版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题21空间向量的应用解答题综合
(三大考点,54题)
考点十年考情(2016-2025)命题趋势
通过建立空间直角坐
考点1:异面
2025全国一卷、2021上海卷、2020江苏卷、2018江苏标系,求方向向量夹
直线夹角的向
卷、2017江苏卷均涉及求异面直线所成角的余弦值或大小角,注重向量运算准确
量求法
性
2025全国二卷、2022全国乙卷/甲卷/北京卷/天津
求直线方向向量与平
卷/浙江卷/上海卷、2021浙江卷/天津卷、2020天
考点2:线面面法向量,利用线面角
津卷/北京卷/海南卷/山东卷、2019浙江卷/全国
角的向量求法与向量夹角关系计算,
II卷、2018全国II卷/浙江卷、2017北京卷、2016全
关键在求法向量
国III卷/四川卷/天津卷均涉及线面角的求解
2025天津卷、2024新课标II卷/北京卷、2023新课
标II卷/新课标I卷/北京卷、2022新高考全国I
求两平面法向量,利用
卷/II卷、2021新高考全国II卷/全国甲卷/全国
考点3:二面法向量夹角求二面角,
乙卷/北京卷、2020全国I卷、2019全国I卷/III
角的向量求法需判断角的类型(锐角
卷/北京卷、2018全国III卷/北京卷/天津卷、
/钝角)
2017全国I卷/II卷/III卷/天津卷、2016全国
I卷/II卷/浙江卷/山东卷均涉及二面角的求解
考点01:异面直线夹角的向量求法
1.(2025·全国一卷·高考真题)如图所示的四棱锥中,平面,.
�−𝐴𝐵��⊥𝐴𝐵��∥𝐵,𝐴⊥𝐵
(1)证明:平面平面;
(2)�𝐴⊥�𝐵,,,,在同一个球面上,设该球面的球心为.
(i�)�证=明�:�=在平2,�面�=1+上;3,��=2�����
(ⅱ)求直线�与直线𝐴𝐵所成角的余弦值.
【答案】(1)证�明�见解析�;�
(2)(i)证明见解析;
(ii).
2
【分析3】(1)通过证明,,得出平面,即可证明面面垂直;
(2)(i)法一:建立空�间�直⊥角𝐴坐标�系�并⊥�表�达出各点𝐴的⊥坐标,�假𝐵设在同一球面上,在平面中,
得出点坐标,进而得出点在空间中的坐标,计算出�,�,�,�,即�可证明结论;���
法二:作�出的边和�的垂直平分线,找到三角��形的=外�心�=,�求�出=𝐵,求出出外心到,,,
的距离相等△,��得�出外心��即𝐵为,,,所在球的球心,即可证�1明结论;��1�1���
�(ii)法一:写出直线�和1的�方向�向�量,�即可求出余弦值.
法二:求出的长,过��点�作�的平行线,交的延长线为,连接,,利用勾股定理求出的
长,进而得出��的长,在���中由余弦定理��求出�1,即可�求�1出直�线�1与直线所成角的�余�1弦
值.��1△���1cos∠���1����
【详解】(1)由题意证明如下,
在四棱锥中,⊥平面,,
平面�−𝐴,𝐵平��面�,�𝐵𝐴⊥𝐵
�∴�⊂�,�𝐵𝐵⊂,𝐴𝐵
∵��⊥平𝐴面��,⊥𝐵平面,,
∴��⊂平面�𝐵,𝐵⊂�𝐵��∩𝐵=�
∵𝐴⊥平面�𝐵,
∴�平�面⊂�平𝐴面.
(2)(i�)𝐴由⊥题意及�(𝐵1)证明如下,
法一:
在四棱锥中,,,,∥,
�−�,�𝐵��⊥�,���⊥𝐵𝐴⊥𝐵��𝐵
�建�立=空�间�直=角2坐标𝐵系=如1下+图所3示,
∴,
若�,0,0,,0,,�在2,同0,0一,个�球2面,2上,0,,�0,1+3,0,�0,0,2
则����,
在平��面=�中�,=��=𝐵
���
∴,
∴线�段0,0,�中点2坐,0标,�2,2,�,0,1+3
23+3
𝐵�2,2
直线的斜率:,
1+3−23−1
𝐵�1=0−2=−2
直线的垂直平分线斜率:,
26+2
𝐵���2=3−1=2
∴直线的方程:,
3+36+22
���−2=2�−2
即,
6+223+3
�=2�−2+2
当时,,解得:,
6+223+3
��
∴�=11=2�−2+2�=0
在立�体0,1几何中,,
�0,1,0
2
22
��=0+1+0−2
2
∵22
𝐴=0−2+1+0
2
22
��=0−2+1−2+0
2
22
解得:𝐵=0+1−1−3+0,
∴点在�平�面=𝐴上=.��=𝐵=3
法二:�𝐴𝐵
∵,,,在同一个球面上,
∴�球心�到四�个�点的距离相等
在中,到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心,
作出△��和�的垂直平分线,如下图所示,
��𝐵
由几何知识得,
,,
1
�1�=𝐴=2��=��=��1=��1=2��=1�1�=𝐵−��1=3
,
2
2
∴��1=��1=1+,2=3
∴�点1�=是��1=的��外1心,
在Rt�1△�中�,�,,
由勾股△定��理�得,��⊥𝐵��=2
2
222
��1=��+��1=2+1=3
∴,
��1=��1=��1=�1�=3
∴点即为点,,,所在球的球心,
此时点�1在线段��上,��平面,�
∴点在�平面𝐵上.𝐵⊂𝐴𝐵
(ii)�由题意,�(��1�)(2)(ii)及图得,
,
设直线与直线所成角为,� � =2,2,0,� � =0,1,−2
∴�����.
� � ⋅� � 0+2×1+02
22
cos�=� � � � =22=3
法2:2+2+0×0+1+−2
由几何知识得,,
,∥��,=3
�∴�⊥𝐵,��𝐵
在�R�t⊥��中,,,由勾股定理得,
△𝐴�𝐴=2��=2
,
2
222
过��点=作𝐴的+平��行线=,交2的+延2长=线为6,连接,,
������1��1��1
则,直线与直线所成角即为中或其补角.
∵��1=平�面�=6,��平面��,△��,�1∠���1
∴��⊥,𝐴𝐵��1⊂𝐴𝐵��∩��1=�
在�R�t⊥��1中,,,由勾股定理得,
111
△𝐴�𝐴=2��=��+�,�=2+1=3
2
222
11
在��Rt=𝐴中+,��=,2由+勾3股定=理1得1,
△���1��=2
,
22
22
在��1=��中,+由��余1弦=定理得2,+11=13
△���1,
222
1111
即��:=��+��−2��⋅��cos∠���
222
13=3+6−23×6cos∠���1
解得:
2
cos∠���1=−3
∴直线与直线所成角的余弦值为:.
2
1
2.(202�1�·上海·高�考�真题)四棱锥co,s∠底��面�为正=方3形,边长为4,为中点,平面.
�−𝐴𝐵𝐴𝐵�𝐴��⊥𝐴𝐵
(1)若△为等边三角形,求四棱锥的体积;
(2)若�的𝐴中点为,与平面所�成−角𝐴为𝐵45°,求与所成角的大小.
𝐵���𝐴𝐵𝐵��
【答案】(1);(2).
3232
�−𝐴𝐵
【分析】(1)由�棱锥体=积公3式计算;arccos6
(2)建立空间直角坐标系,用空间向量法求二面角.
【详解】(1)∵正方形边长为4,△为等边三角形,为中点,
∴,𝐴𝐵��;��𝐴
12323
�−𝐴𝐵
(2�)�如=图2以3�为=3×4轴×建2立3空=间直3角坐标系,则,,,
��,��,���,�,��(0,0,4)�(−2,4,0)�(−2,0,0)
,∴,,
�(2,4,0)� � =(−2,4,−4)� � =(4,4,0)
∴,
� � ⋅� � −8+16+02
cos�=|� � |⋅|� � |=6×42=6
即与所成角的大小为.
2
3.(𝐵2020�·�江苏·高考真题)在a三rcc棱os锥6A—BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点,AO⊥平面BCD,
AO=2,E为AC的中点.5
(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;
(2)若点F在BC上,满足BF=BC,设二面角F—DE—C的大小为θ,求sinθ的值.
1
4
【答案】(1)(2)
15239
【分析】(1)建15立空间直13角坐标系,利用向量数量积求直线向量夹角,即得结果;
(2)先求两个平面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】
(1)连
以��∵为��=�轴�,建��立=空�间�直∴角��坐⊥标�系�,则
𝐴,��,���,�,��(0,0,2),�(1,0,0),�(0,2,0),�(−1,0,0)∴�(0,1,1)
−115
∴� � =(1,0,−2),� � =(1,1,1)∴cos<� � ,� � >==−
从而直线与所成角的余弦值为5315
15
(2)设平�面���一个法向量为15
��� � 1 =(�,�,�),
� 1 ⋅� � =0�+2�=0
∵� � =(1,2,0),∴
� 1 ⋅� � =0�+�+�=0
令
1
设平�=面1∴�一=个−法2,向�=量1为∴ � =(−2,1,1)
171
� 2 ⋅� � =0
��� � 2 =(�1,�1,�1),∵� � =� � +� � =� � +4� � =(4,2,0),∴
2
71 � ⋅��=0
4�1+2�1=0
令
�1+�1+�1=0
�1=−7∴�1=2,�1=5∴ � 2 =(2,−7,5)
−61
∴cos<