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文档简介

高级微观经济学

课本:

参考书:

1)AndreuMas-Colell,MichaelD.Whinstonand

JerryR.Green,1995,MicroeconomicTheory,

OxfordUniversityPress;中译本:《微观经济

理论》,经济科学出版社

2)DavidKreps,1992,

3)HalVarian,MicroeconomicAnalysis,中译本,

4)EugeneSilberbergandWingSun,2000,The

StructureofEconomics:aMathematical

Analysis,3rdedition,McGraw-HillHigher

Education

第一章:消费理论

1.基本概念

2.偏好关系和效用函数

3.消费者的优化问题

4.间接效用函数和支出最小化

5.需求的特征

一、基本概念

1、选择集X

定义:所有可能的(能实现的和不能实现的)消费(选择)

方案x的集合。

消费方案X:

商品:

1)商品数量无限可分:,商品数量是连续的。

2)商品数量非负:%e+

3)商品种类为:n

消费方案(选择方案,消费束):X=£X=:

特征:

1、非空集

2、闭集:p.429,定义AL11

3、凸集:P.411,A1.2.2

4、包含原点:OEX

X]

=(xpx2)GX

0

n

选择集X=-4-

2、可行集5:制度约束、经济约束等

可行集5

3、偏好关系

4、行为假设

resourceful,emm:MichaelJensen,Williammeckling

natureoftheman

Theconsumerseekstoidentifyandselectanavailable

alternativethatismostpreferredinthelightofhis

personaltastes.

在各种能够实现的消费方案中,消费者选择他最偏好的

消费方案。

1选择集一>2可行集1

__________,-»|4行为假设

3偏好关系J

二、偏好关系和效用函数

Debreu(1959)

1、偏好关系

①、关系、两兀关系:p.415-p.416

②、两元关系占的定义:定义在消费集X上,反映X中任

意两个点之间的关系:X19X2GX,如果有的Ax?,则对该

消费者而言,“XI至少和X2一样好”,或者,“在X]和X2之间,

消费者弱偏好X」

③、偏好关系的特征:④⑤⑥

公理一:穷尽性公理:对于选择集X中任意的两个要素父

和X?,有X-X?或X?〉X1

含义:

♦消费者能够做出选择

♦消费者具有无限的认知能力

♦消费者具有无限的判断能力

公理二:传递性公理:对于选择集X中任何的三个要素X】、

X?和X?,如果M>X、和X?AX3,则有X】AX3o

含义:

♦消费者的选择具有一致性

♦适用条件

偏好关系

♦(弱)偏好关系>:消费集X上的两元关系上,如果

满足公理一和公理二,就是偏好关系。

理性:公理一十公理二

♦严格偏好关系>:X1X2«X1X?且X?/X1

1

♦无差异关系:X】X?=MAX?且X?AX

公理三:连续性公理:对于选择集X=:中的任何元素X,

>x和Y乂在乂=:中为闭集。P.431定理A1.9,

P.422定义A1.6,P.423定理A1.4。

公理四:无局部飨足点公理:对于所有的X°£)对于所

有的£>0,始终存在着某个:,有

XAX°。

含义:

0几

♦飨足点:对于所有的XG+,有某一个XAX0,

X为飨足点

0〃

♦局部飨足点:对于X£+,在X。的某个邻域

纥(当n:内,存在着x>'£纥(即:,xo

为局部飨足点

公理四:严格单调性公理:对于所有的x°,x%如果

X°>X1,有X°AX1;如果X°X1,有X°Axl。

含义:

.多多益善

♦去掉了亲差异曲线上任何一点的右上部分和

左下部分

A

公理五:凸性定理:如果父〉X0,那么,对于所有的

tG[0,1],有&+(lT)X°=xtAx°o

公理五:严格凸性定理:如果x°,那么,对

于所有的,£(0,1),有次+(1T)X°AX°。

1

X0

当MX°时,有:X'AX°

当xl〉X°时,有:X,AX°

凸性但非严格凸性严格凸性

含义:X

♦平均优于极端

♦边际替代率递减

2

%

MRS不变和MRS上升

效用函数

定义:实值函数":一,如果对于所有的x°,x%

有"(x°)>w(x')«x°^x',则该函数被称为反映偏好关系

占的效用函数。

3

8

+

X

2,

(N

定理L1效用函数存在性定理:如果两元关系R满足穷尽

性、传递性、连续性和严格单调性,则存在着反映这一关

系的连续的、单调递增的实值效用函数":O

定理L3:效用函数的正向单调变换不变性定理:

设占是:上的偏好关系,"(x)是反映此偏好关系的效用函

数,对于每一个X,当前仅当=,其中,

/:T在定义域上严格递增时,函数v(x)也反映该偏好

关系。

定理L4:偏好关系和效用函数的特征:

设“:;一反映偏好关系上,有

“X)严格递增O占严格单调

“X)拟凹O占为凸集

“X)严格拟凹O占为严格凸集

消费者选择

消费者选择能够支付得起的最优商品组合O

“支付得起”——预算集

“最优”一一偏好关系

预算集:B=^XXE:,px«y,po,y2o}

■消费者从预算集中选择最偏好的商品组合(点)X*:

XGB,且对于所有的X£3,有X*〜AX。

■消费者从预算集中选择最大化效用函数的点X*:

x=argmax〃(x),s,t.px<y

max(、

”(x),

xQB',

消费者的问题:

s工pxKynZp/i«y

i=l

此最大化问题是否有解:

是否有唯一解:

定理Al.10:极值的存在性定理

设Sw:是非空紧集,f:Sr是连续的实值映射,则存

在向量X*ES和向量文ES,对于所有的XES,有

/(x)</(x)</(x*)

证明:

“(X)连续

B=|xXG:,pxVy,p0,y>o|:非空、闭集、有界集

定理A2.14:目标函数严格拟凹

消费者的问题:maXw(x),pxVy的解:

XGB

马歇尔需求函数X*=x(p,y)

1、两维空间:预算线和无差异曲线之间的关系相交一相

切一不相交

预算线与无差异曲线相切:

预算线的斜率:-匹

,2

无差异曲线的斜率:MRS4二MU1

dxxMU2

-匹=MRS=^MU1

p2dxxMU2

解得马歇尔需求函数x*=x(p,y)

2、假设效用函数〃(x)连续可导,可以用拉格朗日方法求

消费者问题的解:max“x),px<y

XEBV7

(1)、根据偏好关系的严格单调性定理,约束条件必然为

px=y:预算平衡性定理

构造拉格朗日函数:L(x,2)=w(x)+2(y-px)

-阶条件."㈤十彳。

|^VL(x,2)=Vw(x)+2p=0

二阶条件:加边海赛矩阵为负半定

解得马歇尔需求函数x*=x(p,y)

(2)、不等约束条件下的极值Kuhn—Tucker定理:

构造拉格朗日函数:L(x,2)=w(x)+2(y-px)

L(x"):y_px20

一阶条件:<2(y-px)=0

VL(x,2)=Vw(x)-2p=0

二阶条件:加边海赛矩阵为负半定

解得马歇尔需求函数x*=x(p,y)

例题:消费者的效用函数为"(%,々)=¥元尸,求马歇尔需

求函数。

解:设商品1和商品2的价格分别为P”P2〉O,消费者收

入为y>0。消费者的决策为:

x^x2

s.t.,+p2x2=y

构造拉格朗日函数:

+2y-p{x{-p2x2

最优解(%,2)满足一阶条件:

=ccx^~xx^a_4p[=0

dxx

^L(X19X2,2)(M

=^x;-2p2=0

8xx

Pl-+p2x2=y

解得马歇尔需求函数:

Xi(Pi,P2,y)=a2

Pi

X2(Pi,/W)=(l-0』

Pi

消费者的最大效用为:

/ax(%,%)二邸只

—?--aa(1-a\-cc

y

P;P尸I

间接效用函数为:

a\-a

maxG,%)=a芍a{\-ay

PiPi

="p,y)

定理1.5

马歇尔需求函数x*(p,y)的可导性:

作用:比较静态分析——参数或模型结构的变化对模型解

的影响——价格变化或收入变化导致的解的变化:

&*(p,y),或&*(p,y)

3Pt'〜Sy

设x*(p,y)是消费者最大化问题的解,需求函数可导性的条

件是:

效用函数二阶可导

某些或全部商品的边际效用大于零

效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式

间接效用函数

直接效用函数:“X)

间接效用函数:v(p,y)=max“x)s.t.px<y

X

v(P,y)="x*=x(p,y))

间接效用函数的特征:

间接效用函数

1)在:+X+上连续

2)在(p,y)上零阶齐次性

3)在y上严格递增

4)在p上严格递减

5)在(p,y)上拟凹

6)罗伊恒等式:如果v(p»)在(p°,y°)上可导,并且

p°»°

。0,有:

Sy

p°,y°

bPi

七(p°,Ki—1,

0

p,y

Sy

间接效用函数v(p,y)=w(x)s.t.px«y的特征

X

1、间接效用函数在:+X+上连续

p.505最大值定理:如果目标函数和约束条件在参数上连

续,定义域为紧集,则值函数在参数上连续。

2、间接效用函数在(p,y)上零阶齐次性

max/

v(p,y)u(x)s.t.px=y

X

间接效用函数在(p,y)上零阶齐次性:

v«p,o)"v(p,y)=v(p,y)/〉o

max/max(、

u(x〃

Vx=>v(rp,ry)=xx=y(p»)

si.tpx=tys.t.px=y

3、间接效用函数v(p,y)在y上严格递增包"〉()

应用包络定理:

构造拉格朗日函数L(x,X)=〃(x)+2(y—px)

根据包络定理,色(p,y)/L(x")"2的符号?

“力

^L(x,2)_^(x)除(p»)_

—/Lp;—U—7^yl〉U—7^—/L〉U

5x.[、5x.:•〉()5y/

>0

5、间接效用函数v(p,y)在价格上递减

设价格向量pi2P2,求证v(pMy)Vv(p2,y)

max/、i口…力1L(P;y)=〃xi)

“x),pxVyn取优解x'J,,

x[PA[=y

p1>p2^>p2x'<px'二ynx】e5={xxe:,p、<y}

max/、9口“、f9v(p2,y)=〃(x2)2〃

〃(x),p-xVyn取优解X-n1\V

x[Px=y

V(p2,y)=W(x2)>w(x1)=V(p1,y)

6、间接效用函数v(p»)在(p»)上拟凸

定理A1.18:拟凸性和劣集(quasiconvexityandinferiorsets)

当且仅当对于所有的ys,劣集/(y)是凸集,函数

f:Dr是拟凸函数。

劣集/(y)的定义:/(y)三{x|x£OJ(x)«y}

证明间接效用函数v(p»)在(p,y)上拟凸,只需证明其劣集

/(左)三{(p,y)|p£+#8»)«左,左£}为凸集。

在/(左)中选两点,设v(p2,丁)4左,取

(P,y)=(中1+(l-^)p2,ry1+(1-。力,我们要证明

v(pJ)WA。也就是说,对于任何满足p'xYV的最优解

我们得证明〃(父)4%。

pxr<y

tpxr+(l-r)p2xr<ry'+(l-/)y2

三种可能性:

pR《Jn〃(x]vv(pi,y)〈人

P2xr<y2

p\r<J和p?x/<y2

6、间接效用函数v(p,y)

例题:

a。收xa+f3

证明v(p,y)=厂幺满足间接效用函数的特征

(夕+⑶)P;P;

支出函数

给定价格P实现某一效用水平"所需的最小支出:

min/、

px,s.t.,w(x)>u

X

最优解为希克斯需求函数最小支出为px〃(p①

支出函数e:\x->为:

^(p,w)=px/z(p,w),X/Z€XG+,W(X)>U.UG}

min/、

=px,s3,u(x)>u

X

<px,XGX€+,w(x)>U.UG}

两元空间支出最小化:

(p,〃)=猛(P1,〃2,〃)+(P1,〃2,〃)

=mmPi再(〃1,〃2,")+必々(八〃2,〃),

s"w(xpx2)>W

希克斯需求函数(补偿需求函数,或实际收入不变的需求

函数):效用函数“X)严格单调递增,所以有唯一的无差

异曲线与〃相对应,因此可以把所要实现的效用水平〃写作

O

min/、

px,S"u(x)>u

X

可以写为:

min/、

px,S.t.,U[X)>w(x)

X

支出函数可以表述为在给定价格p下,实现消费束天所带来

的效用,所需的最小支出。实际购买力用商品数量表示,

所以支出函数又可以表述为在给定价格P下,实现实际购

买力友所带来的效用,所需的最小支出。因此,希克斯需

求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。

在效用最大化中,货币收入不变,马歇尔需求函数又被称

为“货币收入固定的需求函数”。

支出函数e(p,〃)的特征

1.在"取最低效用水平时,支出函数e(p,〃)为零

2.在定义域e::+xf上连续

3.对于所有的p0,支出函数在〃上递增并且无上界

4.在价格p上递增

5.在价格p上一阶齐次性

6.在价格p上为凹函数

7.如果效用函数严格拟凹,有谢菲尔德引理:

证明:

1、在“取最低效用水平时,支出函数e(p/)为零

》取最低效用水平:u=即x=0

支出函数e(p,〃)=px=pO=0

2、在定义域e:\xt上连续

3、对于所有的p0,支出函数在〃上递增并且无上界

MM>0

5u

根据包络定理:

min

px,s.t.,“(x)>u

X

拉格朗日函数:L(x,2)=px+2(W-W(x))

%(p,M)^L(X,2)斗(一阶条件)

—-——-=——------=Pi

阻5xi京

>0

友(p,〃)

————/L

SuSu

4、在价格p上递增

友(p,〃)

>0

sPt

5、在价格p上一阶齐次性

=卜(p,〃)

6、e(p,〃)在价格p上为凹函数

固定效用为沅,取价格p',p",p"',p"'=yp'+(l-a)p",设在

价格为p"'时最优解为x,支出函数为

e(pw,w)=pwx

=6q)'x+(l—i)p"x

7、如果效用函数严格拟凹,有谢菲尔德引理:

Jz/00\

不(P)

§Pi

根据包络定理

例子:消费者的效用函数为“玉,%)=疗工厂,求希克斯需

求函数和支出函数。

max

(xx)=xjx:">

解:pxx{+p2x2s.t.,up2u

X],X?

构造拉格朗日函数,利用一阶条件,解得希克斯需求函数:

1—CL

(\op?

%h(P1,P2,")=T,—LII,

1(1-0P1

7

、a

(1—微)P1

只(.1,22,沅)=-------U

Iap?)

『a(y“Y。—a)

e(Pi,P2,〃)=OC(1—cZIP:PT"

马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系:

Supposethat)isacontinuousutilityfunction

representingalocallynonsatiatedpreferencerelation>

definedontheconsumptionsetX-:andtheprice

vectorisp0.Wehave

①Ifx*isoptimalintheutilitymaximizationproblem

*

whenwealthisy>0,thenx"isoptimalinthe

expenditureminimizationproblemwhentherequired

utilitylevelis.Moreover,theminimized

expenditurelevelinthisexpenditureminimization

problemisexactlyy.

②ifx*isoptimalintheexpenditureminimization

problemwhentherequiredutilitylevelisu>w(0),then

*

xisoptimalintheutilitymaximizationproblemwhen

*

wealthispx.Moreover,themaximizedutilitylevelin

thisutilitymaximizationproblemisexactlyu.

假设“)是满足假设1.2的效用函数,我们有:

①如果在收入为y〉0时,x*是效用最大化问题的最优解,

那么在支出最小化问题中,当所要实现的效用水平为

“(X)时,x*是最优解。而且,在这一支出最小化问题中,

最小的支出水平正好为y。

②如果在支出最小化问题中,当所要实现的效用水平为

“〉“0)时,x*是最优解,那么在效用最大化问题中,当

收入为px*时,x*是最优解。而且,在效用最大化问题中,

最大效用水平正好为M。

证明:①

效用最大化问题为:max〃(x),s.t.px<

x

设X*是此问题的解,于是有

x,x*eB=1x|px<y}和px*=y

*

支出最小化问题为:111111px,s.t.u(x)>u

X

设X*是此问题的解,于是有

px*<px,x\xG|xu(x)>u=和〃(x*)>u=u(x

假设X*不是支出最小化问题的解。设K是其解,有

px,<px*«y和〃(x,"Mx*)。根据弱单调性公理,在M的

任何邻域中,存在x〃,且有px"<y。就是

说,x"£5={x|px«y},又因为〃(x")所

以,x”是更优的点。这与前提条件相矛盾,因此,x*是在

所要实现的效用水平为"X*)时,支出最小化问题的最优

解。

在收入为y>0时,x*是UMP的最优解,则x*是马歇尔需

求函数x*=x(p,y),此时,=v(p,y),=px;在

EMP中,当所要实现的效用水平为4X*)时,x*是最优解,

则X*是希克斯需求函数X*=X,=xh(p,v(p,y)),

也就是说,我们有x(p,y)=x〃(p#(p,y)),支出函数为

e(p,〃(x*))=e(p,v(p,y))=px*=%即e(p,v(p,y))二y。

证毕。

②假设在效用最大化问题中,当收入为px*时,X*不是最

优解。X,是最优解,px<px,W(xf)>w(x:jO取

x"=axg£((M)。根据"。的连续性,当a足够地接近1

时,有px"«px*,且这和前提条件相矛盾,

所以x*是效用最大化问题的最优解。在支出最小化问题

中,当所要实现的效用水平为“〉"(0)时,x*是最优解,

就是说,是希克斯需求函数,有x*=x〃(p,〃)

x*是在收入为px*时,效用最大化问题的解,也就是马歇

尔需求函数,所以有x*=x(p,px*)。因此,我们有:

x,(pM=x(p,e(p,〃))

最大效用即间接效用函数为v(p,y)=v(p,px*)="x*)

x*是支出最小化问题的解,有px*=e(p,〃),又"="x》

所以有=以小,68,〃))=〃

证毕。

例子:利用间接效用函数

v^,y)=-^—aa(\-a^ay

PlPl

求支出函数

解:令y=e(pM,

v(p,e(p,w))=e(p,〃)=u

e(=up^pl~aa~a(l-a^a1

利用希克斯需求函数d(P1,P2,〃)=[,]〃求马歇尔需

求函数。

解:令〃=v(p,y),v(p,y)=J].。"1-夕尸y

Xi(p,y)=X'(Pi,P2'V(p,y))

y(p,y)

(1—0Pl

(1—0Pi

马歇尔需求函数的特征(比较静态分析)

马歇尔需求函数:x(p,y)

Walras法则(预算平衡性):

px(p,y)三y

在价格和收入上零阶齐次性

对于所有的方>0,有x(p,y)三x(卯,a),

比较静态分析:

1.某种商品价格变化所导致的对其他商品和该商品本

身需求的变化;

2.收入变化所导致的对商品的需求的变化。

*(P»)..1

SPj

<

M(p,y)

i=

替代效应:保持效用不变,相对价格变化所导致的消费的

变化。

收入效应:相对价格保持不变,收入改变所导致的消费的

变化。

其中,/是在价格为p、收入为y时所实现的效用。因此有

/=V(P»),于是e(p,“*)=e(p,v(p,y))=y,所以’上式

等号右边为复合函数:x,(p,y),y=e(p,〃*)。

第一步:等号左右两边同时对巴.求导数,得到

皿bPj

5x,(p,y)bx,(p,y)&(p,"*)

=------------1------------------------

BPjSy8pj

h

第二步:——―=x;(p,v(p,y))=x;(P,y)

(p,y)_

Bp,Bp,

<_______7_______JK___________v」

TotalEffectSubstitutionEffectIncomeEffect

矩阵表示:

‘g(p,y)g(p,y)'

bp】Bp/

•••

•••

•••

J(p»)J(P»)

<bPiSpn)

[智%(P,y)

oy

(P»)

可M(p,y)

定理1.11:设x(p»)是马歇尔需求函数,力是在价格P、

为收入为y时所实现的效用,有Slutsky方程:

办(p,y)_

2,J—o

bPjbPjoy

<_______7_______JJ一一V」

TotalEffectSubstitutionEffectIncomeEffect

当/=,时,Slutsky方程衡量商品价格变化对其自身需求

的影响:

5x,(p,y)f(p,y)中

MiMi

①自替代项由“(P①的特征:

Mi

②正常商品:在价格不变时,随着收入增加,其消费增加

的商品,叫做“正常商品”。对正常商品,有

■(口»))0

非正常商品:在价格不变时,随着收入增加,其消费减少

的商品,叫做“非正常商品”。对非正常商品,有

闲(P,y)

<0o

定理L13:需求法则(定律):

正常商品:

口(p,y)_f(p,y)5

bPiEiv—v—‘oy

>o-----v-----,

<0>o

k___________V/

____V______<_0________)

<0

③定理L14:对称替代项:

设x〃(p』)是希克斯需求函数,支出函数e(・)连续二阶可

导,有:

四(P,“)JX;(PM.

­=~,i,J=I…..n

opjXi

证明:根据谢菲尔德引理,有只(p,〃)="于是

6de1(p,w)

bPj7bPiPj

_8_

(X;(P,〃))=

EibPiISpjJbPjPt

be(p,〃)=be(p,“),所以有.

根据杨格定理(A2.2),有

BPiPjbPjPi9.

④替代矩阵:

(3x[

3Pl“n

b(p,〃)二

IMBP-

定理:L15负半定替代矩阵:

替代矩阵b(p,〃)=

22

5(p,w)dXy(p,〃]3e(p,w)3e

SB5Pn5Plp〃

h1/?

万(n7/1万xfnKefnZ/^Av

⑤定理1.16对称和负半定的Slutsky矩阵

Slutsky方程:

凡(p,y)3dbx,(P,V)

f(p»),i,j=L…

5PjEi力

有Slutsky项:

5x\(pP,,w/)*(p,y)3x,(p,y)

+X/(P»)i,j—1,…,R

bPjBp:办

矩阵形式为:

/闲,(p,〃*bx:(p,〃*、

bPi5Pn

3d(p,/)配(p,〃*

6nKn

弹性:

设x,(p,y)是对商品,的马歇尔需求。定义:

1、商品,上的支出份额:心三a","'?)三"p/,(p,y),

,产,(p’y)

j=l

①号〉0

“几()ZP/,(P»)

②义,•这"p,yi=l

n=i

i-li=lyZ”(p,y)

,=i

一,(p,y)

收入弹性:坐上三汕

2、

定理L17:消费者需求中的加总:

设马歇尔需求函数为x(p,y),根据Walras法则(预算平

衡性),有:

px(p,y)=y

1、等号左右两边同时对y求导,得到:

yMP12)=1

即.々。七(P»)应(P»),一

有Engel加总:Zs“i=1

i-l

2、等号左右两边同时对匕求导,得到:

35x.fn.,、SXID.V)

马歇尔需求函数x(p,y)在价格和收入上零阶齐次性:

对于所有的/>0,有x(p,y)三x«p0)

等号左右两边同时对%求导,并使"1:

S*(p,y)M(p»)..1

o=\----p;-+--------乂7=1,…,几

MbPjSy

等号左右两边同乘以一二,得到:

x,(p,y)

.二.应8»)]产,(p,y)],

,/=i”j,x,(p,y)Syx,(p,y)‘

即:0=%+q

证明:pCT(p,〃)=b(p,〃)p=0

pcr(p,〃)二

(py)+m)卡3xi(p,y)M(p,y)'

+%(p,y)

/、T

Plbp13p〃by

"J十m)*

3p〃I)办J

'n

g(p,y)nM(p,y)(p,y)fp,

EA+z

EAXu

IiT力Z=1i=l

n-0%(p,y)

EA

=—%(p,y)+%(p,y)

=o

本章知识点:

二消费集和消费集的特征;可行集;预算集

三偏好关系和偏好关系的特征

效用函数的定义;效用函数存在性证明(不作要求);

效用函数正单调变换不变性定理;偏好特征与效用函

四数的特征;边际替代率;消费者优化问题的解

间接效用函数的

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