指数函数幂函数对数函数增长的比较课件-高一上学期数学北师大版数学

第四章

对数运算与对数函数4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、指数函数、幂函数增长速度的差异.2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.能正确地选择函数模型解决实际问题.情境：从“网红奶茶店的成长之路”看函数增长规律.

同学们，假设我们班要在学校文创集市开一家“数学奶茶屋”，现在需要用数学知识规划店铺的运营策略.我们收集到了三个关键数据场景，分别对应三种不同的函数模型，让我们一起用数学眼光分析这些真实情境.场景一：粉丝增长的"病毒式传播"（指数函数模型）场景二：好评度的"口碑积累"（对数函数模型）场景三：成本控制的"规模效应"（幂函数模型）场景一：粉丝增长的"病毒式传播"（指数函数模型）​

开业初期，我们推出"集赞免费喝"活动：第1天有10位同学分享朋友圈，每位分享者每天会带动3位新同学关注.我们发现，关注人数随着天数变化呈现这样的规律：​第1天：10人；第2天：10×3=30人​；第3天：10×3²=90人​……第n

天：10×3n-1人​.问题1：如果持续30天，关注人数会达到多少？

这种增长有什么特点？呈现爆炸式增长趋势，底数大于1时指数函数呈几何级数增长场景二：好评度的"口碑积累"（对数函数模型）​

随着店铺口碑传播，我们通过问卷调查发现，累计好评数与宣传投入存在这样的关系：当投入x千元做宣传时，累计好评数

g(x)=200+50lnx.具体数据如下：​投入1千元：200+50×0=200条​投入10千元：200+50×2.302≈315条​投入100千元：200+50×4.605≈430条问题2：为什么宣传投入增加10倍，好评数只增加约115条？这种增长有什么特点？前期增长明显，后期增速放缓，符合对数函数增长特征场景三：成本控制的"规模效应"（幂函数模型）​

在计算杯具采购成本时，我们发现：当采购量为x

个时，单个成本h(x)=0.5x0.6元.具体数据：​采购10个：0.5×100.6≈0.5×3.98≈1.99元​；采购100个：0.5×1000.6≈0.5×39.8≈19.9元​；采购1000个：0.5×10000.6≈0.5×398≈199元​；问题3：采购量每扩大10倍，成本如何变化？这种增长和前两种有什么不同？增长速度介于线性和指数之间，幂指数决定增长特性函数模型数学表达式增长特点奶茶店实例指数函数对数函数幂函数问题4：结合上述情境，填写三种模型的表达式、增长特点、生活实例：y=abx底数>1时爆炸增长粉丝关注量y=a+blnx前期快后期慢好评积累量y=axk增速由指数k

决定规模采购成本

指数函数帮我们预测爆发式增长（如病毒营销），对数函数让我们理解渐进式变化（如学习曲线），幂函数则刻画规模效应（如工业生产）；细胞分裂（指数）地震震级（对数）球体体积（幂函数）思考：试着列举生活中其他符合这三种模型的例子？y

=

ax(a

>

1)y

=

xc(x>0，c>

0)y

=

logbx

(b>

1)增长特点随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越快，称之为“指数爆炸”随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越快随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越慢，即增长速度平缓增长速度比较随着自变量

x的增大，y

=

ax

的函数值增长远远大于

y

=

xc的函数值增长，y

=

xc的函数值增长又远远大于

y

=

logbx

的函数值增长.三种函数模型增长情况对比例1：增长曲线的选择高为

H、满缸水量为

V0的鱼缸的轴截面如图所示.现其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为

h

时鱼缸内水的体积为

V，则函数

V=f(h)的大致图象是(

)B分析：当

h=H时，体积是V0，故排除A，C项；h由0到

H变化的过程中，V

的变化刚开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选B项.函数增长快慢对函数曲线的影响：

随着自变量的增大，如果函数值增长得越来越快，则函数的图象越“陡”，类似于指数函数的图象；如果函数值增长得越来越慢，则函数的图象越“缓”，类似于对数函数的图象.1.某公司为适应市场，对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润

y

与时间

x

的关系，可选用(

)A.一次函数

B.幂函数 C.指数型函数

D.对数型函数D分析：初期利润增长迅速，后来增长越来越慢；可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.2.某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表示此人与乙地的距离，则较符合该走法的图象是(

)解析：图中给出的是直线模型，符合一次函数模型的特点，故应选D.D3.(多选题)当a>1时，下列结论正确的是(

)A.指数函数

y=ax，当

a越大时，其函数值的增长越快B.指数函数

y=ax，当

a越小时，其函数值的增长越快C.