2025年下学期初中数学竞赛几何轨迹试卷

2025年下学期初中数学竞赛几何轨迹试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）已知点P在Rt△ABC的斜边AB上运动，且满足PC=2，则点P的轨迹是（）A.线段ABB.以C为圆心，2为半径的圆C.以C为圆心，2为半径的圆在△ABC内部的弧D.以AB中点为圆心，1为半径的圆解答：C解析：根据圆的定义，到定点距离等于定长的点的轨迹是圆。由于点P在斜边AB上运动，且PC=2，故轨迹为以C为圆心、2为半径的圆与线段AB的交点轨迹。但需考虑Rt△ABC的边长限制，若AC或BC小于2，则轨迹可能为圆弧。题目未给出具体边长，需根据几何性质判断：当PC=2为定长时，点P的轨迹必然是圆的一部分，且受限于AB线段，因此选C。在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在边BC上移动，连接AE，作DF⊥AE于F，则点F的轨迹是（）A.线段B.圆弧C.椭圆D.抛物线解答：B解析：连接AF、DF，由于∠AFD=90°，根据圆周角定理，点F在以AD为直径的圆上。AD=3，故圆心为AD中点O（坐标设为(1.5,0)），半径1.5。又因为E在BC上移动，F的轨迹为该圆在矩形内部的部分，即圆弧，因此选B。已知定线段AB=6，动点P满足∠APB=60°，则点P的轨迹是（）A.以AB为弦的优弧（不含A、B）B.以AB为弦的劣弧（不含A、B）C.以AB为直径的圆（不含A、B）D.两条射线解答：A解析：根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等。∠APB=60°，则点P在以AB为弦的圆上，且圆心角为120°。由于60°圆周角对应的弧为劣弧AB，故点P的轨迹为优弧AB（不含端点），因此选A。点P(x,y)满足x²+y²=4，且x≥0，则点P的轨迹是（）A.圆B.半圆C.直线D.射线解答：B解析：方程x²+y²=4表示以原点为圆心、2为半径的圆，x≥0的条件限制了轨迹为右半圆（含y轴上的点），因此选B。在坐标系中，点A(0,0)，B(4,0)，点C在y轴上移动，连接AC、BC，则△ABC外心的轨迹是（）A.直线y=2B.抛物线y=-x²+4xC.抛物线y=-(1/8)x²+2D.线段解答：C解析：设C(0,c)，△ABC外心为三边垂直平分线交点。AB中点为(2,0)，AB垂直平分线为x=2；AC中点为(0,c/2)，AC斜率不存在，垂直平分线为水平线y=c/2。外心坐标为(2,c/2)，消去参数c得y=(c/2)，而c可由外心到A的距离等于到B的距离推导：√(2²+(c/2)²)=√((2-4)²+(c/2)²)，化简得轨迹方程y=-(1/8)x²+2，因此选C。二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）已知点A(1,0)，B(-1,0)，动点P满足PA=2PB，则点P的轨迹方程为________。解答：3x²+3y²+10x+3=0解析：设P(x,y)，由PA=2PB得√[(x-1)²+y²]=2√[(x+1)²+y²]，两边平方化简：(x-1)²+y²=4[(x+1)²+y²]→x²-2x+1+y²=4x²+8x+4+4y²→3x²+3y²+10x+3=0。在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P在△ABC内运动，且到AC、BC的距离之和为2，则点P的轨迹长度为________。解答：5√2/2解析：建立坐标系，C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)。设P(x,y)，则y+x=2（x≥0,y≥0），轨迹为线段x+y=2在第一象限内的部分，与坐标轴交点(0,2)、(2,0)，长度为√[(2-0)²+(0-2)²]=√8=2√2。但需考虑△ABC边界：当x+y=2与AB交于点(4/5,6/5)，故实际轨迹为从(0,2)到(4/5,6/5)的线段，长度为√[(4/5)²+(6/5-2)²]=√[(16/25)+(16/25)]=√(32/25)=4√2/5。（注：原答案修正为考虑三角形边界后的正确计算）点P在半径为5的⊙O上，点A(3,0)，则线段PA中点M的轨迹方程为________。解答：(x-1.5)²+y²=6.25解析：设M(x,y)，P(a,b)，则x=(a+3)/2，y=b/2→a=2x-3，b=2y。由于P在⊙O上，a²+b²=25，代入得(2x-3)²+(2y)²=25→4(x-1.5)²+4y²=25→(x-1.5)²+y²=6.25。已知等边△ABC边长为2，点P在其内部运动，且到三个顶点距离之和为4，则点P的轨迹是________（填“曲线类型”）。解答：椭圆解析：在三角形内部到三顶点距离之和为定值的点的轨迹，当定值大于三角形周长一半时，轨迹为椭圆。等边△ABC周长的一半为3，4>3，故轨迹为椭圆。在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足|x|+|y|=2，则点P的轨迹所围成的图形面积为________。解答：8解析：|x|+|y|=2表示以(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)为顶点的正方形，边长为√[(2-0)²+(0-2)²]=2√2，面积为(2√2)²/2=8（或直接用菱形面积公式：对角线乘积的一半，4×4/2=8）。三、解答题（共3小题，每小题20分，满分60分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在斜边AB上移动，过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，连接DE，求线段DE中点M的轨迹。解答：解析：（1）建立坐标系：C(0,0)，A(0,6)，B(8,0)，AB方程为3x+4y=24。（2）设P(x₀,y₀)，则D(0,y₀)，E(x₀,0)，DE中点M(x₀/2,y₀/2)。（3）由于P在AB上，3x₀+4y₀=24，设M(x,y)，则x₀=2x，y₀=2y，代入得3(2x)+4(2y)=24→3x+4y=12。（4）P在线段AB上，故x₀∈[0,8]，y₀∈[0,6]，则x∈[0,4]，y∈[0,3]，因此M的轨迹为线段3x+4y=12（0≤x≤4，0≤y≤3）。已知⊙O半径为5，点A(3,0)，点P在⊙O上运动，求线段PA的垂直平分线与直线OP的交点Q的轨迹方程。解答：解析：（1）设Q(x,y)，P(a,b)，则OP方程为y=(b/a)x（a≠0）。（2）PA中点为((a+3)/2,b/2)，PA斜率为(b-0)/(a-3)=b/(a-3)，故PA垂直平分线斜率为-(a-3)/b，方程为：y-b/2=[-(a-3)/b][x-(a+3)/2]（3）Q为垂直平分线与OP交点，联立y=(b/a)x与上述方程，化简得：(b/a)x-b/2=[-(a-3)/b](x-(a+3)/2)两边乘2ab消分母，整理得a²+b²-3a=2ax-3x（4）由于P在⊙O上，a²+b²=25，代入得25-3a=2ax-3x→25=x(2a+3)-3a（5）又Q在OP上，a=(x·OP)/√(x²+y²)，但OP=5，故a=5x/√(x²+y²)，代入上式最终化简得x²+y²-3x-25/4=0，即(x-1.5)²+y²=(√34/2)²，轨迹为圆。如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在边BC上从B向C运动（不含端点），连接AE，作CF⊥AE于F，连接DF，求点F的轨迹长度。解答：解析：（1）建立坐标系：A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)，E(4,t)（0<t<4）。（2）AE方程：y=(t/4)x，CF⊥AE，斜率为-4/t，CF方程：y-4=(-4/t)(x-4)。（3）联立AE与CF方程求F坐标：(t/4)x-4=(-4/t)(x-4)解得x=(16+4t²)/(t²+16)，y=t(16+4t²)/(4(t²+16))=t(4+t²)/(t²+16)（4）消参数t，令x=4(4+t²)/(t²+16)，y=t(4+t²)/(t²+16)，则y=(t/4)x，t=4y/x，代入x表达式化简得：x=4(4+(16y²/x²))/(16y²/x²+16)→x³+xy²-4x²-4y²=0→(x²+y²)(x-4)=0（5）x²+y²=0（舍）或x=4，故F轨迹为线段x=4（0<y<4），长度为4。四、附加题（共1小题，满分20分）已知定圆⊙O半径为R，定点A在⊙O内，OA=d（d<R），点P在⊙O上运动，M为AP中点，过M作AP的垂线交OP于N，求点N的轨迹方程，并判断轨迹类型。解答：解析：（1）建立坐标系：O(0,0)，A(d,0)，P(Rcosθ,Rsinθ)，M为AP中点：((d+Rcosθ)/2,(Rsinθ)/2)。（2）AP斜率k1=(Rsinθ-0)/(Rcosθ-d)=Rsinθ/(Rcosθ-d)，故MN斜率k2=(d-Rcosθ)/(Rsinθ)。（3）MN方程：y-(Rsinθ)/2=[(d-Rcosθ)/(Rsinθ)][x-(d+Rcosθ)/2]（4）OP方程：y=(tanθ)x，联立MN方程求N坐标，化简得：x=(R²+d²)/2d，y=(R²+d²)tanθ/(2d)（5）消参数θ，得x=(R²+d²)/2d（常数），故轨迹为垂直于OA的直线x=(R²+d²)/2d，类型为直线。结论：点N的轨迹是垂直于OA的定直线，方程为x=(R²+d²)/2d。试卷设计说明：题型覆盖：包含选择、填空、解答、附加题，全面考察轨迹概念、方