2024-2025学年贵州省六盘水市水城区高二上学期期中质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为集合，，所以，即集合中有2个元素.故选：B.2.下列关于空间向量的说法正确的是（）A.零向量是任意直线的方向向量B.方向相同的两个向量是相等向量C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量【答案】D【解析】A选项，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，A错误；B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误；C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误；D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确.故选：D.3.已知一组数据为，则该组数据的方差为（）A. B. C.6 D.7【答案】A【解析】的平均数为：，且，故这组数据的方差为：.故选：A.4.已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知直线的斜率，即，当时，；当时，，故直线的倾斜角的取值范围是，故选：C.5.如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取分别为的中点，连接，因，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，同理可得平面，所以向量在平面上的投影向量为，且.故选：.6.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3，且该圆台的体积为，则该圆台的母线长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为，则，解得，过点作垂直于点，则母线长，故选：C.7.在空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知在空间四边形中，，，，且，，则，故选：D.8.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足.将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（）(取:)A. B.C. D.【答案】B【解析】的物体经过后的温度为，的物体经过后的温度为，由题可得，，即，解得，所以要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，，所以，，，，所以A，D正确，B，C错误.故选：AD.10.已知函数，则（）A.的定义域为B.的值域为C.是偶函数D.在上单调递增【答案】ACD【解析】对于选项A，由对数函数的基本性质可得，函数的定义域即为的解集，解得，所以选项A正确；对于选项B，当时，，于是根据对数函数的性质，故选项B错误；对于选项C，由于函数定义域为，又，满足偶函数的定义，所以选项C正确；对于选项D，当时，由于为复合函数，设内层函数，在上递增，而外层函数也为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可得，在上为增函数，故选项D正确.故选：ACD.11.已知函数，则（）A.的最大值为B.的最小正周期为C.曲线关于直线轴对称D.当时，函数有个零点【答案】BC【解析】，当时，取得最大值，且最大值为，A选项错误；因为，的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B选项正确；因为，所以曲线y=fx关于直线轴对称，C选项正确；令，得，则，结合函数的图象，可知方程在上有个不同的实根，D选项错误；故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则的实部为______.【答案】【解析】因为，所以，所以的实部为.13.《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________.【答案】【解析】将乾､坤､巽排成一排有：（乾,坤,巽），（乾,巽,坤），（坤,乾,巽），（坤,巽,乾），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾）,共6种可能.乾､坤相邻的有：（乾,坤,巽），（坤,乾,巽），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾），共4种.所以乾､坤相邻的概率为.14.已知向量，，则在方向上的投影向量的模为______.【答案】【解析】由题意，，则在方向上的投影向量的模为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上；（2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直.解：（1）因为A0,3，B4,0，所以，又直线均过点，所以点三点在同一条直线上；（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，因为直线经过，两点，所以，所以，所以与互相垂直.16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）因为，由正弦定理可得，且，则，可得，即，所以.（2）因，即，由余弦定理可得，即，整理可得，，所以.17.如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设．（1）试用表示；（2）求的长度；（3）求直线与直线所成角的余弦值．解：（1）．（2）棱长均为1的四棱柱中，，，所以．（3），因为，所以直线与直线所成角的余弦值为．18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.（1）判断直线与是否垂直，并说明理由；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）和不垂直，理由如下：设，则，在中，，所以为等边三角形，所以，因为，，所以，从而，所以在直角中，，，又因为，所以，所以在中，满足，故为直角三角形，则；又因为，，所以平面；因为，所以，所以，故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，；所以，，，，，所以，，所以，所以不成立，故和不垂直.（2）由（1）可知，，，所以平面，故为平面的一个法向量；又，，设平面法向量，所以，即，取，则，，故，设平面与平面的夹角为，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.19.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.（1）是否存在点，使得平面？（2）求的取值范围.（3）求点到直线的距离的最小值.解：（1）如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题意得，，，设平面的法向量为，则，可取，设，所以，又，所以，即，所以，设存在点，使得平面，则，解得，则，则，所以存在点，使得平面（2）由（1）知，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，所以，所以的取值范围是.（3）由（1）知点满足，取中点，则点轨迹为线段，所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，，，，，，设，，则，可取，又，点到直线的距离的最小值.贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为集合，，所以，即集合中有2个元素.故选：B.2.下列关于空间向量的说法正确的是（）A.零向量是任意直线的方向向量B.方向相同的两个向量是相等向量C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量【答案】D【解析】A选项，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，A错误；B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误；C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误；D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确.故选：D.3.已知一组数据为，则该组数据的方差为（）A. B. C.6 D.7【答案】A【解析】的平均数为：，且，故这组数据的方差为：.故选：A.4.已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知直线的斜率，即，当时，；当时，，故直线的倾斜角的取值范围是，故选：C.5.如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取分别为的中点，连接，因，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，同理可得平面，所以向量在平面上的投影向量为，且.故选：.6.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3，且该圆台的体积为，则该圆台的母线长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为，则，解得，过点作垂直于点，则母线长，故选：C.7.在空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知在空间四边形中，，，，且，，则，故选：D.8.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足.将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（）(取:)A. B.C. D.【答案】B【解析】的物体经过后的温度为，的物体经过后的温度为，由题可得，，即，解得，所以要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，，所以，，，，所以A，D正确，B，C错误.故选：AD.10.已知函数，则（）A.的定义域为B.的值域为C.是偶函数D.在上单调递增【答案】ACD【解析】对于选项A，由对数函数的基本性质可得，函数的定义域即为的解集，解得，所以选项A正确；对于选项B，当时，，于是根据对数函数的性质，故选项B错误；对于选项C，由于函数定义域为，又，满足偶函数的定义，所以选项C正确；对于选项D，当时，由于为复合函数，设内层函数，在上递增，而外层函数也为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可得，在上为增函数，故选项D正确.故选：ACD.11.已知函数，则（）A.的最大值为B.的最小正周期为C.曲线关于直线轴对称D.当时，函数有个零点【答案】BC【解析】，当时，取得最大值，且最大值为，A选项错误；因为，的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B选项正确；因为，所以曲线y=fx关于直线轴对称，C选项正确；令，得，则，结合函数的图象，可知方程在上有个不同的实根，D选项错误；故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则的实部为______.【答案】【解析】因为，所以，所以的实部为.13.《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________.【答案】【解析】将乾､坤､巽排成一排有：（乾,坤,巽），（乾,巽,坤），（坤,乾,巽），（坤,巽,乾），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾）,共6种可能.乾､坤相邻的有：（乾,坤,巽），（坤,乾,巽），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾），共4种.所以乾､坤相邻的概率为.14.已知向量，，则在方向上的投影向量的模为______.【答案】【解析】由题意，，则在方向上的投影向量的模为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上；（2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直.解：（1）因为A0,3，B4,0，所以，又直线均过点，所以点三点在同一条直线上；（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，因为直线经过，两点，所以，所以，所以与互相垂直.16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）因为，由正弦定理可得，且，则，可得，即，所以.（2）因，即，由余弦定理可得，即，整理可得，，所以.17.如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设．（1）试用表示；（2）求的长度；（3）求直线与直线所成角的余弦值．解：（1）．（2）棱长均为1的四棱柱中，，，所以．（3），因为，所以直线与直线所成角的余弦值为．18.