第3章 实数（单元重点综合测试）（教师版）

第3章实数（单元重点综合测试）（考试时间：120分钟；满分：120分）姓名___________班级_________考号_______________________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023秋•东阳市期中）的算术平方根是（）A． B．﹣ C． D．±【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：＝的算术平方根是：．故选：C．2．（3分）（2023秋•萧山区期中）下列说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②1的平方根是它本身；③立方根是它本身的数是0，1；④对于任意一个实数a，都可以用表示它的倒数；⑤任何无理数都是无限不循环小数．正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据实数与数轴的关系，平方根及立方根的定义，倒数的定义，无理数的定义进行判断即可．【解答】解：实数与数轴上的点一一对应，则①错误；1的平方根是±1，则②错误；立方根是它本身的数是0和±1，则③错误；当a＝0时，它没有倒数，则④错误；无理数即无限不循环小数，则⑤正确；综上，正确的有1个，故选：B．3．（3分）（2023秋•江干区校级期中）若，则m的值所在的范围是（）A．6＜m＜7 B．7＜m＜8 C．8＜m＜9 D．9＜m＜10【分析】根据进而可求解．【解答】解：∵，∴，故选：B．4．（3分）（2023秋•余姚市期中）已知，则的值是（）A． B． C． D．【分析】先根据非负数的性质求出m、n的值，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴m﹣4＝0，n+9＝0，解得m＝4，n＝﹣9，∴＝＝﹣．故选：B．5．（3分）（2023春•玉环市校级期中）﹣π，﹣3，，的大小顺序是（）A． B． C． D．【分析】根据实数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵﹣π≈﹣3.14＜﹣3，∴﹣π＜﹣3＜0，∵＞，∴﹣π＜﹣3＜＜．故选：B．6．（3分）（2023秋•嵊州市期中）对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2，那么（⊕2）⊗的值为（）A．2 B． C．3 D．3【分析】直接利用已知运算公式，结合运算规律计算得出答案．【解答】解：由题意可得：（⊕2）⊗＝⊗3＝．故选：B．7．（3分）（2023秋•温州期中）如图，已知数轴上A，B两点分别对应实数﹣2和，则A，B两点间的距离为（）A． B． C．﹣ D．【分析】数轴上A点对应实数﹣2，B点对应实数，相减的绝对值就是两点间的距离．【解答】解：∵数轴上A，B两点分别对应实数﹣2和，∴A、B两点间的距离＝|﹣（﹣2）|＝+2，故选：A．8．（3分）（2023•玉环市二模）面积为15的正方形的边长为m，则m的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】利用算术平方根的含义先表示m＝，再根据3＜＜4，从而可得答案．【解答】解：面积为20的正方形的边长为m，∴m＝，∵＜＜，∴3＜＜4，∴m的值在3和4之间，故选：C．9．（3分）（2023秋•下城区校级期中）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝，则1※2+2※3+3※4+…+2023※2024的值为（）A． B． C． D．【分析】根据新定义列式计算即可．【解答】解：原式＝+++…+＝﹣1+﹣+﹣+﹣…﹣+＝﹣1+＝﹣，故选：D．10．（3分）（2023秋•富阳区校级期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，，[﹣2.5]＝﹣3．现对16进行如下操作：16，这样对16只需进行3次操作后变为1．类似的，对121只需进行（）次操作后变为1．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．【解答】解：，∴对121只需进行3次操作后变为1，故选：C．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）（2023秋•鄞州区月考）以下各数0，，﹣2，102，，|，﹣（）2，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是5．【分析】先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可．【解答】解：，102＝100，，，有理数有：0，﹣2，102，﹣（）2，，共5个，故答案为：5．12．（4分）（2023秋•嵊州市期中）已知，则＝0.15．【分析】根据“被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位”即可解答．【解答】解：被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位，观察可知，被开方数22500的小数点向左移动6位变成0.0225，所以算术平方根的小数点向左移动三位，∴，故答案为：0.1513．（4分）（2023秋•余姚市校级月考）比较大小：＞﹣1，＜π．（用“＞”“＜”或“＝”连接）【分析】根据两个负数比较大小，绝对值越大其值越小可得；根据7＜9得到，据此可得答案．【解答】解：∵，∴；∵7＜9，∴，故答案为：＞；＜．14．（4分）（2023秋•瑞安市期中）计算：＝2．【分析】原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用二次根式的化简公式化简，即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣2+4＝2．故答案为：2．15．（4分）（2023春•嵊州市校级期中）若6﹣的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+）y的值为3【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，进而估算的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴2＜6﹣＜3∴6﹣的整数部分为x为：2，小数部分为y＝6﹣﹣2＝4﹣，故（2x+）y＝（4+）×（4﹣＝3．故答案为：3．16．（4分）（2023秋•象山县校级期中）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，，则＝3．【分析】估计出，再结合题意，[a]表示不超过a的最大整数，因此即可得出的答案．【解答】解：∵16＜19＜25，∴，∴，∴．故答案为：3．17．（4分）（2023春•玉环市校级期中）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求x+y＝9或﹣1．【分析】根据已知等式求出x与y的值，即可求出x+y的值．【解答】解：由x2+2y+y＝17﹣4，得到x2+2y＝17，y＝﹣4，解得：x＝±5，则x﹣y＝9或﹣1．故答案为：9或﹣1．三．解答题（共7小题，满分62分）18．（8分）（2023秋•余姚市校级期中）计算：（1）﹣3+（﹣9）+10﹣（﹣18）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可；（2）根据乘法分配律计算即可；（3）先算乘方和绝对值，并把除法运算变为乘法运算，再算乘法，最后算加减；（4）先根据有理数的乘方、算术平方根计算，再合并即可．【解答】解：（1）﹣3+（﹣9）+10﹣（﹣18）＝﹣3+（﹣9）+10+18＝[（﹣3）+（﹣9）]+（10+18）＝﹣12+28＝16；（2）＝＝﹣3﹣（﹣8）﹣（﹣10）＝﹣3+8+10＝15；（3）＝﹣1+9×2﹣2＝﹣1+18﹣2＝15；（4）＝9×（﹣2）+4+3＝﹣18+4+3＝﹣11．19．（6分）（2023秋•长兴县月考）已知a的平方根是的立方根是﹣2，c是最小的正整数，求3a﹣b+2c的值．【分析】由题意得出a＝2，b＝﹣8，c＝1，再代入进行计算即可．【解答】解：∵a的平方根是，∴a＝2，∵b的立方根是﹣2，∴b＝﹣8，∵c是最小的正整数，∴c＝1，∴3a﹣b+2c＝3×2﹣（﹣8）+2＝6+8+2＝16．20．（6分）（2023秋•拱墅区校级期中）求值．观察下边图形，每个小正方形的边长为1．（1）则图中阴影部分的面积是13，边长是，（2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分．求：①x，y的值；②（x+y）2的算术平方根．【分析】（1）根据题意可得阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小三角形的面积，再根据算术平方根的定义即可算出边长；（2）根据估算无理数大小的方法，可得，，即可得得出x和y的值，再代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，S阴＝S正方形﹣4S三角形＝52﹣4×＝13，则阴影部分正方形的边长为：．故答案为：13，；（2）①∵，，∴3＜4，3，∴x＝，y＝3，②∴＝＝＝．21．（10分）（2023秋•余姚市校级期中）【阅读理解】数形结合是重要的数学思想．如：3﹣（﹣2）|表示3与﹣2差的绝对值，实际上也可以理解为3与﹣2在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，在数轴上，点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．利用上述结论，回答以下问题：【尝试应用】（1）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；（2）若|x+3|＝4，则x＝1或﹣7．【拓展延伸】（3）若x表示一个实数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．【分析】（1）依据题意得，数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为|x﹣（﹣3|＝|x+3|，进而得解；（2）依据题意，由|x+3|＝4，从而x+3＝4或x+3＝﹣4，进而可以判断得解；（3）依据题意，分当x＜﹣4时、当﹣4≤x≤1时和当x＞1时，分别进行判断可以得解．【解答】解：（1）由题意得，数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为|x﹣（﹣3|＝|x+3|．故答案为：|x+3|．（2）由题意，∵|x+3|＝4，∴x+3＝4或x+3＝﹣4．∴x＝1或﹣7．故答案为：1或﹣7．（3）由题意，①当x＜﹣4时，|x﹣1|+|x+4|＞5；②当﹣4≤x≤1时，|x﹣1|+|x+4|＝5；③当x＞1时，|x﹣1|+|x+4|＞5，∴当﹣4≤x≤1时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．故答案为：5．22．（10分）（2023秋•拱墅区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为．根据上述材料，回答下列问题：（1）的整数部分是4，小数部分是；（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求a+b的值；（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求3x﹣y的值．【分析】（1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分；（2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算a+b的值；（3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出3x﹣y的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴的整数部分是4，小数部分是，故答案为：4，；（2）∵，∴，∴，∴a＝7，b＝8，∴a+b＝7+8＝15；（3）∵，∴，∴，∴的整数部分是12，小数部分是，∴x＝12，3y＝，∴3x﹣y＝3×12﹣＝36﹣+2＝38﹣．23．（10分）（2023春•西陵区校级期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：①当＝12时，②当＝12时，分别计算即可．【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：∵＝12，＝6，＝4，∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；（2）∵＝6，∴分两种情况讨论：①当＝12时，﹣3m＝144，∴m＝﹣48；②当＝12时，﹣12m＝144，∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；综上，m的值是﹣48．24．（12分）（2023秋•西湖区校级月考）如图，数轴上点A表示的数为8，点B位于点A左侧，且AB＝22．（1）写出数轴上点B表示的数﹣14．（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示实数x的点与表示实数3的点之间的距离．试探索：①若|x﹣8|＝3，则x＝5或11；②求|x+14|+|x﹣8|的最小值？以及此时x的取值范围是？（3）动点P从O点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时，A，P两点之间的距离为2．【分析】（1）根据题意直接计算即可；（2）根据绝对值的几何意义，