2025年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形

三角函数与解三角形单选题1．(2025·天津)设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.【详解】由，则“”是“”的充分条件；又当时，，可知，故“”不是“”的必要条件，综上可知，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．(2025·全国一卷)若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，即的对称中心是，即，又，则时最小，最小值是，即.故选：C3．(2025·全国二卷)在中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理直接计算求解即可.【详解】由题意得，又，所以.故选：A4．(2025·全国二卷)已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.【详解】，因为，则，则，则.故选：D.5.(2025·北京)设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（）A8 B.6 C.4 D.3【答案】C【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.【详解】函数，设函数的最小正周期为T，由可得，所以，即；又函数在上存在零点，且当时，，所以，即；综上，的最小值为4.故选：C.6．(2025·天津)，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.【详解】设的最小正周期为，根据题意有，，由正弦函数的对称性可知，即，又在上单调递增，则，∴，则，∵，∴时，，∴，当时，，由正弦函数的单调性可知.故选：A多选题7．(2025·全国一卷)已知的面积为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，然后分情况比较和的大小，亦可使用正余弦定理讨论解决，结合正弦函数的单调性可推出，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.【详解】，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确；由诱导公式，，展开可得，即，若，则可知等式成立；若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，于是，与条件不符，则不成立；若，类似可推导出，则则不成立.综上讨论可知，，即.方法二：时，由，则，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，则，若，则，注意到，则，于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，结合，而都是锐角，则，于是，这和相矛盾，故不成立，则由，由，则，即，则，同理，注意到是锐角，则，不妨设，则，即，由两角和差的正弦公式可知，C选项正确由两角和的正切公式可得，，设，则，由，则，则，于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.故选：ABC填空题8．(2025·上海)函数在上的值域为．【答案】【分析】利用余弦函数的单调性可得.【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，且，故函数在上的值域为.故答案为：.9．(2025·上海)小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角．（结果用角度制表示，精确到）【答案】【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.【详解】如图，在处，，在处满足，（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），故设，则，由勾股定理，，解得，于是故答案为：10.(2025·北京)已知，且，，写出满足条件的一组________，_________．【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.【详解】因为，，所以的终边关于轴，且不与轴重合，故且，即，故取可满足题设要求；故答案为：，（答案不唯一）解答题11．(2025·全国二卷)已知函数．(1)求;(2)设函数，求的值域和单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解；（2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间.【详解】（1）由题意，所以；（2）由（1）可知，所以，所以函数的值域为，令，解得，令，解得，所以函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为.12.(2025·北京)在中，．（1）求c；（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高．①；②；③面积为．【答案】（1）6（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；（2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得，，进一步由求得高，并说明此时三角形存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解.【小问1详解】因为，所以，由正弦定理有，解得；【小问2详解】如图所示，若存在，则设其边上的高为，若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；若选②，，由正弦定理有，解得，此时，，而，，，所以，可以唯一确定，所以此时也可以唯一确定，这表明此时三角形是存在的，且边上的高；若选③，的面积是，则，解得，由余弦定理可得可以唯一确定，进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.13．(2025·天津)在中，角的对边分别为．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.【详解】（1）已知，由正弦定理，得，显然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，则，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，则为锐角，故，故，且；故.14．(2025·全国一卷)设函数．(1)求在的最大值；(2)给定，设a为实数，证明：存在，使得；(3)若存在使得对任意x，都有，求b的最小值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反证法可证三角不等式有解；（3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值.【详解】（1）法1：，因为，故，故，当时，即，当时，即，故在上为增函数，在为减函数，故在上的最大值为.法2：我们有.所以：.这得到，同时又有，故在上的最大值为，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，若任意与交集为空，则且，此时无解，矛盾，故无解；故存在，使得，法2：由余弦函数的性质知的解为，若每个与交集都为空，则对每个，必有或之一成立.此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：记，因为，故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况.当时，，当时，，此时，令，则，而，，故，当，在（2）中取，则存在，使得，取，则，取即，故，故，综上，可取，使得等号成立.综上，.法2：设.①一方面，若存在，使得