2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为，而ABC中向量与不共线，，所以直线的一个方向向量的坐标为.故选：D.2.抛物线C：的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为.故选：C.3.已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的中点坐标为，所以边上的中线所在直线的方程为，整理得.故选：B.4.已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设双曲线：，点和在曲线上，∴，两式相减可得，即.∴渐近线方程为：，故选：B.5.“”是“直线与垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线与垂直，则，解得或，当时，直线无意义，舍去；当时，与垂直；所以“”是“直线与垂直”的充要条件.故选：C.6.已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】圆C：的圆心，半径，圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由，得圆心到直线的距离，于是，解得或，所以直线的方程为或.故选：A.7.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（）A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m【答案】A【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线的方程为，依题意可知，抛物线过点，所以，所以抛物线方程为，所以当时，，解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为.故选：A.8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点），而分别为的中点，则，，且，由双曲线的一条渐近线为，得，则，所以的面积为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则曲线表示椭圆B.若曲线表示双曲线，则C.无论取何值，曲线都不能表示圆D.无论取何值，曲线都不能表示抛物线【答案】BD【解析】A选项，若曲线表示椭圆，则，解得，所以A选项错误.B选项，若曲线表示双曲线，则，解得，所以B选项正确.C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为，表示圆，所以C选项错误.D选项，依题意可知且，由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确.故选：BD.10.在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（）A.图形Ω为菱形 B.图形Ω的面积为2C.若P为曲线C上的点，则 D.曲线C与椭圆有四个公共点【答案】ACD【解析】依题意，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，对于AB，图形Ω是边长为的菱形，其面积为，A正确，B错误；对于C，观察图形知，为菱形的中心，，，C正确；对于D，椭圆的四个顶点分别为，是菱形的四个顶点，且菱形除顶点外，都椭圆内，因此曲线C与椭圆有四个公共点，D正确.故选：ACD.11.已知直线经过，两点，P为上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（）A. B.的值可以为C.的最小值为 D.直线一定过坐标原点【答案】AD【解析】圆C：可化为，其圆心，半径，直线，即，对于A，，则，因此，A正确；对于B，点到直线的距离，则，若，即，解得，则，，矛盾，B错误；对于C，，C错误；对于D，设点，以线段为直径的圆，即，与圆的方程相减得直线：，此直线恒过原点，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若双曲线的焦距为4，则实数的值为_________．【答案】【解析】由于方程表示双曲线，所以，双曲线的焦距为，所以.13.已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________．【答案】【解析】依题意，以线段为直径的圆的圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为.14.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，．（1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________；（2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________．【答案】【解析】（1）令入射光线射到椭圆上的点，依题意，，由椭圆的对称性知，点为椭圆短轴的端点，则，所以椭圆C的离心率为；（2）由光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，得，即，延长交于点，由光的反射定律知垂直平分线段，连接，则是的中位线，于是，而点H在圆上，则，短轴长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．（1）求直线方程；（2）求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．解：（1）由，解得，即，显然轴，，点轴上方，则，所以直线的方程为，即.（2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1，因此线段的中垂线方程为，即，由，解得，于是所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为.16.在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值．解：（1）由点P到点的距离比点P到直线的距离小2，得点P到点的距离等于点P到直线的距离，因此点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以点P的轨迹W的方程为.（2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，由消去得，恒成立，，所以.17.已知直线：．（1）若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程；（2）P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标．解：（1）由直线m与平行，设直线m的方程为，由m，之间的距离为，得，解得或，所以直线m的方程为或.（2）设点关于直线：的对称点为，则，解得，即，而，当且仅当三点共线时取等号，直线的方程为，即，由，解得，点，所以取得最大值时点P的坐标.18.已知双曲线：的离心率为，且经过点．（1）求的方程；（2）若上两点，关于点对称，求直线的方程；（3）过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示）解：（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点，所以，解得，所以双曲线的方程为.（2）依题意，上两点，关于点对称，由，两式相减并化简得，所以直线的方程为.由消去得，，因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为.（3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为，设直线，其中，因为均与的右支有两个交点，所以，所以，将的方程与联立，可得.设，则，所以，同理，所以,.19.已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1.（1）求C的方程.（2）过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方.①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：；②若A是的中点，且，求直线的方程.解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，依题意，，由消去得，则，联立解得所以椭圆C的方程为.（2）①直线不垂直于轴，设其方程为，，由消去得，，，轴，，的面积，解得，而直线的倾斜角为钝角，则，由解得，因此点，，则，即，所以.②由及A是的中点，得，又点均在椭圆上，则，整理得，即，设点，由，得点是的中点，则，同理得，因此点，的坐标都满足方程，所以直线的方程为.河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为，而ABC中向量与不共线，，所以直线的一个方向向量的坐标为.故选：D.2.抛物线C：的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为.故选：C.3.已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的中点坐标为，所以边上的中线所在直线的方程为，整理得.故选：B.4.已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设双曲线：，点和在曲线上，∴，两式相减可得，即.∴渐近线方程为：，故选：B.5.“”是“直线与垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线与垂直，则，解得或，当时，直线无意义，舍去；当时，与垂直；所以“”是“直线与垂直”的充要条件.故选：C.6.已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】圆C：的圆心，半径，圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由，得圆心到直线的距离，于是，解得或，所以直线的方程为或.故选：A.7.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（）A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m【答案】A【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线的方程为，依题意可知，抛物线过点，所以，所以抛物线方程为，所以当时，，解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为.故选：A.8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点），而分别为的中点，则，，且，由双曲线的一条渐近线为，得，则，所以的面积为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则曲线表示椭圆B.若曲线表示双曲线，则C.无论取何值，曲线都不能表示圆D.无论取何值，曲线都不能表示抛物线【答案】BD【解析】A选项，若曲线表示椭圆，则，解得，所以A选项错误.B选项，若曲线表示双曲线，则，解得，所以B选项正确.C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为，表示圆，所以C选项错误.D选项，依题意可知且，由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确.故选：BD.10.在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（）A.图形Ω为菱形 B.图形Ω的面积为2C.若P为曲线C上的点，则 D.曲线C与椭圆有四个公共点【答案】ACD【解析】依题意，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，对于AB，图形Ω是边长为的菱形，其面积为，A正确，B错误；对于C，观察图形知，为菱形的中心，，，C正确；对于D，椭圆的四个顶点分别为，是菱形的四个顶点，且菱形除顶点外，都椭圆内，因此曲线C与椭圆有四个公共点，D正确.故选：ACD.11.已知直线经过，两点，P为上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（）A. B.的值可以为C.的最小值为 D.直线一定过坐标原点【答案】AD【解析】圆C：可化为，其圆心，半径，直线，即，对于A，，则，因此，A正确；对于B，点到直线的距离，则，若，即，解得，则，，矛盾，B错误；对于C，，C错误；对于D，设点，以线段为直径的圆，即，与圆的方程相减得直线：，此直线恒过原点，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若双曲线的焦距为4，则实数的值为_________．【答案】【解析】由于方程表示双曲线，所以，双曲线的焦距为，所以.13.已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________．【答案】【解析】依题意，以线段为直径的圆的圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为.14.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，．（1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________；（2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________．【答案】【解析】（1）令入射光线射到椭圆上的点，依题意，，由椭圆的对称性知，点为椭圆短轴的端点，则，所以椭圆C的离心率为；（2）由光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，得，即，延长交于点，由光的反射定律知垂直平分线段，连接，则是的中位线，于是，而点H在圆上，则，短轴长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．（1）求直线方程；（2）求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．解：（1）由，解得，即，显然轴，，点轴上方，则，所以直线的方程为，即.（2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1，因此线段的中垂线方程为，即，由，解得，于是所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为.16.在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值．解：（1）由点P到点的距离比点P到直线的距离小2，得点P到点的距离等于点P到直线的距离，因此点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以点P的轨迹W的方程为.（2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，由消去得，恒成立，，所以.17.已知直线：．（1）若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程；（2）P为上一点，点，，求取得最大值