（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练专题1.7 空间向量与立体几何全章综合测试卷-基础篇（解析版）

第一章空间向量与立体几何全章综合测试卷-基础篇一．选择题1．已知O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OCB．O，A，B，C中至少有三点共线 C．OA→+OB→D．O，A，B，C四点共面【解题思路】根据空间向量基本定理即可判断．【解答过程】解：由于向量OA→，OB所以O，A，B，C四点共面，故选：D．2．已知a→=(2，−2，A．48585 B．−48585 C．【解题思路】利用空间向量的夹角余弦值公式cos＜【解答过程】解：∵a→=(2，−2，故选：B．3．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若A1B1→=a→A．a→+b→−c→ B．a→【解题思路】根据图形可得D1C1【解答过程】解：由题意得，D1C1故选：B．4．若向量a→=(1，−2，A．27 B．5 C．26 D．【解题思路】利用空间向量的坐标运算求解即可．【解答过程】解：∵a→=(1，−2，3)，b→=(−2，3，∴|a→+2b→|=5．已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则AF→A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解题思路】先得到四面体ABCD为正四面体，再利用空间向量的数量积运算和线性运算求解即可．【解答过程】解：∵四面体ABCD，所有棱长均为2，∴四面体ABCD为正四面体，∵E，F分别为棱AB，CD的中点，∴AF→⋅CE→==12AC→•AE→−12AC→2+12AD→故选：D．6．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，CMCB=13，PN＝ND，设AB→=a→，A．a→+13b→+12c→ 【解题思路】由图形可得MN→=MC→+CD→【解答过程】解：根据题意，可得MN=1即MN→故选：D．7．在空间直角坐标系Oxyz中，平面α的法向量为n→=(1，1，A．若m→=(−12，B．若m→=(1，0，C．平面α与所有坐标轴相交 D．原点O一定不在平面α内【解题思路】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，平面α的法向量为n→=(1，1，1)，m→=(−12，−12，1)，则有m→•n→对于B，平面α的法向量为n→=(1，1，1)，m→=(1，0，−1)，则有m→•n→=−12−对于C，平面α的法向量为n→=(1，对于D，原点O可以在平面α内，D错误；故选：C．8．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝PA．若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，此时二面角A﹣PD﹣Q的余弦值为（）A．33 B．306 C．66 【解题思路】先建立空间直角坐标系，因为题目中有矩形ABCD，以及和这个矩形面垂直的直线，所以x，y，z轴很容易找到，再在所建坐标系中求出点P、B、D的坐标即可，要求二面角Q﹣PD﹣A的余弦值，只需求两个平面的法向量的夹角的余弦值即可，可先分别求两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求余弦值．【解答过程】解：∵PA⊥平面ABCD且ABCD为矩形，∴分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∵AP＝AB＝1，BC＝2，设BC＝a（a＞0），∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0），设Q（1，y，0），则PQ→=（1，y，﹣1），DQ→=（1，y﹣∵PQ⊥QD，∴PQ→⋅DQ→=0，∴1+y（y﹣a）+0＝0，即y2﹣ay+1当BC边上有且仅有一个Q点，方程（*）有等根，∴y＝1，此时a＝2，显然平面PAD的一个法向量为m→=（1，0，设平面PQD的一个法向量为n→=（x，y，z），则n→⋅DQ即PQ→=（1，1，﹣1），DQ→=（1，﹣1，不妨取x＝1，则y＝1，z＝2，∴n→=（1，1，2），由图可知，二面角Q﹣PD﹣A为锐角，设为cosα＝|m→⋅n→|m→||n→||=二．多选题9．已知a→，b→，A．若xa→+yb→+zc→=0→，则B．a→，b→，c→两两共面，但a→，bC．一定存在实数x，y，使得a→=xb→D．a→+b→，b→【解题思路】根据已知条件，结合向量共面的定理，即可求解．【解答过程】解：对于A，若x，y，z不全为0，则a→，b→，c→对于B，a→，b→，c→两两共面，但a→，b→对于C，a→，b→，c→不共面，则不存在实数x，y，使得a→=xb对于D，若a→+b→，b→则a→+b→=k(b→−c→)+λ(c→故选：ABD．10．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），则正确的有（）A．AB→与AC→B．AB→的单位向量是（1，1，0）C．AB→与BC→夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）【解题思路】由AB→≠λAC→，可判断选项A；AB→的单位向量为±AB→|AB→|，可判断选项B；由cos＜AB→，BC→＞=AB→⋅【解答过程】解：由题意知，AB→=（1，1，0），AC→=（﹣1，2，1），BC→=（﹣因为AB→≠λAC→，所以AB→与AB→的单位向量为±AB→|AB→|=±22AB→，所以AB→的单位向量为（22，cos＜AB→，BC→＞=AB→⋅BC设平面ABC的一个法向量为n→=（x，y，z），则n→令x＝1，则y＝﹣1，z＝3，所以n→=（1，﹣1，3），即D正确．故选：11．如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A'，连接A'B，，且A'D⊥DC，平面与A'BE平面A'CD的交线为l，则下列结论中正确的是（）A．平面A'DE⊥平面A'BE B．CD∥l C．BC与平面A'DE所成角的余弦值为12D．二面角E﹣A'B﹣D的余弦值为7【解题思路】A．利用面面垂直的判定定理判断；B．利用线面平面的判定定理和性质定理判断；C．以E为原点，分别以EB，ED，EA′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：求得BC的方向向量，平面A'DE的法向量，可求BC与平面A'DE所成角的余弦值为12，D．求得平面EA′B，A′BD【解答过程】解：因为A′D⊥DC，ED⊥DC，A'D∩DE＝D，所以CD⊥平面A′DE，因为CD∥BE，所以BE⊥平面A′DE，因为BE⊂平面A′BE，所以平面A′DE⊥平面A′BE，故A正确；因为CD∥BE，CD⊄平面A′BE，BE⊂平面A′BE，所以CD∥平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD的交线为l，所以CD∥l，故B正确；C．由A知，BE⊥平面A′DE，则BE⊥A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以DE⊥A′E，又BE∩DE＝E，所以A′E⊥平面BED，以E为原点，分别以EB，ED，EA′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：则B（1，0，0），A′（0，0，1），C（2，3，0），D（0，3，0），所以BC→=（1，3，0），由A知BE⊥平面A′DE，所以EB→=（1，0，0）为平面A′DE的一个法向量，设BC与平面A'∴sinθ＝|cos＜EB→，BC→＞|＝|EB→⋅BC→|EB→|⋅|BC易证DE⊥面A′BE，故ED→=（0，3，0）为平面A′BE的一个法向量，又A'B→=（1，0，﹣1），BD→=（﹣1，3，0），设平面A'DB的一个法向量为：n→=（x，y，z），则n→⋅A'B→=x−z=0n→⋅BD→=−x+3y=0，取n→=（三．填空题12．已知直线l外一点A（﹣1，0，2），直线l过原点O，且平行于向量m→=（0，4，2），则点A到直线l的距离为105【解题思路】直线l过点O，直线l的方向向量为m→，则点A到直线的距离为d=【解答过程】解：∵直线l外一点A（﹣1，0，2），直线l过原点O，且平行于向量m→=（0，4，∴OA→=（﹣1，0，2），∴点A到直线l的距离为：d故答案为：105513．已知向量a→，b→满足a→=(1，1，2)，|b→|=2【解题思路】先求出a→【解答过程】解：∵a→=(1，1，∴a→2+2a→∴a→+b→在故答案为：(314．对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是①③（填序号）．①OP→②5OP→③OP→④OP→【解题思路】由空间共线向量定理即可求解．【解答过程】解：对于①，∵OP→=OA→+t∴OP→−OA→=tAB→（t≠0∴点P、A、B共线，故①正确；对于②，∵5OP→=OA→+AB∴P、O、B共线，点P、A、B不一定共线，故②错误；对于③，∵OP→=OA→+AB→（t≠0∴AP→=−tAB→（t≠0），∴AP→，AB→共线，∴对于④，∵OP→=−OA∴OP→=−2OA∴BP→=−2OA→，∴BP，OA平行或重合，故BP、OA平行时，点P、A、故答案为：①③．四．解答题15.对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．（1）试证：EF→与BC→，（2）AD→=a→，AB→=b→，AC→=c【解题思路】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量EF→与BC→，（2）直接利用向量的加减法运算得答案．【解答过程】（1）证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF．又∵PF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF．∴AD∥平面PEF．同理可证，BC∥平面PEF．∴向量EF→与BC→，（2）解：BF→16.如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON（1）用向量OA→，OB→，OC→（2）求|OP【解题思路】（1）利用向量运算法则直接求解．（2）利用向量运算法则，求出OP→=14OA→+14OB→【解答过程】解：（1）AN→∴AN→（2）OP=1∴OP→∴|OP→|2=116（OA→+OB→+OC∴|OP17.已知a→=(2，（1）求(a（2）当(ka→−【解题思路】（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式，即可求解．（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式，即可求解．【解答过程】解：（1）因为a→=(2，故a→+b故(a（2）a→2=22因为(ka所以(ka→−故14k+6（k2﹣1）﹣9k＝0，即（2k+3）（3k﹣2）＝0，故k=−3218.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点（1）求证：EF∥平面A1C1B；（2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．【解题思路】（1）建立坐标系，取BC1中点G，证明EF→与A1G→共线，可得EF∥A1G，即可证明EF∥平面A1（2）求出两异面直线的方向向量，用数量积公式求夹角余弦即可．【解答过程】（1）证明：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，由已知得D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．取BC1中点G，则G（1，2，1），A1G→=（﹣1，又EF→=（﹣1，2，﹣1），∴∴EF→与A1G→共线，∴EF∥∵A1G⊂平面A1C1B，EF⊄平面A1C1B，∴EF∥平面A1C1B；（2）解：∵AB→=（0，2，0），EF→=（﹣1，∴cos＜EF→∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为6319.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．（1）证明：直线PB∥平面ACE；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解题思路】（1）连接BD交AC于点H，连接HE，可证HE∥PB，从而可证PB∥平面ACE，（2）作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量，利用向量法求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答过程】（1）证明：连接BD交AC于点H，连接HE，∵AB∥DC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行