角平分线的性质与判定课件湘教版八年级数学上册

角平分线的性质与判定湘教·数学八年级上册5.4角平分线的性质我们学过的角的平分线的概念是什么？角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.几何语言：所以OB平分∠AOC.如图，因为回顾导入

OBA尺规作角的平分线MNC观察领悟作法，探索思考证明方法：画法：1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．2.分别以M，N为圆心．大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．3.作射线OC．射线OC即为所求．动动手:将手中的三角形纸片按如下顺序操作，并标好对应字母:①将∠AOB对折，记折痕为OC；②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形；③展开，观察分析.推进新课AOBAOC（B）ADOPCEBAOC（B）P交流探究问题一：折痕分得的两个角的大小有什么关系？问题二：PD和PE与OA和OB有什么位置关系？它们的长度有什么关系？问题三：你能用自己的语言总结角平分线上点的特点吗？问题四：你能证明你的结论吗？AOBAOC（B）ADOPCEBAOC（B）P如图，在∠AOB

的平分线OC

上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB

，垂足分别为点D，E.比较线段PD，PE

的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······若将∠AOB沿角平分线OC折叠，则可以发现点D与点E重合，因而PD与PE重合，即PD=PE.P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等已知：一个点在一个角的平分线上.求证：验证这个点到这个角两边的距离相等.CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4ADOPCEB证明：因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB

于点E，所以∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，所以△PDO≌△PEO（角角边）.因此PD=PE.已知：一个点在一个角的平分线上.求证：这个点到这个角两边的距离相等.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线上的点到角两边的距离相等几何语言：文字语言：角平分线性质定理：如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD=PE.CABODEP应用定理需具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等角平分线上的点到角两边的距离相等CABODEP针对训练1.如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4，则PE=______.4MBCADEP2.如图，在Rt△ABC中，∠C

=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC

=8，则点P到AB的距离为______.8ACPB针对训练角平分线上的点到角两边的距离相等条件：结论：点在这个角的角平分线上这个点到角的两边的距离相等逆命题：如果一个点到角的两边的距离相等，那么该点位于角的平分线上。这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？CABODEP如图，点P

在∠AOB

的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.求证：点P

在∠AOB

的平分线上.可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.ABODEPC证明：如图，过点O，P

作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠AOC=∠BOC因此OC是∠AOB

的平分线，即点P

在∠AOB

的平分线OC上.ABODEPC角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言：文字语言：角的平分线的判定定理：CABODEP位置关系数量关系如图，∵P

为∠AOB

内部一点，PD⊥OA

于点D，PE⊥OB

于点E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上，即OP

平分∠AOB.归纳总结所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线1角的平分线的性质及判定的关系点在角的平分线上角的内部，点到角两边距离相等性质判定2角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？0200m答：集贸市场应建在S

区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点P

所示.P针对训练例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.证明：（1）在△ABC中，因为∠1=∠2，所以BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，所以点B在∠ADC的平分线上.例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，

BA=BC，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）.因此∠ABD=∠CBD，从而BD平分∠ABC.1.如图，在线段MN

上求作一点P，使点P

到∠AOB

两边的距离相等（保留作图痕迹，不要求写出作法）.【课本P179练习第1题】答：点P

在∠AOB

的角平分线与线段MN的交点处，如图所示.P∠BOE=∠COD，OE=OD，∠BEO=∠CDO.2.如图，已知CE⊥AB

于点E，BD⊥AC

于点D，BD，CE

交于点O，且AO

平分∠BAC.求证：OB=OC.【课本P179练习第2题】证明：因为点O在∠BAC

的角平分线AO

上，OE⊥AB，OD⊥AC，所以OE=OD，在△OBE

和△OCD

中，所以△OBE

≌△OCD（ASA）.因此OB

=OC.3.如图，BD

是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△ABC

的面积为70，AB=16，DE=5，求BC

的长．

CABDEF课堂小结图形名称图形语言文字语言符号语言关键词角平分线性质定理判定定理PC∵OP平