2025年下学期高中数学符号运用试卷

2025年下学期高中数学符号运用试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合(A={x\midx^2-3x+2=0})，(B={x\midx\in\mathbb{N}^*\text{且}x<3})，则下列关系正确的是（）A.(A\subsetneqqB)B.(B\subsetneqqA)C.(A=B)D.(A\capB=\varnothing)2.命题(p:\forallx\in\mathbb{R},x^2+1>0)的否定是（）A.(\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+1\leq0)B.(\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+1<0)C.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+1\leq0)D.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+1<0)3.函数(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)})的定义域是（）A.((1,2])B.([1,2))C.((1,+\infty))D.([2,+\infty))4.已知向量(\vec{a}=(m,2))，(\vec{b}=(1,m+1))，若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(m=)（）A.(-\frac{2}{3})B.(\frac{2}{3})C.(-2)D.(2)5.复数(z=\frac{2i}{1-i})（(i)为虚数单位）的共轭复数(\overline{z})在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知数列({a_n})为等差数列，(S_n)为其前(n)项和，若(a_3+a_7=18)，则(S_9=)（）A.81B.72C.54D.457.函数(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和对称轴方程分别是（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）8.若(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)（）A.3B.(\frac{1}{3})C.-3D.(-\frac{1}{3})9.已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})则(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.210.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)11.已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)12.已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)处取得极大值，在(x=3)处取得极小值，则(a+b=)（）A.-15B.-13C.15D.13二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.二项式((x-\frac{2}{x})^6)的展开式中常数项是________（用数字作答）。14.若变量(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\leq4,\x-y\geq0,\y\geq1,\end{cases})则(z=2x+y)的最大值是________。15.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(a=2)，(b=\sqrt{3})，(A=\frac{\pi}{4})，则(\sinB=)________。16.已知函数(f(x)=x^2-2ax+a^2-1)，若关于(x)的不等式(f(f(x))<0)的解集为空集，则实数(a)的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知数列({a_n})是首项为1，公差为2的等差数列，数列({b_n})满足(b_1=1)，(b_{n+1}=2b_n+a_n)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）求数列({b_n})的前(n)项和(S_n)。18.（本小题满分12分）在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AD=2)，(AB=1)，(E)是(PD)的中点。（1）求证：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求直线(AC)与平面(PCD)所成角的正弦值。19.（本小题满分12分）某学校为了解学生的数学学习情况，从高二年级随机抽取100名学生进行数学成绩调查，将成绩（单位：分）分成([50,60))，([60,70))，([70,80))，([80,90))，([90,100])五组，得到如图所示的频率分布直方图。（1）求图中(a)的值；（2）估计这100名学生数学成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若从成绩在([50,60))和([90,100])的学生中随机抽取2人，求这2人成绩都在([90,100])的概率。20.（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左、右焦点分别为(F_1,F_2)，离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，过(F_1)的直线(l)与椭圆交于(A,B)两点，且(\triangleABF_2)的周长为(8\sqrt{2})。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设点(M(0,-1))，若直线(MA,MB)的斜率之和为2，求直线(l)的方程。21.（本小题满分12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(e)为自然对数的底数，(a\in\mathbb{R})）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若对任意(x\geq0)，都有(f(x)\geq\frac{1}{2}x^2)，求实数(a)的取值范围。22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系(xOy)中，曲线(C_1)的参数方程为(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha,\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)为参数），以坐标原点(O)为极点，(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(C_2)的极坐标方程为(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲线(C_1)的极坐标方程和曲线(C_2)的直角坐标方程；（2）设射线(\theta=\frac{\pi}{3})（(\rho\geq0)）与曲线(C_1,C_2)分别交于(A,B)两点（异于极点），求(|AB|)的值。参考答案及评分标准（部分）一、选择题C2.A3.A4.A5.C6.A7.A8.A9.A10.B11.A12.B二、填空题-16014.715.(\frac{\sqrt{6}}{4})16.((-\infty,0]\cup[2,+\infty))三、解答题（示例）17.解：（1）因为({a_n})是首项(a_1=1)，公差(d=2)的等差数列，所以(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1)。……（3分）（2）由(b_{n+1}=2b_n+a_n=2b_n+2n-1)，得(b_{n+1}+2(n+1)+1=2(b_n+2n+1))，令(c_n=b_n+2n+1)，则(c_{n+1}=2c_n)，且(c_1=b_1+2+1=4)，所以({c_n})是首项为4，公比为2的等比数列，故(c_n=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1})，因此(b_n=2^{n+1}-2n-1)，……（7分）所以(S_n=\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^n(2^{k+1}-2k-1)=\sum_{k=1}^n2^{k+1}-2\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n1)(=(2^{n+2}-4)-2\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n=2^{n+2}-n^2-2n-4)。……（10分）18.解：（1）取(PC)的中点(F)，连接(EF,BF)。因为(E,F)分别是(PD,PC)的中点，所以(EF\parallelCD)且(EF=\frac{1}{2}CD)。又因为四边形(ABCD)是矩形，所以(AB\parallelCD)且(AB=CD)，因此(EF\parallelAB)且(EF=AB)，故四边形(ABFE)是平行四边形，所以(AE\parallelBF)。因为(AE\not\subset)平面(PBC)，(BF\subset)平面(PBC)，所以(AE\parallel)平面(PBC)。……（6分）（2）以(A)为原点，(AB,AD,AP)所在直线分别为(x,y,z)轴建立空间直角坐标系，则(A(0,0,0))，(C(1,2,0))，(P(0,0,2))，(D(0,2,0))，(\vec{AC}=(1,2,0))，(\vec{PC}=(1,2,-2))，(\vec{PD}=(0,2,-2))。设平面(PCD)的法向量为(\vec{n}=(x,y,z))，则(\begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{PC}=0,\\vec{n}\cdot\vec{PD}=0,\end{cases})即(\begin{cases}x+2y-2z=0,\2y-2z=0,\end{cases})令(z=1)，得(y=1)，(x=0)，所以(\vec{n}=(0,1,1))。设直线(AC)与平面(PCD)所成角为(\theta)，则(\sin\theta=|\co