2.7 探索勾股定理（第1课时）（解析版）分层作业-浙教版(2024)八上

2.7探索勾股定理（第一课时）题型一：利用勾股定理直接求解1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在中，，，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了直角三角形角的性质以及勾股定理，熟知直角三角形所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，在中，，，，根据勾股定理得：，即，解得：，故选：A．2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题考查了勾股定理．直接根据勾股定理计算即可．【详解】解：∵在中，，，∴，故选：D3．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作于E，先利用勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的长．【详解】解：如图所示，过点D作于E，在中，，由勾股定理得，∵是的角平分线，，，∴，∴D到的距离为3，故选：B．4．（2025·安徽滁州·三模）如图，在中，，，点D在的延长线上，且，连接，E为中点，则的长是（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先勾股定理求出，，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．【详解】∵中，，，∴∵∴∵E为中点∴．故选：B．5．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）在中，有两条边的长分别为1，2，则斜边的长为（

）A．2或 B．2或 C． D．【答案】A【分析】本题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．分2是直角边、2是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．【详解】解：当2是直角边时，斜边，当2是斜边时，直角边，∴斜边长为2或．故选：A．6．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（

）

A．5 B．10 C． D．【答案】A【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质．先根据勾股定理求出，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解．【详解】解：∵在中，，，∴，∵点是的中点，∴．故选：A．7．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，，若，则长度为（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形，在中，根据，求出的长、的长，在中，由得到，于是得到结论．【详解】解：过A作于D，在中，，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故选：C．题型二：利用勾股定理列方程求解1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．设长为x，则，根据垂直平分，得，再由的周长为14，可得，求出，，由勾股定理，即可解答．【详解】解：设长为x，则，∵垂直平分，∴，∵，∴．即，∴，解得，∴，∵∴．故选C．2．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在中，，，，点O是的中点，连接，则的长为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，利用平方根解方程，直角三角形的性质．设，则，根据勾股定理列出方程求出x的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可．【详解】解：在中，，，设，则，∵，∴，解得：（负值舍去），，∵点O是的中点，∴，故选：C．3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的高线，D为边上一点，且，若，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了勾股定理、等角对等边等知识．求出，得到，则，设，根据即可求出答案．【详解】解：∵是高，，，∴，∴，∵，∴∴∴∴设，则，∵∴解得即故选：C.4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（

）A．6 B．12 C．8 D．16【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，折叠，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．根据题意和勾股定理得，根据折叠的性质得，，，即，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，即，进行计算得，即可得．【详解】解：∵在中，，，，∴，∵将沿折叠，使点C落在边的点，∴，，，∴，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，即，∴，解得，∴的面积为：，故选：A．5．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点在边上且，，连接，将沿进行折叠，点的对应点为点，点是的中点，连接，当时，．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，延长至，使得，延长交于点，则有，由折叠性质可知，，，，设，则，故有，根据直角三角形性质可得，所以，则，从而可得，设，则，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，延长至，使得，延长交于点，∵，∴，∵，∴，∴，，由折叠性质可知，，∴，，设，则，∴，∵，∴，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，，由勾股定理得：，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴，故答案为：．6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为【答案】6【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面积公式进行计算即可．【详解】解：∵将长方形折叠，使点与点重合，∴，设，则：，在中，由题意，得：，则：，解得：，∴，∴的面积为；故答案为：6．7．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，、边上的中线、相交于点，已知，，则的长为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义，根据题意设，则，在中勾股定理得出，即可求解．【详解】解：设，则在中，∴∴在中，∴故答案为：．题型三：勾股定理与无理数的综合1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，．以点O为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上的无理数，先根据勾股定理求出，再根据得出答案．【详解】解：根据勾股定理，得，即，解得，根据题意，得，所以点P所表示的数是，故选：C．2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，则的面积为（）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长．根据勾股定理求出的长，再由进而求出的长，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：点的坐标分别为，，，，，则的面积为；故选：C．3．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由题意可得，由勾股定理可得，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由题意可得：，∴，∵点表示实数，∴点对应的实数是，故选：B．4．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（

）A．1.5 B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，然后根据勾股定理求出长，结合A点所表示的数及间距离可得点所表示的数．【详解】解：∵正方形的面积为，且，∴，∴，∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧，∴点E表示的数为．故选：D．5．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是．【答案】/【分析】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长．求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可．【详解】解：∵，，∴，∴在中，由勾股定理得，∴，∴，∴点C的横坐标是，故答案为：．6．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的实数是．【答案】【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理得出，因为以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点A，所以，即可作答．【详解】解：∵在中，，，∴依题意，∵点A在负半轴，∴点A表示的实数是，故答案为：．7．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线平分，与相交于点，且．若，则的长为．【答案】【分析】如图，过点作于点，过点作于点，求出，勾股定理求出，然后证明出，得到，设，然后根据勾股定理求解即可．【详解】如图，过点作于点，过点作于点．∵，∴，∴由勾股定理得∵对角线平分，∴∵，∴又∵∴设．由勾股定理得．为的中点，．，即．解得．代入，得．故答案为：．题型四：利用勾股定理求面积1．（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答．【详解】解：∵在中，，，，∴，∵是边上的高，∴解得，故选：B2．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，平分，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，延长与交于点E，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．【详解】如图所示，延长与交于点E，∵∴∵平分∴∵∴∴∵∴∴是等边三角形∴，∴∵∴∴∴的面积．故选：C．3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在四边形中，，，且，，则四边形的面积是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．连接，根据四边形的面积三角形的面积+三角形的面积求解即可．【详解】如图，连接，又∵，由勾股定理得，，∴四边形的面积．故选：B．4．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是．【答案】2.4【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．延长交于点，过作于点，先由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，进而得，则，然后根据得，由此即可得出答案．【详解】解：延长交于点，过点作于点，如图所示：在中，，，，∴，由三角形的面积公式得：，，是的角平分线，，，，在和中，，，，，，，，，故答案为：．5．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为．【答案】/【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答．【详解】解：连接，，设与相交于O，根据作图过程，得，，∴垂直平分，则，，∵在中，，，，∴，由得，∴，故答案为：．6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则的长为．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积.连接，根据已知和等腰三角形的性质得出和，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接，∵，D为的中点，，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，∴，故答案为：．7．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，中，，点是边上一点，连接．若，且，则线段的长为．【答案】/【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，作于点E，利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用面解法求出，由勾股定理得，把①代入②即可求出的长．【详解】解：作于点E，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得．故答案为：．题型五：已知两点坐标求两点距离1．（24-25七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】本题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离公式．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用勾股定理直接计算即可．【分析】解：点到原点的距离为：，故选：D．2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据平面直角坐标系中两点间距离的计算，应用勾股定理求解即可.【详解】解：根据两点间距离公式，点与点的距离为：；因此，线段的长度为5，故选：C3．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，，，是坐标原点，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握这些性质与定理是解题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理判断出，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：连接，∵，∴，又，，∴，，∴，∴，故选：B．4．（2025·山东·二模）已知直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，连接原点与顶点，则下列线段中长度最长的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了坐标系中求两点距离，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴∴最长的线段是，故选：D．5．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，当线段最短时，的值为．【答案】4【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，则这两点间的距离为．先利用两点间的距离公式得到，再利用非负数的性质得到时，的最小值为16，从而得到的最小值．【详解】解：∵，∴，∵，∴当时，的最小值为16，∴的最小值为，即最小值为4．故答案为：4．6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则（填“>”“=”或“<”）．【答案】＝【分析】连接，判断和是等腰直角三角形，即可得到．本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识．【详解】解：连接，如图∵点，点，点，点，点，由勾股定理与网格问题，则，，∴△ABC是等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴△ADE是等腰直角三角形；∴；故答案为：=．7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是平面直角坐标系中的两点，P是线段垂直平分线上的点，如果点P与点的距离等于，则点P的坐标为．【答案】【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及平面直角坐标系的两点间距离，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直平分线得出，则，整理得，因为点P与点的距离等于，所以，再解方程，即可作答．【详解】解：设，∵P是线段垂直平分线上的点，∴，∵，，即，∴，∵点P与点的距离等于，∴，把代入，，解得则，∴点P的坐标为，故答案为：．8．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有点、，点C在y轴上，如果，那么点C的坐标是．【答案】【分析】本题考查了两点间的距离公式，设，则，根据列出方程求解即可．【详解】解：设，∴，∵，∴，解得：，∴点C的坐标是，故答案为：．题型六：判断能否组成勾股数1．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13【答案】D【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可．【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义．B．，不满足勾股定理．C．，不满足勾股定理．D．，满足勾股定理且均为正整数．故选：D．2．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下列各组数构成勾股数的是（

）．A．，， B．1.5，2，2.5 C．6，8，12 D．9，40，41【答案】D【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义逐项判断即可．【详解】A、，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误；B、1.5，2.5为小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误；C.6，8，12为整数，但，不满足勾股定理条件，选项错误；D.9，40，41为整数，且，符合勾股数定义，选项正确；故选：D．3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，2，3 B．4，5，C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9【答案】C【分析】本题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数且满足两数的平方和等于第三个数的平方），逐一验证各选项即可．【详解】解：A1，2，3：均为正整数，但最大数3的平方为9，而，不满足勾股定理．B．4，5，：不是正整数，不符合勾股数必须为整数的条件．C．7，24，25：均为正整数．验证平方和：，，满足勾股定理．D．0.6，0.8，0.9：均为小数而非正整数，直接排除．故选：C4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（

）A．25 B．26 C．27 D．28【答案】B【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论．【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），则另一条直角边，弦．则弦为，故选：B．5．（24-25八年级下·重庆南川·期末）下列四组数中，不是勾股数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．【详解】解：、，故这是一组勾股数，不符合题意；、，故这是一组勾股数，不符合题意；、，故这是一组勾股数，不符合题意；、，故这不是一组勾股数，符合题意；故选：．6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察下列勾股数的规律：第1组：，其中；第2组：，其中；第3组：，其中；第4组：，其中；……则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．观察各组勾股数的规律，发现每组第一个数为奇数，第二个数与第一个数存在特定关系，进而推导斜边的表达式．【详解】解：第1组到第4组的第一个数依次为3，5，7，9，均为奇数且公差为2，故第组的第一个数为．第二个数依次为4，12，24，40，可表示为，展开后为．∴斜边为前两个数的平方和的平方根，即：，∴∴∴斜边，故选：B．7．（24-25七年级上·山东烟台·期中）以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义，需满足三个正整数且能构成直角三角形．对各选项逐一验证是否满足勾股定理及是否为整数．【详解】A．，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数，故符合题意；B．，虽满足勾股定理，但含小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，不符合题意；C．，不满足勾股定理，故错误，不符合题意；D．，不满足勾股定理，且非正整数，故错误，不符合题意．综上，只有选项A符合条件．故选A．8．（24-25八年级下·广西贵港·期中）下列各组数是勾股数的是（

）A． B．1，，C．16，12，20 D．8，15，19【答案】C【分析】本题考查了勾股数，满足两直角边的平方和等于斜边的平方的三个正整数是勾股数，据此判断即可．【详解】解：显然选项A、B中的三个数非正整数，不符合题意；∵，且三个数都是正整数，∴它们是勾股数；∵，∴它们不是勾股数；故选：C．题型七：以直角三角形三边为边长图形的面积1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】A【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解．【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、．∴，，．∵是直角三角形，，∴．∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，∴；；．∴．故选：A．2．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（

）A．6 B．5 C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案；【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，即，∵，∴，∴阴影部分的面积为，∴阴影部分的面积为，故选C．3．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可．【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示：∴由勾股定理可得：，，，∴，∴图中阴影正方形的面积之和为；故选：B．4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据阴影部分的面积等于，结合勾股定理得出，即可求解．【详解】解：∵以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．∴又∵，∴，故选：C．5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用．根据圆的面积公式及勾股定理得出，进而即可求解．【详解】解：∵在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，∴在中，，∴，即，，故选：B．6．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为．【答案】【分析】本题考查勾股定理的几何背景，结合图形，由勾股定理及正方形面积关系得到，，即可确定答案．数形结合，掌握勾股定理与直角三角形三边所作正方形面积的关系是解决问题的关键．【详解】解：如图所示：由勾股定理可知，，，，，，，故答案为：．7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，算术平方根，由题意可知：，，代入计算正方形的面积，然后利用算术平方根即可求解，熟练勾股定理的应用是解题的关键．【详解】解：由题意可知：，，∵正方形、、的面积依次为，，，∴，∴正方形的边长为，故答案为：．8．（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为．【答案】2026【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算．【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为；第二代勾股树中所有正方形的面积为；第三代勾股树中所有正方形的面积为……，则第代勾股树中所有正方形的面积为，∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为．故答案为：2026．9．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是．【答案】16【分析】本题考查勾股定理定理，根据正方形的边长相等，等腰直角三角形的直角边相等，结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：由题意，可知，③号正方形的边长为1，由勾股定理，得：4号正方形的面积为：，②号正方形的面积为：，5号正方形的面积为：，①号正方形的面积为：；故答案为：16．10．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则．【答案】【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理可得，再由，即可求解．【详解】解：在中，，，∴，∴．故答案为：题型八：勾股定理与网格问题1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（

）A． B． C． D．，【答案】A【分析】本题考查了勾股定理、无理数，在网格图中作线段，根据每个小正方形的边长为，可得：，，，，利用勾股定理求出，，由网格图可知，根据无理数的定义可知无理数是．【详解】解：如下图所示，在网格图中作线段，则，，，，在中，，在中，，，，，的三边，，中无理数是．故选：A．2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的大小比较．根据勾股定理分别求出三边的大小，再比较，即可．【详解】解：，∵，∴．故选：A3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．点到直线的距离是【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．【详解】解：A、，故本选不符合题意；B、∵，，∴，∴是直角三角形，∴，故本选不符合题意；C、，故本选符合题意；D、点A到直线的距离，故本选不符合题意；故选：C．4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键．如图，连接，利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：如图，连接，则，∵，，∴在中，由勾股定理得：，∴，故选：B．5．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．根据勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割补法求出，结合选项即可得出答案．【详解】解：，，，，，．结合选项可得，A、B、C选项结论正确，D选项结论不正确．故选：D．6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，进而利用三角形的面积解答即可求解，正确识图是解题的关键．【详解】解：由勾股定理得，，∵，∴，∴，故选：．7．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．【详解】解：根据勾股定理可得：，，，即，是等腰直角三角形．．故选：A．8．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（

）A． B．` C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．首先得到，根据勾股定理求出，进而求解即可．【详解】如图所示，由题意得，∴∴．故选：A．题型九：勾股定理中折叠问题1．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键．先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长．【详解】在中，，，，，由翻折的性质知，，．故选：B．2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（）

A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解．【详解】解：点是边的中点，，由翻折的性质得，，设，则，在中，，，解得：，．故选：A．3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∵折叠，∴，∴，，设，则，由勾股定理，得：，解得：；∴；故选：D．4．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵在中，，，，∴，由折叠的性质可得，，，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故选：B．5．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，若设长方形纸的宽为，则长方形纸的面积为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．由最后一个图可知即为长方形纸的长，由折叠的性质知，由勾股定理得，计算即可．【详解】如图，由最后一个图可知即为长方形纸的长，由折叠可知，∴∴长方形纸的面积为，故选：A．6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案．【详解】解：点D为的中点，，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，，解得：，，故选：D．7．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则．【答案】【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解．【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形，，第二次折叠，得出，，故答案为：．8．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于．【答案】3【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．【详解】解∶∵，，，∴，∵折叠，∴，，，∴，，∴，即，解得，故答案为：3．题型十：以弦图为背景的勾股定理1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案．【详解】解：根据题意得，，，∵，，设，则，．故选：B．2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（

）

A．11 B．12 C．9 D．10【答案】C【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积．【详解】解：，故选：C．3．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（

）A．8 B．13 C．15 D．15.5【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中得到应用，熟练掌握勾股定理和完全平方公式是解题关键．设直角三角形的两条直角边长分别为m，，则大正方形的面积为，由小正方形的面积可得，再结合，利用完全平方公式的结构特征求出的值，即可得解．【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为m，．大正方形的边长直角三角形的斜边长，大正方形的面积为，小正方形面积为5，，，，，，即大正方形面积为，故选：B．4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】C【分析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解题的关键．【详解】解：设的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：，由题意，得：，，，，，，即，，故选：C．5．（24-25八年级下·江西上饶·期末）第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为．【答案】34【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，据此计算即可得解．【详解】解：由题意得，，设，则，∵，∴，解得，∴，，∵为直角三角形，∴，∴大正方形的面积为34，故答案为：34．6．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为．

【答案】5【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形，全等三角形的性质得到，，在中由勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形，∴，，∴，在中，，故答案为：5．7．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则正方形的面积为．【答案】4【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点．运用勾股定理，进而得到，最后求小正方形的面积即可．【详解】解：∵，，∴，由题意得，∴，∴中间小正方形的面积为．故答案为：4．8．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为．【答案】7【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可．【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边，∴另一条直角边为，∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，∴小正方形的面积为：，∴小正方形的边长为7，故答案为：7．题型十一：勾股定理综合应用1．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且．(1)连接，求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据垂直平分线的性质得出，结合得出即可证明；（2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：边的垂直平分线为，∴，，在中，，；（2）解：设，则，在中，，即，解得：，即．2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点D在边上，，．(1)猜想的度数，并说明理由；(2)若，求的面积．【答案】(1)；理由见解析(2)68【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键．（1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果；（2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可．【详解】（1）解：，理由如下：，，，，，；（2）在中，由勾股定理得，，．3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点、分别为、上的点，连接、．(1)若，平分，，，求的长度；(2)若，垂直平分，连接，求证：是等边三角形．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质与判定．（1）先证明得，，，再由勾股定理求出，设，则，在中，，可得关于x的方程，解方程即可；（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在中，，，，∴，设，则，在中，，∴，解得，即；（2）证明：在中，，，∴，，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴是等边三角形．4．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，．(1)求证：；(2)求四边形面积．【答案】(1)见解析(2)36【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．（1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证；（2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴．∵，，∴，∴是直角三角形，．（2）解：∵是直角三角形，且，∴；∵在中，，∴．∴．5．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，．(1)求证：；(2)求三角形花园的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．（1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到；（2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的长，进而得到长，然后即可算出面积．【详解】（1）解：∵∴，∴，∴是直角三角形，且，∴；（2）解：设，则，∵，∴，∴，解得：，即的长为，∴，∴三角形花园的面积为．6．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，，连接．求四边形的面积．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理，四边形的面积以及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．直接根据勾股定理求出的长，在中，由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状，再根据三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：，，，，（负值已舍）；在中，，，，，，，是直角三角形，且，四边形的面积．6．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）根据以下信息，判断三角形的形状．(1)三角形的三边长，，满足，判断此三角形的形状．(2)如图，在中，于点，，，，判断的形状．【答案】(1)等腰三角形(2)直角三角形【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用、勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题关键．（1）先利用因式分解可得，再根据可得，由此即可得；（2）先利用勾股定理可得，，则可得，再利用勾股定理的逆定理即可得．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∵是三角形的三边长，∴，∴，∴，即，∴此三角形是等腰三角形．（2）解：∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是直角三角形．7．（24-25八年级下·广西钦州·期末）实践与操作：如图，在中，．(1)作的垂直平分线，交于点，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接，若，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理．（1）根据垂直平分线的作图步骤作出图形即可；（2）在中，利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质求解即可．【详解】（1）解：如图，点P为所作；；（2）解：∵，，在中，，∵的垂直平分线，∴．8．（2025·四川南充·三模）如图，在中，高与高交于点，．(1)求证：；(2)若，，求和的长度．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是熟练掌握垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．（1）由垂直得到，进而得到，证明，即可得到；（2）根据勾股定理得到，根据等面积法计算即可．【详解】（1）证明：，，．，．．在和中，．；（2）解：在中，，，．9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，与均为等边三角形，，，连接，延长交于点．(1)求的度数；(2)求证：．【答案】(1)；(2)见解析【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键：（1）根据等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进而得出答案；（2）过点作于点，过点作，交的延长线于点设，则，，根据勾股定理得出，求出．得出，进而得出结论．【详解】（1）解：与均为等边三角形，，，，，，，，；（2）证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点设，则，，∴，，，，．，，，．题型十二：勾股定理的实际应用之梯子滑落问题1．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（

）A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键．先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，．【详解】解：∵在中，，∴，∵M是的中点，∵，M是的中点，∴中，．故选：C．2．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可．【详解】解：根据题意可知：，，，，在中，，∴，在中，，∴，故选：A3．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了米．（即求的长）．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求得的长，根据，即可求解．【详解】解：在中，，在中，∴米故答案为：．4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理求出杆的长度．根据勾股定理求出杆的长度，然后减去B距离O的距离即可得出答案．【详解】解：由题意得，即．当滑块向下滑到点时，滑块距点的距离是，故滑块滑动了．故答案为：5．（24-25八年级下·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高）【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米．【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论．【详解】解：在中，，，，，在中，，，，，．答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米．6．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米．(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？(2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？【答案】(1)米(2)米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．（1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案；（2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，米，米，，∴米，答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米；（2）解：由题意得，米，米，∴米，∴米，答：底端A在水平方向滑动了米．题型十三：勾股定理的实际应用之旗杆高度问题1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（

）A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米【答案】D【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，在中，由勾股定理求出，由求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米，在中，，则由勾股定理可得（米），米，故选：D．2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（

）A．10米 B．12米 C．13米 D．15米【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解．【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得：，解得，答：旗杆的高度为12米．故选：B．3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：活动项目测量风筝放飞的垂直高度测量示意图测量数据记录长度①测得水平距离的长为15米．②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．③小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8米．解决问题任务一如上图，求风筝离地面的垂直高度．任务二如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？【答案】任务一：米，任务二：8米．【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．（1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可；（2）风筝沿方向再上升12米，则，由勾股定理得，，则他应该再放出米线，计算求解即可．【详解】解：任务一：由勾股定理得，，∴（米），∴线段的长为米．任务二：风筝沿方向再上升12米，则，由勾股定理得，，∵，∴他应该再放出8米线．4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）．根据以上信息，解答下列问题(1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示）(2)求旗杆的值．【答案】(1)；(2)17米【分析】（1）根据题意列式表达即可．（2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米故绳长为米；根据题意，得到四边形是矩形，得到米，故米，故答案为：；．（2）解：在中，

即

解得：

答：旗杆的值为17米．5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）：①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离；②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线；③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度．(1)求风筝距离地面的高度的长；(2)嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：（1）根据勾股定理求出，再根据，即可求解；（2）根据勾股定理求出，由即可求解．【详解】（1）解：依题意，，∴在中，，，由勾股定理得，∵，∴四边形为矩形，∴∴∴风筝距离地面的高度的长为（2）如图，由题意可知：在中，由勾股定理得，（m）∴∴嘉嘉需往后退题型十四：勾股定理的实际应用之小鸟飞行问题1．（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解，掌握勾股定理是应用是解题的关键．【详解】解：如图，，，，∴，∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞，故选：．

2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞．【答案】13【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：，∴．即喜鹊至少要飞．故答案为：133．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】两棵树的高度差为米，间距为米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．故答案为：．4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？【答案】(1)米(2)米【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出；（2）由勾股定理求出的长，即可求解．【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），答：至少飞了米；（2）解：由勾股定理得：，，解得：，答：树折断处距离地面米．5．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度；(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明．【答案】(1)(2)不能成功，理由见解析【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．（1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解．【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，，在中，，∴；（2）解：不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则，∴，在中，，∵，余线仅剩，∴，∴不能上升，即不能成功．6．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．报告测量风筝的垂直高度．成员组长：组员：，，工具皮尺等示意图方案先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高．数据米，米，米，．(1)求此时风筝的垂直高度；(2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？【答案】(1)13.7米(2)还需放出风筝线14米【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．（1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解；（2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解．【详解】（1）解：由题意得：米，在中，由勾股定理得（米），所以（米）．（2）解：由题意得米，因为米，故米，在中，（米），所以（米），故还需放出风筝线14米．题型十五：勾股定理的实际应用之水杯中解决筷子问题1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可．【详解】解：当牙刷垂直放置时，；当牙刷如图所示放置时，，且，在中，，∴，∴h的取值范围为：，故选：D．2．（24-25八年级下·广东广州·期末）将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键．当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在中，，，，此时，所以的取值范围是：．故选：．3．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解．【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，，解得，，故铅笔的长为；故选：A．4．（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先求出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可．【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺，由勾股定理，得．故答案为：．5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为尺．【答案】【分析】本题主要考查勾股定理的运用，设水深尺，则尺，尺，根据勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值即为水深．【详解】解：设水深尺，则尺，尺，水池的边长为尺，尺，在中，，，解得：水深为尺．故答案为：．6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．【答案】芦苇的长度为13尺【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺），答：芦苇的长度为13尺．7．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？【答案】米．【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案．【详解】解：设为米，∵在中，，，，∴由勾股定理得：，即，解得：，∴湖水深为米．题型十六：勾股定理的实际应用之水杯中解决航海问题1．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点作交于，根据题意得，，海里，海里，，在中，根据勾股定理得，（海里），故此时与灯塔的距离为海里．故选：B．2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，根据题意，得，，，，

∵∴∴∴在中，即，两港之间的距离为．故选：C．3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距海里．【答案】10【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离．【详解】解：如图，

根据题意可知：，，∴（海里）．∴两轮船相距10海里．故答案为：10．4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】西北方向【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据路程速度时间，分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解．【详解】解：根据题意，得（海里），（海里），（海里），，即，．由“远航号”沿东北方向航行可知，，则，即“海天”号沿西北方向航行．5．（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西．(1)求甲巡逻艇的航行方向；(2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【答案】(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东(2)6.5海里【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键．（1）先用路程等于速度乘以时间计