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文档简介
高级微观经济学
课本:
参考书:
1)AndreuMas-Colell,MichaelD.Whinstonand
JerryR.Green,1995,MicroeconomicTheory,
OxfordUniversityPress;中译本:《微观经济
理论》,经济科学出版社
2)DavidKreps,1992,
3)HalVarian,MicroeconomicAnalysis,中译本,
4)EugeneSilberbergandWingSun,2000,The
StructureofEconomics:aMathematical
Analysis,3rdedition,McGraw-HillHigher
Education
第一章:消费理论
1.基本概念
2.偏好关系和效用函数
3.消费者的优化问题
4.间接效用函数和支出最小化
5.需求的特征
一、基本概念
1、选择集X
定义:所有可能的(能实现的和不能实现的)消费(选择)
方案x的集合。
消费方案X:
商品:
1)商品数量无限可分:,商品数量是连续的。
2)商品数量非负:%e+
3)商品种类为:n
消费方案(选择方案,消费束):X=£X=:
特征:
1、非空集
2、闭集:p.429,定义AL11
3、凸集:P.411,A1.2.2
4、包含原点:OEX
X]
=(xpx2)GX
0
n
选择集X=-4-
2、可行集5:制度约束、经济约束等
可行集5
3、偏好关系
4、行为假设
resourceful,emm:MichaelJensen,Williammeckling
natureoftheman
Theconsumerseekstoidentifyandselectanavailable
alternativethatismostpreferredinthelightofhis
personaltastes.
在各种能够实现的消费方案中,消费者选择他最偏好的
消费方案。
1选择集一>2可行集1
__________,-»|4行为假设
3偏好关系J
二、偏好关系和效用函数
Debreu(1959)
1、偏好关系
①、关系、两兀关系:p.415-p.416
②、两元关系占的定义:定义在消费集X上,反映X中任
意两个点之间的关系:X19X2GX,如果有的Ax?,则对该
消费者而言,“XI至少和X2一样好”,或者,“在X]和X2之间,
消费者弱偏好X」
③、偏好关系的特征:④⑤⑥
公理一:穷尽性公理:对于选择集X中任意的两个要素父
和X?,有X-X?或X?〉X1
含义:
♦消费者能够做出选择
♦消费者具有无限的认知能力
♦消费者具有无限的判断能力
公理二:传递性公理:对于选择集X中任何的三个要素X】、
X?和X?,如果M>X、和X?AX3,则有X】AX3o
含义:
♦消费者的选择具有一致性
♦适用条件
偏好关系
♦(弱)偏好关系>:消费集X上的两元关系上,如果
满足公理一和公理二,就是偏好关系。
理性:公理一十公理二
♦严格偏好关系>:X1X2«X1X?且X?/X1
1
♦无差异关系:X】X?=MAX?且X?AX
公理三:连续性公理:对于选择集X=:中的任何元素X,
>x和Y乂在乂=:中为闭集。P.431定理A1.9,
P.422定义A1.6,P.423定理A1.4。
公理四:无局部飨足点公理:对于所有的X°£)对于所
有的£>0,始终存在着某个:,有
XAX°。
含义:
0几
♦飨足点:对于所有的XG+,有某一个XAX0,
X为飨足点
0〃
♦局部飨足点:对于X£+,在X。的某个邻域
纥(当n:内,存在着x>'£纥(即:,xo
为局部飨足点
公理四:严格单调性公理:对于所有的x°,x%如果
X°>X1,有X°AX1;如果X°X1,有X°Axl。
含义:
.多多益善
♦去掉了亲差异曲线上任何一点的右上部分和
左下部分
A
公理五:凸性定理:如果父〉X0,那么,对于所有的
tG[0,1],有&+(lT)X°=xtAx°o
公理五:严格凸性定理:如果x°,那么,对
于所有的,£(0,1),有次+(1T)X°AX°。
1
X0
当MX°时,有:X'AX°
当xl〉X°时,有:X,AX°
凸性但非严格凸性严格凸性
含义:X
♦平均优于极端
♦边际替代率递减
2
%
MRS不变和MRS上升
效用函数
定义:实值函数":一,如果对于所有的x°,x%
有"(x°)>w(x')«x°^x',则该函数被称为反映偏好关系
占的效用函数。
3
8
+
X
2,
(N
定理L1效用函数存在性定理:如果两元关系R满足穷尽
性、传递性、连续性和严格单调性,则存在着反映这一关
系的连续的、单调递增的实值效用函数":O
定理L3:效用函数的正向单调变换不变性定理:
设占是:上的偏好关系,"(x)是反映此偏好关系的效用函
数,对于每一个X,当前仅当=,其中,
/:T在定义域上严格递增时,函数v(x)也反映该偏好
关系。
定理L4:偏好关系和效用函数的特征:
设“:;一反映偏好关系上,有
“X)严格递增O占严格单调
“X)拟凹O占为凸集
“X)严格拟凹O占为严格凸集
消费者选择
消费者选择能够支付得起的最优商品组合O
“支付得起”——预算集
“最优”一一偏好关系
预算集:B=^XXE:,px«y,po,y2o}
■消费者从预算集中选择最偏好的商品组合(点)X*:
XGB,且对于所有的X£3,有X*〜AX。
■消费者从预算集中选择最大化效用函数的点X*:
x=argmax〃(x),s,t.px<y
max(、
”(x),
xQB',
消费者的问题:
几
s工pxKynZp/i«y
i=l
此最大化问题是否有解:
是否有唯一解:
定理Al.10:极值的存在性定理
设Sw:是非空紧集,f:Sr是连续的实值映射,则存
在向量X*ES和向量文ES,对于所有的XES,有
/(x)</(x)</(x*)
证明:
“(X)连续
B=|xXG:,pxVy,p0,y>o|:非空、闭集、有界集
定理A2.14:目标函数严格拟凹
消费者的问题:maXw(x),pxVy的解:
XGB
马歇尔需求函数X*=x(p,y)
1、两维空间:预算线和无差异曲线之间的关系相交一相
切一不相交
预算线与无差异曲线相切:
预算线的斜率:-匹
,2
无差异曲线的斜率:MRS4二MU1
dxxMU2
-匹=MRS=^MU1
p2dxxMU2
解得马歇尔需求函数x*=x(p,y)
2、假设效用函数〃(x)连续可导,可以用拉格朗日方法求
消费者问题的解:max“x),px<y
XEBV7
(1)、根据偏好关系的严格单调性定理,约束条件必然为
px=y:预算平衡性定理
构造拉格朗日函数:L(x,2)=w(x)+2(y-px)
-阶条件."㈤十彳。
|^VL(x,2)=Vw(x)+2p=0
二阶条件:加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数x*=x(p,y)
(2)、不等约束条件下的极值Kuhn—Tucker定理:
构造拉格朗日函数:L(x,2)=w(x)+2(y-px)
L(x"):y_px20
一阶条件:<2(y-px)=0
VL(x,2)=Vw(x)-2p=0
二阶条件:加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数x*=x(p,y)
例题:消费者的效用函数为"(%,々)=¥元尸,求马歇尔需
求函数。
解:设商品1和商品2的价格分别为P”P2〉O,消费者收
入为y>0。消费者的决策为:
x^x2
s.t.,+p2x2=y
构造拉格朗日函数:
+2y-p{x{-p2x2
最优解(%,2)满足一阶条件:
=ccx^~xx^a_4p[=0
dxx
^L(X19X2,2)(M
=^x;-2p2=0
8xx
Pl-+p2x2=y
解得马歇尔需求函数:
Xi(Pi,P2,y)=a2
Pi
X2(Pi,/W)=(l-0』
Pi
消费者的最大效用为:
/ax(%,%)二邸只
—?--aa(1-a\-cc
y
P;P尸I
间接效用函数为:
a\-a
maxG,%)=a芍a{\-ay
PiPi
="p,y)
定理1.5
马歇尔需求函数x*(p,y)的可导性:
作用:比较静态分析——参数或模型结构的变化对模型解
的影响——价格变化或收入变化导致的解的变化:
&*(p,y),或&*(p,y)
3Pt'〜Sy
设x*(p,y)是消费者最大化问题的解,需求函数可导性的条
件是:
效用函数二阶可导
某些或全部商品的边际效用大于零
效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式
间接效用函数
直接效用函数:“X)
间接效用函数:v(p,y)=max“x)s.t.px<y
X
v(P,y)="x*=x(p,y))
间接效用函数的特征:
间接效用函数
1)在:+X+上连续
2)在(p,y)上零阶齐次性
3)在y上严格递增
4)在p上严格递减
5)在(p,y)上拟凹
6)罗伊恒等式:如果v(p»)在(p°,y°)上可导,并且
p°»°
。0,有:
Sy
p°,y°
bPi
七(p°,Ki—1,
0
p,y
Sy
间接效用函数v(p,y)=w(x)s.t.px«y的特征
X
1、间接效用函数在:+X+上连续
p.505最大值定理:如果目标函数和约束条件在参数上连
续,定义域为紧集,则值函数在参数上连续。
2、间接效用函数在(p,y)上零阶齐次性
max/
v(p,y)u(x)s.t.px=y
X
间接效用函数在(p,y)上零阶齐次性:
v«p,o)"v(p,y)=v(p,y)/〉o
max/max(、
u(x〃
Vx=>v(rp,ry)=xx=y(p»)
si.tpx=tys.t.px=y
3、间接效用函数v(p,y)在y上严格递增包"〉()
应用包络定理:
构造拉格朗日函数L(x,X)=〃(x)+2(y—px)
根据包络定理,色(p,y)/L(x")"2的符号?
“力
^L(x,2)_^(x)除(p»)_
—/Lp;—U—7^yl〉U—7^—/L〉U
5x.[、5x.:•〉()5y/
>0
5、间接效用函数v(p,y)在价格上递减
设价格向量pi2P2,求证v(pMy)Vv(p2,y)
max/、i口…力1L(P;y)=〃xi)
“x),pxVyn取优解x'J,,
x[PA[=y
p1>p2^>p2x'<px'二ynx】e5={xxe:,p、<y}
max/、9口“、f9v(p2,y)=〃(x2)2〃
〃(x),p-xVyn取优解X-n1\V
x[Px=y
V(p2,y)=W(x2)>w(x1)=V(p1,y)
6、间接效用函数v(p»)在(p»)上拟凸
定理A1.18:拟凸性和劣集(quasiconvexityandinferiorsets)
当且仅当对于所有的ys,劣集/(y)是凸集,函数
f:Dr是拟凸函数。
劣集/(y)的定义:/(y)三{x|x£OJ(x)«y}
证明间接效用函数v(p»)在(p,y)上拟凸,只需证明其劣集
/(左)三{(p,y)|p£+#8»)«左,左£}为凸集。
在/(左)中选两点,设v(p2,丁)4左,取
(P,y)=(中1+(l-^)p2,ry1+(1-。力,我们要证明
v(pJ)WA。也就是说,对于任何满足p'xYV的最优解
我们得证明〃(父)4%。
pxr<y
tpxr+(l-r)p2xr<ry'+(l-/)y2
三种可能性:
pR《Jn〃(x]vv(pi,y)〈人
P2xr<y2
p\r<J和p?x/<y2
6、间接效用函数v(p,y)
例题:
a。收xa+f3
证明v(p,y)=厂幺满足间接效用函数的特征
(夕+⑶)P;P;
支出函数
给定价格P实现某一效用水平"所需的最小支出:
min/、
px,s.t.,w(x)>u
X
最优解为希克斯需求函数最小支出为px〃(p①
支出函数e:\x->为:
^(p,w)=px/z(p,w),X/Z€XG+,W(X)>U.UG}
min/、
=px,s3,u(x)>u
X
<px,XGX€+,w(x)>U.UG}
两元空间支出最小化:
(p,〃)=猛(P1,〃2,〃)+(P1,〃2,〃)
=mmPi再(〃1,〃2,")+必々(八〃2,〃),
s"w(xpx2)>W
希克斯需求函数(补偿需求函数,或实际收入不变的需求
函数):效用函数“X)严格单调递增,所以有唯一的无差
异曲线与〃相对应,因此可以把所要实现的效用水平〃写作
O
min/、
px,S"u(x)>u
X
可以写为:
min/、
px,S.t.,U[X)>w(x)
X
支出函数可以表述为在给定价格p下,实现消费束天所带来
的效用,所需的最小支出。实际购买力用商品数量表示,
所以支出函数又可以表述为在给定价格P下,实现实际购
买力友所带来的效用,所需的最小支出。因此,希克斯需
求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。
在效用最大化中,货币收入不变,马歇尔需求函数又被称
为“货币收入固定的需求函数”。
支出函数e(p,〃)的特征
1.在"取最低效用水平时,支出函数e(p,〃)为零
2.在定义域e::+xf上连续
3.对于所有的p0,支出函数在〃上递增并且无上界
4.在价格p上递增
5.在价格p上一阶齐次性
6.在价格p上为凹函数
7.如果效用函数严格拟凹,有谢菲尔德引理:
证明:
1、在“取最低效用水平时,支出函数e(p/)为零
》取最低效用水平:u=即x=0
支出函数e(p,〃)=px=pO=0
2、在定义域e:\xt上连续
3、对于所有的p0,支出函数在〃上递增并且无上界
MM>0
5u
根据包络定理:
min
px,s.t.,“(x)>u
X
拉格朗日函数:L(x,2)=px+2(W-W(x))
%(p,M)^L(X,2)斗(一阶条件)
—-——-=——------=Pi
阻5xi京
>0
友(p,〃)
————/L
SuSu
4、在价格p上递增
友(p,〃)
>0
sPt
5、在价格p上一阶齐次性
=卜(p,〃)
6、e(p,〃)在价格p上为凹函数
固定效用为沅,取价格p',p",p"',p"'=yp'+(l-a)p",设在
价格为p"'时最优解为x,支出函数为
e(pw,w)=pwx
=6q)'x+(l—i)p"x
7、如果效用函数严格拟凹,有谢菲尔德引理:
Jz/00\
不(P)
§Pi
根据包络定理
例子:消费者的效用函数为“玉,%)=疗工厂,求希克斯需
求函数和支出函数。
max
(xx)=xjx:">
解:pxx{+p2x2s.t.,up2u
X],X?
构造拉格朗日函数,利用一阶条件,解得希克斯需求函数:
1—CL
(\op?
%h(P1,P2,")=T,—LII,
1(1-0P1
7
、a
(1—微)P1
只(.1,22,沅)=-------U
Iap?)
『a(y“Y。—a)
e(Pi,P2,〃)=OC(1—cZIP:PT"
马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系:
Supposethat)isacontinuousutilityfunction
representingalocallynonsatiatedpreferencerelation>
definedontheconsumptionsetX-:andtheprice
vectorisp0.Wehave
①Ifx*isoptimalintheutilitymaximizationproblem
*
whenwealthisy>0,thenx"isoptimalinthe
expenditureminimizationproblemwhentherequired
utilitylevelis.Moreover,theminimized
expenditurelevelinthisexpenditureminimization
problemisexactlyy.
②ifx*isoptimalintheexpenditureminimization
problemwhentherequiredutilitylevelisu>w(0),then
*
xisoptimalintheutilitymaximizationproblemwhen
*
wealthispx.Moreover,themaximizedutilitylevelin
thisutilitymaximizationproblemisexactlyu.
假设“)是满足假设1.2的效用函数,我们有:
①如果在收入为y〉0时,x*是效用最大化问题的最优解,
那么在支出最小化问题中,当所要实现的效用水平为
“(X)时,x*是最优解。而且,在这一支出最小化问题中,
最小的支出水平正好为y。
②如果在支出最小化问题中,当所要实现的效用水平为
“〉“0)时,x*是最优解,那么在效用最大化问题中,当
收入为px*时,x*是最优解。而且,在效用最大化问题中,
最大效用水平正好为M。
证明:①
效用最大化问题为:max〃(x),s.t.px<
x
设X*是此问题的解,于是有
x,x*eB=1x|px<y}和px*=y
*
支出最小化问题为:111111px,s.t.u(x)>u
X
设X*是此问题的解,于是有
px*<px,x\xG|xu(x)>u=和〃(x*)>u=u(x
假设X*不是支出最小化问题的解。设K是其解,有
px,<px*«y和〃(x,"Mx*)。根据弱单调性公理,在M的
任何邻域中,存在x〃,且有px"<y。就是
说,x"£5={x|px«y},又因为〃(x")所
以,x”是更优的点。这与前提条件相矛盾,因此,x*是在
所要实现的效用水平为"X*)时,支出最小化问题的最优
解。
在收入为y>0时,x*是UMP的最优解,则x*是马歇尔需
求函数x*=x(p,y),此时,=v(p,y),=px;在
EMP中,当所要实现的效用水平为4X*)时,x*是最优解,
则X*是希克斯需求函数X*=X,=xh(p,v(p,y)),
也就是说,我们有x(p,y)=x〃(p#(p,y)),支出函数为
e(p,〃(x*))=e(p,v(p,y))=px*=%即e(p,v(p,y))二y。
证毕。
②假设在效用最大化问题中,当收入为px*时,X*不是最
优解。X,是最优解,px<px,W(xf)>w(x:jO取
x"=axg£((M)。根据"。的连续性,当a足够地接近1
时,有px"«px*,且这和前提条件相矛盾,
所以x*是效用最大化问题的最优解。在支出最小化问题
中,当所要实现的效用水平为“〉"(0)时,x*是最优解,
就是说,是希克斯需求函数,有x*=x〃(p,〃)
x*是在收入为px*时,效用最大化问题的解,也就是马歇
尔需求函数,所以有x*=x(p,px*)。因此,我们有:
x,(pM=x(p,e(p,〃))
最大效用即间接效用函数为v(p,y)=v(p,px*)="x*)
x*是支出最小化问题的解,有px*=e(p,〃),又"="x》
所以有=以小,68,〃))=〃
证毕。
例子:利用间接效用函数
v^,y)=-^—aa(\-a^ay
PlPl
求支出函数
解:令y=e(pM,
v(p,e(p,w))=e(p,〃)=u
e(=up^pl~aa~a(l-a^a1
利用希克斯需求函数d(P1,P2,〃)=[,]〃求马歇尔需
求函数。
解:令〃=v(p,y),v(p,y)=J].。"1-夕尸y
Xi(p,y)=X'(Pi,P2'V(p,y))
y(p,y)
(1—0Pl
(1—0Pi
马歇尔需求函数的特征(比较静态分析)
马歇尔需求函数:x(p,y)
Walras法则(预算平衡性):
px(p,y)三y
在价格和收入上零阶齐次性
对于所有的方>0,有x(p,y)三x(卯,a),
比较静态分析:
1.某种商品价格变化所导致的对其他商品和该商品本
身需求的变化;
2.收入变化所导致的对商品的需求的变化。
*(P»)..1
SPj
<
M(p,y)
i=
替代效应:保持效用不变,相对价格变化所导致的消费的
变化。
收入效应:相对价格保持不变,收入改变所导致的消费的
变化。
其中,/是在价格为p、收入为y时所实现的效用。因此有
/=V(P»),于是e(p,“*)=e(p,v(p,y))=y,所以’上式
等号右边为复合函数:x,(p,y),y=e(p,〃*)。
第一步:等号左右两边同时对巴.求导数,得到
皿bPj
5x,(p,y)bx,(p,y)&(p,"*)
=------------1------------------------
BPjSy8pj
h
第二步:——―=x;(p,v(p,y))=x;(P,y)
(p,y)_
Bp,Bp,
<_______7_______JK___________v」
TotalEffectSubstitutionEffectIncomeEffect
矩阵表示:
‘g(p,y)g(p,y)'
bp】Bp/
•••
•••
•••
J(p»)J(P»)
<bPiSpn)
[智%(P,y)
oy
(P»)
可M(p,y)
定理1.11:设x(p»)是马歇尔需求函数,力是在价格P、
为收入为y时所实现的效用,有Slutsky方程:
办(p,y)_
2,J—o
bPjbPjoy
<_______7_______JJ一一V」
TotalEffectSubstitutionEffectIncomeEffect
当/=,时,Slutsky方程衡量商品价格变化对其自身需求
的影响:
5x,(p,y)f(p,y)中
MiMi
①自替代项由“(P①的特征:
Mi
②正常商品:在价格不变时,随着收入增加,其消费增加
的商品,叫做“正常商品”。对正常商品,有
■(口»))0
力
非正常商品:在价格不变时,随着收入增加,其消费减少
的商品,叫做“非正常商品”。对非正常商品,有
闲(P,y)
<0o
力
定理L13:需求法则(定律):
正常商品:
口(p,y)_f(p,y)5
bPiEiv—v—‘oy
>o-----v-----,
<0>o
k___________V/
____V______<_0________)
<0
③定理L14:对称替代项:
设x〃(p』)是希克斯需求函数,支出函数e(・)连续二阶可
导,有:
四(P,“)JX;(PM.
=~,i,J=I…..n
opjXi
证明:根据谢菲尔德引理,有只(p,〃)="于是
6de1(p,w)
bPj7bPiPj
_8_
(X;(P,〃))=
EibPiISpjJbPjPt
be(p,〃)=be(p,“),所以有.
根据杨格定理(A2.2),有
BPiPjbPjPi9.
④替代矩阵:
(3x[
3Pl“n
b(p,〃)二
IMBP-
定理:L15负半定替代矩阵:
替代矩阵b(p,〃)=
22
5(p,w)dXy(p,〃]3e(p,w)3e
SB5Pn5Plp〃
h1/?
万(n7/1万xfnKefnZ/^Av
⑤定理1.16对称和负半定的Slutsky矩阵
Slutsky方程:
凡(p,y)3dbx,(P,V)
f(p»),i,j=L…
5PjEi力
有Slutsky项:
5x\(pP,,w/)*(p,y)3x,(p,y)
+X/(P»)i,j—1,…,R
bPjBp:办
矩阵形式为:
/闲,(p,〃*bx:(p,〃*、
bPi5Pn
3d(p,/)配(p,〃*
6nKn
弹性:
设x,(p,y)是对商品,的马歇尔需求。定义:
1、商品,上的支出份额:心三a","'?)三"p/,(p,y),
,产,(p’y)
j=l
有
①号〉0
“几()ZP/,(P»)
②义,•这"p,yi=l
n=i
i-li=lyZ”(p,y)
,=i
一,(p,y)
收入弹性:坐上三汕
2、
定理L17:消费者需求中的加总:
设马歇尔需求函数为x(p,y),根据Walras法则(预算平
衡性),有:
px(p,y)=y
1、等号左右两边同时对y求导,得到:
yMP12)=1
即.々。七(P»)应(P»),一
有Engel加总:Zs“i=1
i-l
2、等号左右两边同时对匕求导,得到:
35x.fn.,、SXID.V)
马歇尔需求函数x(p,y)在价格和收入上零阶齐次性:
对于所有的/>0,有x(p,y)三x«p0)
等号左右两边同时对%求导,并使"1:
S*(p,y)M(p»)..1
o=\----p;-+--------乂7=1,…,几
MbPjSy
等号左右两边同乘以一二,得到:
x,(p,y)
.二.应8»)]产,(p,y)],
,/=i”j,x,(p,y)Syx,(p,y)‘
即:0=%+q
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EA
=—%(p,y)+%(p,y)
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本章知识点:
二消费集和消费集的特征;可行集;预算集
三偏好关系和偏好关系的特征
效用函数的定义;效用函数存在性证明(不作要求);
效用函数正单调变换不变性定理;偏好特征与效用函
四数的特征;边际替代率;消费者优化问题的解
间接效用函数的
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