2025年下学期初中数学竞赛校级选拔试卷

2025年下学期初中数学竞赛校级选拔试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知非零实数(a)，(b)满足(a+b=3)，(ab=2)，则(\frac{a^2+b^2}{a-b})的值为（）A.(\frac{5}{2})B.(\pm5)C.5D.(-5)若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)有两个不相等的正实数根，则(m)的取值范围是（）A.(m>\sqrt{3})B.(\sqrt{3}<m<2)C.(m>2)D.(\sqrt{3}<m<2)或(m>2)如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(D)为(BC)中点，将(\triangleABD)沿(AD)折叠得到(\triangleAED)，连接(CE)，则(CE)的长为（）A.(\frac{7}{5})B.(\frac{12}{5})C.(\frac{16}{5})D.(\frac{18}{5})已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像经过点((-1,0))，((3,0))，且与(y)轴交于点((0,-3))，则下列说法正确的是（）A.函数图像开口向下B.当(x>1)时，(y)随(x)的增大而增大C.函数的最小值为(-4)D.图像的对称轴为直线(x=2)若实数(x)，(y)满足(x^2+y^2=1)，则(x+y)的最大值为（）A.(\sqrt{2})B.(1)C.(2)D.(\frac{\sqrt{2}}{2})如图，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(AD=6)，点(E)为(AD)中点，点(F)为(BC)上一动点，将(\triangleABE)沿(BE)折叠得到(\triangleA'BE)，连接(A'F)，则(A'F)的最小值为（）A.(2\sqrt{5}-2)B.(2\sqrt{5})C.(4)D.(2\sqrt{10}-2)已知(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2)，且(b+d+f\neq0)，则(\frac{a-2b+3c}{b-d+3f})的值为（）A.(2)B.(\frac{4}{3})C.(\frac{5}{3})D.(\frac{7}{3})若正整数(n)满足(n^2+5n+6)能被(7)整除，则(n)的最小值为（）A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)如图，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圆，(AB=AC)，(\angleBAC=120^\circ)，(BC=6)，则(\odotO)的半径为（）A.(2\sqrt{3})B.(3)C.(4)D.(3\sqrt{3})定义新运算“(\otimes)”：(a\otimesb=a^2-b^2-ab)，则方程(x\otimes(2x)=-3)的解为（）A.(x=1)或(x=-3)B.(x=-1)或(x=3)C.(x=1)D.(x=-3)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）分解因式：(x^3-4x^2+4x=)__________。若(\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+y=3)，则(xy=)__________。如图，在平面直角坐标系中，点(A(1,2))，(B(3,4))，点(P)为(x)轴上一动点，则(PA+PB)的最小值为__________。已知扇形的圆心角为(60^\circ)，面积为(\frac{2\pi}{3})，则该扇形的弧长为__________。一个不透明的袋子中装有(3)个红球、(2)个白球和(1)个黑球，这些球除颜色外无其他差别。从中随机摸出(2)个球，则摸出的两个球颜色不同的概率为__________。观察下列等式：(1^2=1)，(1^2-2^2=-3)，(1^2-2^2+3^2=6)，(1^2-2^2+3^2-4^2=-10)，……根据以上规律，第(n)个等式（(n)为正整数）为__________。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（12分）计算：（1）(\sqrt{18}-2\cos45^\circ+(1-\sqrt{2})^0+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1})；（2）先化简，再求值：(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}+\frac{2-x}{x+2}\right)\div\frac{x}{x-2})，其中(x=\sqrt{3}-2)。（14分）如图，在平行四边形(ABCD)中，(E)，(F)分别为(AD)，(BC)的中点，连接(BE)，(DF)交于点(O)，连接(EF)。（1）求证：四边形(BEDF)是平行四边形；（2）若(\angleA=60^\circ)，(AB=2)，(AD=4)，求(\triangleBOF)的面积。（14分）某商店销售一种进价为每件30元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足一次函数关系：(y=-2x+160)（(30\leqx\leq60)）。（1）设该商店每天的销售利润为(w)元，求(w)与(x)之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）若该商店每天的销售利润不低于800元，求销售单价(x)的取值范围。（15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线(y=ax^2+bx+c)经过点(A(-1,0))，(B(3,0))，(C(0,3))，点(P)是抛物线上一动点，过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，交直线(BC)于点(E)。（1）求抛物线的解析式；（2）当点(P)在直线(BC)上方时，连接(PC)，(PB)，求(\trianglePBC)面积的最大值；（3）是否存在点(P)，使得以点(P)，(D)，(E)为顶点的三角形与(\triangleBOC)相似？若存在，求出点(P)的坐标；若不存在，请说明理由。（15分）已知(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=90^\circ)，点(D)为(BC)延长线上一点，连接(AD)，将线段(AD)绕点(A)顺时针旋转(90^\circ)得到线段(AE)，连接(CE)。（1）求证：(\triangleABD\cong\triangleACE)；（2）若(BC=2CD)，求(\tan\angleAEC)的值；（3）在（2）的条件下，若(AB=2\sqrt{2})，求(DE)的长。参考答案及评分标准一、选择题B2.B3.C4.C5.A6.A7.B8.B9.A10.A二、填空题11.(x(x-2)^2)12.613.(2\sqrt{10})14.(\frac{2\pi}{3})15.(\frac{11}{15})16.(1^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n+1}n^2=(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2})三、解答题17.（1）原式(=3\sqrt{2}-2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+1+2=3\sqrt{2}-\sqrt{2}+3=2\sqrt{2}+3)（6分）（2）原式(=\left[\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}+\frac{2-x}{x+2}\right]\times\frac{x-2}{x}=\left[\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}\right]\times\frac{x-2}{x}=\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}\times\frac{x-2}{x}=\frac{8x}{(x-2)(x+2)}\times\frac{x-2}{x}=\frac{8}{x+2})。当(x=\sqrt{3}-2)时，原式(=\frac{8}{\sqrt{3}-2+2}=\frac{8\sqrt{3}}{3})（6分）（1）证明：∵四边形(ABCD)是平行四边形，∴(AD\parallelBC)，(AD=BC)。∵(E)，(F)分别为(AD)，(BC)中点，∴(DE=\frac{1}{2}AD)，(BF=\frac{1}{2}BC)，∴(DE=BF)，且(DE\parallelBF)，∴四边形(BEDF)是平行四边形（7分）（2）过点(E)作(EH\perpBC)于(H)，∵(\angleA=60^\circ)，(AB=2)，(AD=4)，∴(AE=2)，(\triangleABE)为等边三角形，(BE=2)。∵四边形(BEDF)是平行四边形，∴(BO=OE=1)，(OF=OD)。又∵(EH=AB\cdot\sin60^\circ=\sqrt{3})，∴(S_{\triangleBOF}=\frac{1}{2}S_{\triangleBEF}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\timesBF\timesEH=\frac{1}{4}\times2\times\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2})（7分）（1）(w=(x-30)y=(x-30)(-2x+160)=-2x^2+220x-4800)（4分）（2）(w=-2(x-55)^2+1250)，∵(-2<0)，∴当(x=55)时，(w_{\text{max}}=1250)元（5分）（3）令(w=800)，则(-2x^2+220x-4800=800)，解得(x_1=40)，(x_2=70)（舍），结合函数图像，(40\leqx\leq60)（5分）（1）设抛物线解析式为(y=a(x+1)(x-3))，代入(C(0,3))得(a=-1)，∴(y=-x^2+2x+3)（4分）（2）直线(BC)：(y=-x+3)，设(P(t,-t^2+2t+3))，则(E(t,-t+3))，(PE=-t^2+3t)，(S_{\trianglePBC}=\frac{1}{2}\timesPE\times3=\frac{3}{2}(-t^2+3t)=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8})，当(t=\frac{3}{2})时，面积最大值为(\frac{27}{8})（5分）（3）存在。(\triangleBOC)为等腰直角三角形，分两种情况：①(PD=DE)，则(-t^2+2t+3=|-t+3|)，解得(t=0)（舍）或(t=1)或(t=2)，对应(P(1,4))，((2,3))；②(PD=2DE)或(DE=2PD)，解得(t=\frac{1}{2})或(t=\frac{3}{2})，对应(P(\frac{1}{2},\frac{15}{4}))，((\frac{3}{2},\frac{15}{4}))（6分）（1）证明：∵(AD)旋转(90^\circ)得(AE)，∴(AD=AE)，(\angleDAE=90^\circ=\angleBAC)，∴(\angleBAD=\angleCAE)，又(AB=AC)，∴(\triangleABD\cong\triangleACE)（SAS）（5分）（2）设(CD=k)，则(BC=2k)，(AB=AC=\sqrt{2}k)，(B