湖南省湘潭市2025-2026学年高一上学期数学月考试卷（原卷及解析）

第1页/共1页湖南省湘潭市2025-2026学年高一上学期数学月考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（）A.2 B.3 C.4 D.84.若不等式，，则的取值范围是A. B. C. D.5.若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（）A. B.C. D.6.若，，，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.7.某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（）A.50 B.60 C.70 D.808.设，若不等式恒成立，则实数a取值范围是A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.“”是“”成立的充分不必要条件C.“”是“”的必要条件D.“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件10.若，则下列选项成立的是（）A. B.若，则C.的最小值为 D.若，则11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，若，则实数的取值范围为__________．13.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.14.已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）设，试比较与的大小；（2）已知，求证：．16.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍.（1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2025年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？17.已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.（1）若，求的值；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；（2）、是两个不同正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；（3）若为正整数，求：“完美集”19.问题：正实数a，b满足，求最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x，y满足，求的最小值；（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.

湖南省湘潭市2025-2026学年高一上学期数学月考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得，，可求.【详解】解得，解得，所以，所以.故选：B.2.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断选项.【详解】A.当，有，若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；C.若，则，则，故C正确；D.若，则，故D错误.故选：C3.设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】先解方程得集合A，再根据得，根据包含关系求实数，根据子集的定义确定实数a的取值组成的集合的子集的个数.详解】因为，所以，因此或或，当时，，当时，，当时，，实数a的取值组成的集合为，其子集有，，，，，，，，共8个，故选：D．4.若不等式，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：用变量替换，再得出解集详解：点睛：不等式只能线性运算,．5.若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合一元二次不等式的解集，用分别表示和，并判断的符号，然后求解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式的解集为，则，且和3是的两个根，所以，即，，故，解得或，从而关于x不等式的解集为.故选：C.6.若，，，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式串可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.【详解】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；对于选项B：，，∴B错误；对于选项C：，因为∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，∴，D正确；故选：D7.某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（）A.50 B.60 C.70 D.80【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，利用均值不等式进行求解即可.【详解】由题意知，则，，当且仅当即时，等号成立；所以当汽车的平均速度为公里/小时时，车流量最大.故选：B8.设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得恒成立，讨论，，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．【详解】恒成立，即为恒成立，当时，可得的最小值，由，当且仅当取得最小值8，即有，则；当时，可得的最大值，由，当且仅当取得最大值，即有，则，综上可得．故选．【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确是（）A.命题“”的否定是“”B.“”是“”成立的充分不必要条件C.“”是“”的必要条件D.“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】【分析】利用全称量词命题的否定可判定A，利用充分条件、必要条件的定义结合反例可判定B、C、D.【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误；对于B，由可知，满足充分性，而推不出，比如，不满足必要性，故B正确；对于C，由不能推出，故C错误；对于D，若，则方程判别式，有两个不等根，且，所以两个根异号，满足充分性，若方程有一正一负根，则需，解之得，满足必要性，故D正确.故选：BD10.若，则下列选项成立的是（）A. B.若，则C.的最小值为 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】A.利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断.【详解】A.因为，故正确；B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确；C.因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误；D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确；故选：ABD11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】结合所给新定义与集合交集、并集定义逐一分析选项即可得.【详解】对A：的元素是有序对，，，而的元素是有序对，，，故A错误；对B：的元素是有序对，，，，而的元素是有序对，，，，故B错误；对C：若，则，，若，则，若，则，则，即，即，故C错误；对D：若，则，，则且，则且，即，故；若，则且，则，且，故，则；故，故D正确.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】两集合的交集为空集，则两个集合没有公共部分，可以得到两个集合的端点的关系，从而解得实数的取值范围.【详解】当集合为时，，解得.当集合不为，即时，有如下两种情况：集合中的元素都比集合中元素小，，结合解得；集合中的元素都比集合中元素大，，结合解得.综上所述，的取值范围为或.故答案为.【点睛】本题考查利用集合的关系求参数的值，解题时也可借助数轴来分析.13.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.【答案】9【解析】【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故答案为：9.14.已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】依题意，，，解得，则，当且仅当，时等号成立所以，解得或，即的取值范围是.故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是说利用时，必须是正数，定是指定值，相等指的是等号成立的条件，三者缺一不可.另外，如果是负数，求的最值，可转化为，再结合基本不等式来进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）设，试比较与的大小；（2）已知，求证：．【答案】；证明见解析.【解析】【分析】（1）利用作差法分解因式判断大小即可；（2）利用分析法，分解因式证明即可.【详解】（1）易知，因为，所以，则上式大于0，故（2）由题意可知：，即，两侧同除，则，证毕.16.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍.（1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元.【解析】【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可；（2）利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题意知，当时，，则，解得，所以.因为每件产品的销售价格为元，所以2025年该产品的利润,即.【小问2详解】因为当时，.所以，当且仅当，即时，等号成立.故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元.17.已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.（1）若，求的值；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将分式不等式转化为二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数关系可得；（2）分别确定集合与，根据命题的充分必要性可的，进而可得的取值范围.小问1详解】由不等式得，即，由于其解集是，所以，是一元二次不等式的两个实数根，所以，解得；【小问2详解】由得，所以，若“”是“”的充分不必要条件，则，当时，，满足题意；当时，，所以，所以；当时，，成立；当时，，成立；当时，，成立；综上所述，实数的取值范围是.18.已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；（2）、是两个不同正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；（3）若为正整数，求：“完美集”【答案】（1）是，理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可；（2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；（3）设中，得到，分，，进行分类讨论.【小问1详解】由，，所以集合是“完美集”；【小问2详解】若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根与系数关系可知，相当于方程的两根，由于，解得或（舍），所以，又，均为正数，所以、至少有一个大于