高考数学专项研究：几何知识1

高考数学专项研究：几何知识（1）：立体几何第一节:三视图与直观图解:第一步画正视图四面体ABCD即为三视图的空间几何体，已知最长棱AD评:三线法的核心原理:“平面内的一个点在空间里是一条线,平面内的一条线在空间里是一个面”.三线法的具体做法:“先找到正视图的几个交点,依次在正方体(长方体)中引出线,按此步骤在侧视图与俯视图上重复,寻找三线的交点,将其交点连线即可”.三线法的两点注意:“①虚线与实线的交点也需要作出;②还原完几何体后需要验证,有些题目需要我们舍去点”.【例1:虚线亦画】网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为DA.64B.643C.16D.解:根据三视图知几何体为:三棱锥D−ABC、为棱长为4的正方体的一部分.直观图如图所示:由正方体的性质得CD⊥平面ABC,则该多面体的体积为V=综上所述,答案选择:D.注:俯视图没有虚线时,V【例2:需割一角】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16解:如图,设正方形的棱长为1则截取部分为三棱锥A−A1又正方体的体积为1,则剩余部分的体积为56,故所求比值为1【例3:弧线不能用】网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π法一:由题意,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,其体积V1V2=12×注:穿线法可以解决非弧线类问题,如果出现弧线类问题,可以依靠圆柱、圆锥、半圆柱、半圆锥求解.【例4】若一四面体的三视图(正视图、俯视图、侧视图)都是底边为2、高为2的等腰三角形，则该几何体的表面积是___.解:三棱锥P−ABC的底面ABC是底边为2、高为2的等腰三角形;正侧面高为5的等腰三角形;其余两个侧面都是底边为5、高为215体表面积是S【例5】（全国卷）以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤或③④.图(i)图②图(3)图④图(6)解:观察正视图,推出三棱锥的长为2和高1,②③图形的高也为1,即可能为该三棱锥的侧视图,④⑤图形的长为2,即可能为该三锥棱的俯视图,当②为侧视图时,结合侧视图中的直线,可以确定该三棱椎的俯视图为⑤,当③为侧视图时,结合侧视图虚线,虚线所在的位置有立体图形的轮廓线,可以确定该三棱的俯视图为④.故答案为:②⑤或③④二、斜二测画法与直观图1.斜二测画法①∠x′②平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段变成原来的一半2.斜二测画法面积与原来图形面积之比:斜二测画法面积=2一、平行与垂直定理【几何法证明平行】1.线面平行:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行a性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a2.面面平行:一个平面内的两条相交直线与另一个平面(内两条交线)平行,则这两个平面平行a⊂α,b性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行α//β【几何法证明垂直】1.线面垂直:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直l⊥m性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。a⊥α重要推论:一条直线与一个平面垂直,这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。(重要:这是证明线线垂直的重要定理)2.面面垂直:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直l性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α【向量法证明平行与垂直】（1）设两不同直线l1,l2的方向向量分别为a1.线线平行:a//b⇔l1//2.线线垂直:a⊥b⇔l（2）若a=1.证明平行:存在实数使得a=λb,则2.证明垂直:数量积相乘得a⋅b=0(一)几何法证平行【经典例题一:中位线证平行】如图,四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥面ABCD,E为PD解:设BD与AC的交点为O,连结EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点又E为PD的中点,所以EO//EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以【经典例题二:构造平行四边形】如图,四棱锥P−ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=解:取PA的中点F,连结EF,BF.因为E是所以EF//AD,EF=又BC=12AD,所以EF//又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故定理应用:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.a方法指导:证明平行的两种最常见方法为“寻找三角形中位线”和“构造平行四边形”.【定理应用一:线面平行判定定理】如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA=PC=3,解:因为底面ABCD是平行四边形,所以CD//又CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∵平面PAB∩平面PCD=l,而CD⊂平面PCD,线面平行判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.a//b【定理应用二:线面平行性质定理】已知四棱雉S−ABCD如图所示,其中△SAB,△SBC均为等边三角形,二面角A−BS−C为直二面角,点M为线段BC的中点,点N是线段SD解:因为BC//平面SAD,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩所以BC//AD;因为△SBC为等边三角形,且BM=线面平行性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号语言:a//α,【定理应用三:面面平行性质定理】（成都一诊）四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的正方形,点E是棱PD上一点,PE=3ED,若PF=λPC解:如图,连解BD,交AC于点O,连接OE,在线段PE取一点G使得GE=连接BG,则BG//OE,又因为OE⊆平面AEC,BG⊄平面AEC,所以BG//平面AEC,因为BF//平面因为平面PCD∩平面BGF=GF,平面PCD∩平面所以PFPC=PG面面平行性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行α//β关于面面平行判断定理的说明:此类题目难度不大,本质上是找线线平行或者线面平行,故题目在此处不在列出面面平行判定定理一:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行a⊂α,b面面平行判定定理二:一个平面内的两条相交直线与另一个平面内两条交线平行,则这两个平面平行(二)几何法证垂直证明思路:无论是证明线线垂直、线面垂直,还是面面垂直,我们均先证线a面A垂直,如需证线a线b垂直,即写该线b属于该面A,所以线a线b垂直;如需证面A面B垂直,即写该线a属于该面B,所以面面垂直。证明线面垂直的前提是:找出一条线与一组交线垂直。步骤细化：第一步判断类型：三个类型为线线垂直、线面垂直、面面垂直第二步找出线面：线线垂直、线面垂直前提条件为都需要证明线面垂直第三步目标清晰：线面垂直的基础为证明线线垂直第四步三种思路：线线垂直证法.①代数型：算出来；②几何型：证出来；③题中给。【经典例题一:线面垂直】如图,在三棱锥P−ABC中,AB=BC=22解:因为AP=CP=AC=4,O为连结OB.因为AB=BC=且OB⊥AC,OB=由OP⊥OB,OP⊥【经典例题二:线线垂直】如图,三棱柱ABC−A1B1C1中,侧面BB1C1解:连接BC1,则O为B1C与BC又AO⊥平面BB1C1C,所以由于AB⊂平面ABO,故B【经典例题三:面面垂直】如图,边长为2的正方形ABCD所在