线：，以圆心半径为2，圆，所以圆心到直线距离为，所以弦长.（2）设圆心到直线距离为，则弦长为，当面积为时，或，所以或，解得，所以，联立，解得．不妨设，设外接圆的方程为，将三点的坐标代入所设圆的方程，得：，解得，所以外接圆的方程为．17.如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点.（1）证明：E，F，G，H四点共面；（2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角余弦值；（3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：如图，连接.∵E，F，G，H分别为，，，的中点，∴，∴，∴E，F，G，H四点共面.（2）解：∵四边形为菱形，，∴，为等边三角形，.设菱形的边长为2，则.∵二面角为直二面角，∴平面平面，∵平面平面，，平面，∴平面.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，故，∴异面直线，所成角的余弦值为.（3）解：设菱形的边长