2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市西四旗高二上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以抛物线方程为，，因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为.故选：D.2.已知数列的前n项和，则（）A.9 B.12 C.15 D.27【答案】C【解析】.故选：C.3.已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据已知条件，：，化为：，：，化为：，因两圆相交，所以两圆方程相减得：，所以直线的方程为：.故选：A.4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令和的夹角为，则，则向量在向量上的投影向量为.故选：C.5.“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢，故比赛6场后甲赢得比赛概率为：.故选：B.6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，，因为点为在第一象限上的一点，所以，则，又为直角三角形，所以不可能为，若，则，即，可得，无解，此时不存在，所以，即，所以，即，所以，.故选：C.7.过作与圆相切的两条直线，切点分别为，且，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】圆化为标准方程，则圆心，半径，由题意知，解得，负值舍去，在中，，且，所以，解得故选：A.8.已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由可得：，则，，故数列为递增数列，又，，故使得成立的正整数n的最大值为21.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（）A.平行于轴的两条直线B.单位圆C.焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的椭圆【答案】BC【解析】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误；对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确；对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；对于D，当，且时，则，所以，因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误.故选：BC.10.如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（）A.平面 B.平面C. D.P，G，E，F四点共面【答案】ABD【解析】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，则，，，，设平面的法向量，则，令，得，对于A，，且平面，则平面，A正确；对于B，，平面，则平面，B正确；对于C，，，，，则，C错误；对于D，由，得，即，则，，即，因此，即四点共面，D正确.故选：ABD.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（）A.的最小值为8B.存在点，使得C.点，的纵坐标之积为定值D.【答案】ACD【解析】由题意，双曲线，可得，，则，所以焦点，，设Px0,y0，则，且，即，由，故A正确；假设存在点，设Px0,y0，则，且，即所以，所以不存在点，使得，故B错误；显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由得，又直线与相切，所以，整理得，所以，即0，解得，即点的纵坐标为.不妨设直线与的交点为，与的交点为，由，解得，即点的纵坐标为，由，解得，即点的纵坐标为，则点，的纵坐标之积为，故C正确；因为，所以点是线段的中点，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线：，直线：，若，则_____.【答案】2【解析】由直线：与直线：平行，得，解得，所以.13.已知等差数列的前n项和为，若，，则_____.【答案】21【解析】依题意，成等差数列，而，，因此，解得.14.设，分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆【答案】【解析】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：，与椭圆：联立消去，得，设，则，因为，所以，可得，代入上式得，消去并化简整理得：，将代入化简得：，解得，因此，该双曲线的离心率.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是数列的前项和，若，是等差数列，.（1）求；（2）求数列的通项公式.解：（1）设等差数列的公差为，由，得，则，由，得，解得，所以.（2）由（1）知，，当时，，而满足上式，所以数列的通项公式.16.已知圆的圆心在直线上，且过点，.（1）求圆的标准方程；（2）已知点是圆上的一点，求的取值范围.解：（1）因为圆的圆心在直线上，可设，又圆过点，，所以，解得，所以，所以圆的半径，所以圆的标准方程为.（2）设，又点Px0,y所以直线与圆有公共点，所以，解得，即的取值范围是.17.在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：由平面平面，平面平面平面，，得平面，而平面，则，由，为的中点，得，又平面，所以平面.（2）解：过作直线，由平面，得平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，，得，，则，令，，由四边形是平行四边形，得，，设平面的法向量为，则，令，得，由（1）知平面的法向量，设平面与平面的夹角为，于是，整理得，而，解得，所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.18.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．（1）恰有两名同学拿对了书包；（2）至少有两名同学拿对了书包；（3）书包都拿错了．解：（1）设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24种情况．恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为，，，，，，故其概率为．（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为，，，，，，，故其概率为．（3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为，，，，，，，，，故其概率为．19.极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点Px0,y0（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）.（1）求极线的方程；（2）求证：；（3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.（1）解：由椭圆的长轴长为，则，解得，又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，所以，解得.所以椭圆的方程为.由题意可知，对于椭圆，极点对应的极线的方程为，即.（2）证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在，故设直线，，联立方程，消去得，，，即，所以，，则.又，所以，得证.（3）解：当中有横坐标为时，纵坐标为，则或，直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在.由（2）得，，又，所以，所以是和的交点.因为，所以，设，则，所以，直线的方程为，即，令得，所以恒过定点.内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以抛物线方程为，，因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为.故选：D.2.已知数列的前n项和，则（）A.9 B.12 C.15 D.27【答案】C【解析】.故选：C.3.已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据已知条件，：，化为：，：，化为：，因两圆相交，所以两圆方程相减得：，所以直线的方程为：.故选：A.4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令和的夹角为，则，则向量在向量上的投影向量为.故选：C.5.“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢，故比赛6场后甲赢得比赛概率为：.故选：B.6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，，因为点为在第一象限上的一点，所以，则，又为直角三角形，所以不可能为，若，则，即，可得，无解，此时不存在，所以，即，所以，即，所以，.故选：C.7.过作与圆相切的两条直线，切点分别为，且，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】圆化为标准方程，则圆心，半径，由题意知，解得，负值舍去，在中，，且，所以，解得故选：A.8.已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由可得：，则，，故数列为递增数列，又，，故使得成立的正整数n的最大值为21.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（）A.平行于轴的两条直线B.单位圆C.焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的椭圆【答案】BC【解析】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误；对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确；对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；对于D，当，且时，则，所以，因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误.故选：BC.10.如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（）A.平面 B.平面C. D.P，G，E，F四点共面【答案】ABD【解析】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，则，，，，设平面的法向量，则，令，得，对于A，，且平面，则平面，A正确；对于B，，平面，则平面，B正确；对于C，，，，，则，C错误；对于D，由，得，即，则，，即，因此，即四点共面，D正确.故选：ABD.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（）A.的最小值为8B.存在点，使得C.点，的纵坐标之积为定值D.【答案】ACD【解析】由题意，双曲线，可得，，则，所以焦点，，设Px0,y0，则，且，即，由，故A正确；假设存在点，设Px0,y0，则，且，即所以，所以不存在点，使得，故B错误；显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由得，又直线与相切，所以，整理得，所以，即0，解得，即点的纵坐标为.不妨设直线与的交点为，与的交点为，由，解得，即点的纵坐标为，由，解得，即点的纵坐标为，则点，的纵坐标之积为，故C正确；因为，所以点是线段的中点，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线：，直线：，若，则_____.【答案】2【解析】由直线：与直线：平行，得，解得，所以.13.已知等差数列的前n项和为，若，，则_____.【答案】21【解析】依题意，成等差数列，而，，因此，解得.14.设，分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆【答案】【解析】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：，与椭圆：联立消去，得，设，则，因为，所以，可得，代入上式得，消去并化简整理得：，将代入化简得：，解得，因此，该双曲线的离心率.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是数列的前项和，若，是等差数列，.（1）求；（2）求数列的通项公式.解：（1）设等差数列的公差为，由，得，则，由，得，解得，所以.（2）由（1）知，，当时，，而满足上式，所以数列的通项公式.16.已知圆的圆心在直线上，且过点，.（1）求圆的标准方程；（2）已知点是圆上的一点，求的取值范围.解：（1）因为圆的圆心在直线上，可设，又圆过点，，所以，解得，所以，所以圆的半径，所以圆的标准方程为.（2）设，又点Px0,y所以直线与圆有公共点，所以，解得，即的取值范围是.17.在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：由平面平面，平面平面平面，，得平面，而平面，则，由，为的中点，得，又平面，所以平面.（2）解：过作直线，由平面，得平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，，得，，则，令，，由四边形是平行四边形，得，，设平面的法向量为，则，令，得，由（1）知平面的法向量，设平面与平面的夹角为，于是，整理得，而，解得，所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.18.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．（1）恰有两名同学拿对了书包；（2）至少有两名同学拿对