匀变速直线运动的位移与时间的关系（讲义）-初升高物理暑假预习课（人教版）学生版

2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系

—划重点之初升高暑假预习强化精细讲义

9诺就

知识点1:匀速直线运动的位移

1.位移公式

x=vt,方向由起点指向终点。

2.V-t图像

B加••明

6

4

2

0

如图所示，图线与t牯所围图形的面积在数值上等于物体在这段时间内的位移的大小

当“面积”在t轴上方时，表示物体的位移与规定的正方向相同，住移为正;当“面积”在

t轴下方时，表示物体的位移与规定的正方向相反，位移为负

对相对位移的理解

国1图2

如图1所示，甲、乙同向运动，面积之差为甲、乙的相对位移；如图2所示，甲、乙反

向运动，面积之和为甲、乙的相对位移。

知识点2：匀变速直线运动的位移

1.微分思想在匀变速直线运动的v・t图像中的应用

(1)微分思想是先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再进行累加的

如图所示，在匀变速直线运动中，速度时刻变化，，旦从图中可以看出，若△(时间内速

度的变化非常小，Zkt内的运动就可近似看成匀速运动,SFV,At,S1&<9=V|At+v2At+V3At+---,

但每一个&内的速度v都小于实际的速度，故S由也只能粗略表示0〜I。时间内的位移。

当△1—0时，各矩形面积之和趋近于V-1图线与t轴所围图形的面积，此面积更能精确

表示0〜to时间内的位移。

(2)匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围图形的面积在数值上等于相应时间内物体的

位移，此结论可以推至任何直线运动。

2.匀变速直线运动的位移的表达式

(1)公式推导

如图所示，匀变速直线运动在。〜t时间内的位移在数值上等于直线AP与t轴围成的梯

形0APQ的面枳。

方法1：X=XI+X2=0A,0Q+—AR-RP=v()t+—at-t,即位移x=vot+—at2<>

222

方法2：x=—(OA+QP)XOQ,即x=L(v()+vjt,又v=v()+al,联立可得XKoi+'ad。

222

x=vot+LM是匀变速直线运动的位移与时间的关系式。

2

(2)对x=vot+'at2的理解

2

①适用范围：位移-时间关系式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，此

关系式适用于加速度恒定的直线运动。

②矢量性：公式中x、Vova都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若题目中未特

殊说明，一般选取初速度vo方向为正方向。若a与V。同向，a取正值，物体做匀加速直线

运动，若a与vo反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，计算出位移的正负表示位移的方

向。

③公式的基本应用：公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量

时，可求出剩余的一个物理量。公式中各物理量应取国乐单位制单位。

国敲黑靠山

公式x=VQt+'aF经常与公式v=v（）+at联立使用，两公式中共有五个物理量，已知任意

2

三个物理量，可以求出剩余的两个物理量。

（1）匀变速直线运动的“t图像

如图所示，。〜t1时间内的位移X1取正值，t]〜t2时间内的位移X2取负值，则。〜t2时间

内的总位移为XI与X2的代数和，总路程为IXil+lxzL

（2）匀加速直线运动的x・t图像

①匀加速直线运动的位移一时间图像为抛物线的一部分，位移与时间是二次函数关系,

位移不是随时间均匀增大的。

②由于曲线图像较为复杂，故一般应用化曲为直的思想，将X-t图像转化为十-t图像再

分析。

（3）位移一时间公式的适用范围

位移一时间公式既适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直线运动（如

图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运动，但它是加速度恒

定的匀变速直线运动，公式也适用。

（4）位移公式的两种特殊形式

①当a=()时，x=vot(匀速直线运动)。

②当vo=O时，x=,at2,即位移与时间的平方成正比。

2

(5)匀减速直线运动的位移表达式

物体做匀减速直线运动，a与vo反向，a取负值，位移表达式可以写成x=vot-LaF(a

2

代入的数值应为正值)，也可以写成x=v0l+,aF(a代入的数值应为负值)。

2

国就力提室

逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可视为反方句的匀加速直线运动。

(1)汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题均可以利用

逆向思维法求解・。

(2)对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v,加速度为a,

则时间I内的位移也可以逆向袅示为x=vt--at2o

2

目典例分析

【典例1】冰壶是冬奥会的一个竞赛项目。如图为我国运动员在北京冬奥会比赛中投掷冰壶

的情形，冰壶以某一初速度被投出后做匀减速直线运动，用时16s停止，已知停止运动前最

后1s内位移大小为0.2m,则冰壶的初速度大小为()

A.5.4nVsB.6.4ni/sC.7.2nVsD.9.0nVs

【依例2］从静止开始做匀加速直线运动的物体,通过前一半位移和后一半位移所用时间的

比值为()

A.1:(V2-1)B.1：(V2+1)

c.1：V2D.V2:l

【典例3】一个质点在4轴上运动，位置随时间的变化规律是x=4f+2/m,关于这个质点

的运动，以下说法正确的是（）

A.质点做匀速直线运动

B.质点的加速度的大小为4m/s2,方向沿x轴正方向

C./=2s时质点的位置在x=12m处

D.f=2s时质点的速度大小为16m/s,方向沿工轴正方向

【典例4】如图（a）所示，甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，，=0时刻两车刚好相

遇，两车的速度随时间变化的图像如图（b）所示，下列说法正确的是（）

A.在f=3s耐，两车再次相遇

B.在/=5s时，甲、乙两车速度相同

C.在3s5s这段时间内，甲车的加速度先变大后变小

D.在05s这段时间内，乙车做匀速直线运动

[出例5]一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力产的作用，从静止开始做匀加速直线运

动，计时开始的片图像如甲所示&图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列

A.x=lm时物体的速度为8m/s

B.图乙的斜率是图甲的斜率的2倍

C.图甲中的.v=8m/s

D.r=ls时物体的速度为4m/s

【典例6】某物体做匀加速直线运动，其初谏度为2.25m/s,加速度为O.hwd,求:

（1）物体在3s内的位移；

（2）物体在第3s内的位移；

（3）物体在第7s内的位承。

知识点3：匀变速直线运动的速度与位移的关系

1.公式推导

物体以加速度a做匀变速直线运动时，速度公式v=，/o+at,位移公式x=v（）t+—at\联立

2

消去时间t可得速度与位移的关系式为v2-vo2=2axo

如果匀变速直线运动的已知量和未知量都不涉及时间，利用公式v2_v（）2=2ax求解问题时,

往往比用两个基本公式解题方便。

22

2.对公式v-v0=2ax的理解

（1）v2・v（）2=2ax为矢量式，适用于匀变速直线运动，x、vo、v、a都是矢量，应用时必

须选取统一的正方向，一般选初速度vo的方向为正方向。

①匀加速直线运动，a取正值；匀减速直线运动，a取负值。

②位移与正方向相同，x取正值;位移与正方向相反，x取负值。

（2）特殊情况：当vo=O时，公式简化为v,2=2ax（物体做初速度为零的匀加速直线运动）；

当v=0时，公式简化为-v°2=2ax（物体做匀减速直线运动直到静止），也可以视为从静止开

始、末速度为V%的反向的匀加速直线运动。

（1）匀减速直线运动的速度与位移的关系

22

公式x二二二三•中，a和X可以同时取负值，表示物体做匀减速直线运动，速度减为零

2a

后反向做匀加速直线运动。但需要注意的是，若汽车刹车时，速度减为零后即静止，故a

为负，x不可能为负。

（2）用公式V?-v（）2=2ax求出的速度有“+”有“-”。要根据实际情况来判断“+”有“-”

是否都有意义。

知识点4：匀变速直线运动规律总结

1.匀变速直线运动的基本关系式及推论

（1）速度与时间关系式：v=vo+at①，题目中不涉及位移x,可直接选用。

(2)位移与时间关系式：x=vot+1£②，题目中不涉及末速度v,方便使用。

2

(3)速度与位移关系式：v2・v()2=2ax③，题目中不涉及时间t,可直接选用。

(4)平均速度求位移公式：x二±±f④，题目中不涉及加速度a,方便使用。

2

(5)纸带数据常用推论公式：AX=aT2⑤，未涉及物理量v。

划重点

(1)前三个公式包括五个物理量v、vo、a、x、t,已知其中任意三个，可求其余两个。

以上公式中①②为匀变速直线运动的基本公式，③是①②的导出式，④⑤为推论式，公式中

涉及初速度V0、木速度V、加速度a、位移x和时间I五个物理量，这五个物理量中前四个

都是矢量，应用时要规定统一的正方向(通常取V。的方向为正方向),并注意各物理量的

正负。

(2)匀变速直线运动的公式及推论

［虬例I］和一次交通事故中,警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是16m.该车辆的刹车加速

度大小是8Om/s2,该路段的限速为60km/h.则该车()

A,刹车所用的时间为4s

B.该肇事车没有超速

C.刹车过程的平均速度为16m/s

D.刹车最后一秒的位移为8m

【典例2】一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2m/s,则物体

到达斜面底端时的速度为()

A.2拒m，sB.3m/sC.4m/sD.6m/s

【典例3】一辆汽车从车站开出，做匀加速直线运动，它开出一段时间后，司机突然发现有

一乘客未上车，急忙制动，车又作匀减速直线运动，结果汽车从开始起动到停止共用r=10s,

前进了x=15m,则此过程中汽车达到的最大速度外是（）

A.5m/sB.3m/sC.4m/sD.无法确定

QS电点理逾

重难点1：匀变速直线运动的重要推论

1.平均速度

X

（1）平均速度的一般表达式：V=y,适用于任何形式的运动。

（2）匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即。=士曰

2

推导：

（方法一）如图所示为匀变速直线运动的v-t图像，则t时间内的位移为图线与横轴围

1Y1

成的梯形的面积，即x二一rvo+vjt,故平均速度/=—=—（%+匕）。

2t/2

（方法二）在匀变速直线运动中，某一段时间t的末速度vi=vo+at,由平均速度的定义

式和匀变速直线运动的位移一时间公式整理可得

12

VZ+at

_x°21v0+v0+at%+匕Ort_v0+v.

V=-=-----上——=v^--at=--------=—__Lppv=———L

tt2222

2.中间时刻的速度

匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即:

V,=v=-(v0+vf)

推导：

在方法一的v“图像中，在。〜！，有也=%+ax!；在L〜t,有匕=y,+ax」可

2；2212

得%=1(%+匕)=/。

彳2

(1)平均速度是过程量，公式万二/土匕中的V0和M表示所取过程的初速度和末速度。

2

r匕=,(%+匕)二/只适用于匀变速直线运动,

(2)万=7适用于任何形式的运动，而

22

不适用于非匀变逃直线运动。

(3)用平均速度求位移时，因为不涉及加速度，所以较为方便，但工=刃=为土上/是

2

矢量式，故应注意各物理量的方向。

3.逐差法

匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内，位移差是一个定值，即Ax=

X2-X1=aT2

推导

①公式法：设物体的初速度为V0,在第1个T时间内的位移X户voT+」aT2,2T时间内的

2

位移x=vo-(2T)+-a-(2T)2,在第2个T时间内的位移x2二x-x产v(J+上aT?,连续相等

22

31

时间T内的位移差△XMXZ-X尸v（）T+二aV-voT--aT'aT、即Ax=aT

22

2

进一步推导可得;X2-X1=X3-X2=X4-X3=--■=Xn-Xn.]=aJ

②图像法：如图所示，可知X2-x)=aT2

团型

(1)该推论揭示了做匀变速直线运动的物体在连续相等的时间内的位移差是一个定值,

此结论只适用于匀变速直线运动，可以用于判断物体的运动是否是匀变速直线运动。

(2)在探究物体速度随时间变化规律的实脸中根据纸带求物体的加速度时常用逐差法。

(3)x»-Xn=(m-n)aT’的推导：

x?-xi=aT2,

X3~X2=aT2

?

Xn-xn=(m-n)aT

国♦依分市

【典例1】如图所示，物体从。点开始做初速度不为零的匀加速宜线运动，在第一个时间7

内通过位移为到达八点，紧接着在第二个时间了内通过位移为S2到达8点，则以下判断

正确的是

..S2T

OAB

A.物体运动的加速度为其

B.物体运动的加速度为季乜

C.物体在A点的速度大小为号

D.物体在8点的速度大小为至三

【典例2】如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝

光，得到了小球运动过程中每次曝光的位置。已知连续两次曝光的时间间隔均为几每块砖

的厚度为"，不计空气阻力。下列判断正确的是()

A.小球做变加速直线运动B.位置力”不是小球释放的初始位置

C.小球在位置“3”的速度大小为二D.第5次曝光和第6次曝光之间距离应为5d

【典例3】小球在光滑斜面上，从。点静止开始下滑，通过向、儿、〃各段所用时间均为7。

则（）

A.而与几位移差等于从与〃位移差

B.通过向、cd段的位移之比为1:5

C.通过c、d点的速度之比可能为1:2

D.通过。点的瞬时速度等于通过加/段的平均速度

【典例4】做匀加速直线运动的质点，在第6s内和前5s内的平均速度之差是3m/s,则此质

点运动的加速度大小为（）

A.Im/s2B.2m/s2C.3m/s2D.6m/s2

［咫例5］一个做匀加速直线运动的物体，在前4s内经过的位移是24m,又经过4s通过的

位移是72m,求这个物体的加速度和初速度各是多少？

【典例6］从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，

在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片（照片与实际大小相同）,

测得x=15cm,x=20cm.试问：

（1）小球的加速度的大小；

（2）拍摄时小球在B点时的速度的大小；

（3）A点的上方滚动的小球还有几个。

重难点2：匀变速直线运动位移中点的瞬时速度

1.公式推导

设匀变速直线运动的初速度为v。、末速度为V1、加速度为a、位移为X,设物体经过这

段位移的中点时的速度为U如图所示。

X，

对前半段位移有v~-vj=2。—，

22

对后半段位移有十一片二2。三，两式联立可得叭=,匕.%。

夏2QV2

2.结论

(1)匀变速直线运动位移中点的瞬时速度公式也二栏手，既适用于匀加速直线

运动，也适用于匀减速直线运动。

(2)不论物体是做句加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有也＞%。

22

证明方法一：图像法，分别作出匀加速直线,运动的速度一时间图像和匀减速直级运动的

速度一时间图像，如图甲、乙所示。由图甲看出s时刻的位移小于土，因此位移为三的时

222

刻则八＞%；由图乙可知人,所以匕＞匕。因此，只要物体做匀变速直线运

22I22222

动，总有也＞匕。

证明方法二：数学比较法

①作差法

匕一山4(%三四%7)-%+匕)＞0。则噎2

可可V222

②作商法

II典例分市

【典例I】做匀加速贪线运动的物体，通过4、B两点的速度分别为I，和3%则该物体（）

A.通过4、B中点时的速度为后v

B.通过A、8中点时的速度为21，

C.由A到8运动一半时间时的速度为u

D.由人到B运动一半时间时的速度为2V

【典例2】做匀加速直线运动的物体，先后经过A、6两点时，其速度分别为】，和7v,经历

的时间为人则（）

A.经A、4中点位置时的速度是5V

B.从A到8所需时间的中点时刻的速度是5V

C.A8间的距离为5日

D.在后一半时间所通过的距离比前一半时间通过的距离多1.5W

【典例3】滑雪者以某一初速度从斜面底端冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的

速度为0,已知滑雪者通过斜面中点时的速度为2m/s,则下列说法正确的是（）

A.滑雪者的初速度为（0+l）m/s

B.滑雪者在整个斜面上运动的平均速度为

C.前一半位移和后一半位移所需时间之比为1:（应-1）

D.斜面长度为8m

出点建逾

Q£

重难点3：纸带问题的外理方法

1.由纸带粗略地判断物体是否做匀变速直线运动

常用“位移差法”判断物体的运动情况，即判断纸带上的任意两个连续相等的时间间隔

内的位移差是否满足关系式Xe-Xn二恒量。

（1）若X2-Xl=X3-X2=X4-X3=0,则物体做匀速直线运动

（2）若X2-Xl=X3-X2=X4-X3二故中。，则物体做句变速在线运动.

就黑靠

巨!!!

若利用粘贴法处理纸带，纵坐标之差即代表Ax,若为定值(不为零)，则物体做匀变

速直线运动，否则，物体的运动不是匀变速直线运动。

2.瞬时速度v的求法

V4-r

(1)非首、末点的瞬时速度：一般利用“平均速度法”，即n="

27

(2)首、末点的瞬时这度：一般利用中间时刻瞬时速度等于相邻时刻的速度的平均值，

即v=__!i±L

“2

若为理想纸带(即不考虑AX的误差)，可将首、末点前延或后补一段位移，该段位移

的大小为*±2\*,从而使首、末点变为非首末点进行处理。

3.由纸带求物体运动加速度的方法

(1)利用“逐差法”求加速度。若为偶数段(假设为6段)，则q=等?，a2=，

x.-x,心…仙a.+a^+a...,(x++x)-(x.+x,+x,)

%=cJ然后取平均值，即a=」—=~1；或由a=上4上~~6\1——=~Z

3尸3(37尸

直接求得。这相当于把纸带分成两份，此法又叫"整体二分法

(2)图像法：

①瞬时速度一时间图像：图线斜率表示加速度a,先根据匀变速直线运动中某段时间中

点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，求出打第n个点时的瞬时速度，然后作出v-t图

Av

像，则图线的斜率表示物体运动的加速度，即a=—o

②平均速度一时间图像：斜率代表，a。

2

如图所示，x代表物体自计时起点I时间内发生的位移，符合匀变速直线运动的位移一

1X11

时间关系式X=vo+—at*故/=—=%+—即此时图线的斜率k二一a。

2t22

要点4：几种常见纸带的处理

1.连续型纸带

如图甲所示纸带中，可以连续测得计数点o到各个计数点间的距离；如图乙所示纸带中，

可以测得具有相等时间间惭的相邻各个计数点间的距离.

乙

以上两种均为连续型纸带，可以直接采用逐差法ax=aT?求匀变速直线运动的加速度。

2.间隔型纸带

如图所示纸带中，由于某种原因导致纸带的某一段或某几段的数据丢失或不可测量，这

种纸带即为间隔型纸带，可以采用重新选取计数点法，将（S1+S2）视为一段，（S5+S6）视为

另一段，利用“Xn=（m-n）aT?求解加速度a即可。

3.重叠型纸带

如图所示的纸带，测量过程中所测距离有一部分重於，这种即为重登型纸带，可利用已

知数据之差X2-X1,结合XJ3-XO-M刈aT?,从而求得加速度a。

目共例分市

【典例I】某一学习小组的同学用如图甲所示装置研究匀变速直线运动的规律，打点计时器

在小车拖动的纸带上打卜.一系列点迹，以此记录小车的运动情况。图乙中A、B、C、。、E

为每隔3个计时点所取的计数点。打点计时器电源频率为50Hz。

（1）打点计时器是一种（选填“计时''或“测位移”）的仪器，图甲中电火花打点计时

器的工作电压为（选填“直流”或咬流“）V（选填“220V”或“8V”）。

（2）除打点计时器（纸带、墨粉纸盘）、小车、一端附有滑轮的长木板、细绳、跌码、导线

及开关外，在下列仪器和器材中，还需要使用的有

A.天平

B.电压可调的直流电源

C.刻度尺

D.秒表

（3）在某次实验中，小车拖着纸带通过计时器记录下的运动情况如图乙所示，则以二

m/s,a=m/s2。（结果均保留2位有效数字）

【批例2】在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带,

点迹分布如图所示。打点计时器接频率为/的交流电源。

（1）该实验平衡摩擦力，满足钩码质量远小于木块的质量（均选填“需

要'’或"不需要

（2）打下点6时纸带的速度大小心=（用给定的字母表示）;

（3）如果实验中交变电流的频率/变大，而当时做实验的同学并不知道，那么测得的速度

值比真实值（选填“偏大”或"偏小

e尔因绰守

一、单选题

i.甲、乙两辆汽车以相同的速度沿两条平直车道同向匀速行驶，两车行驶至路口附近时发

现再经时间用绿灯就要熄灭，于是同时开始刹车，恰好同时停在停止线处，该过程中甲、乙

两车的图像分别为图中直线。和曲线》所示，假设汽车可看成质点。由图可知（）

A.0时刻，甲、乙两车恰好并排

B.0—s时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度

C.与时刻，甲、乙两车的瞬时速度大小相等

D.0—m时间内，甲车的加速度始终大于乙车的加速度

2.甲、乙两个物体沿同一方向做直线运动，其一/图像如图所示。关于两车的运动情况,

A.在4s~6s内，甲、乙两物体的加速度大小相等，方向相反

B.前6s内甲通过的路程更大

C.在u入至=6、内,甲相对乙静止

D.甲、乙两物体一定在2s末相遇

3.用如图所示的计时装置可以近似测出气垫导轨上滑块的瞬时速度。已经固定在滑块上的

遮光条的宽度为4.0mm,遮光条经过光电门的遮光时间为0.040s,则滑块经过光电门位置时

的速度大小为（）

A.0.10m/sB.100m/sC.4.0m/sD.0.40m/s

4.某质点做初速度为零的匀加速直线运动，在运动过程中的总时间分为相等的3段，且在

第一段时间的位移是1.8m,则小球在第三段时间的位移是（）

A.1.8mB.7.2mC.9.0mD.16.2m

5.某同学跑步过程中的图像如图所示，图线为一条不过坐标原点的直线，假定该同学

v

沿水平直线道路前进，下列说法正确的是（）

A.运动的速度与位移成线性规律变化

B.运动到七处的时间为二^

C.运动到巧处的时间为白+手

2%2v,

D.运动的加速性保持不变

6.北京时间2022年11月20口晚上23：00时，第22届世界