2026届湖南省湘潭市名校数学九年级第一学期期末联考模拟试题含解析

2026届湖南省湘潭市名校数学九年级第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，为线段上一动点（点不与点、重合），在线段的同侧分别作等边和等边，连结、，交点为．若，求动点运动路径的长为（）A． B． C． D．2．对于函数y＝，下列说法错误的是()A．它的图像分布在第一、三象限 B．它的图像与直线y＝－x无交点C．当x>0时，y的值随x的增大而增大 D．当x<0时，y的值随x的增大而减小3．-2019的相反数是（）A．2019 B．-2019 C． D．4．如图，在▱ABCD中，F为BC的中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接FF交DC于点G，则DG：CG＝（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．2：55．下列事件中，必然事件是（）A．打开电视，正在播放宜春二套 B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨 D．地球绕着太阳转6．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)7．一元二次方程的左边配成完全平方后所得方程为（）A． B． C． D．8．已知线段c是线段a和b的比例中项，若a=1，b=2,则c=()A．1 B． C． D．9．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．10．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（）A． B． C．6 D．1011．下列对于二次根式的计算正确的是()A． B．2＝2C．2＝2 D．2＝12．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大二、填空题（每题4分，共24分）13．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．15．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（结果精确到0.1m）16．反比例函数的图象经过点，，点是轴上一动点.当的值最小时，点的坐标是__________．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝1．则AP＝__（结果保留根号）．18．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值等于___.三、解答题（共78分）19．（8分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位:个）与销售单价x（单位:元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？20．（8分）元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.21．（8分）如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长.22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）画出△ABC关于y轴对称图形△A2B2C2，则△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是．23．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣4x+3＝1．24．（10分）解不等式组：25．（12分）在中，，点是的中点，连接．（1）如图1，若，求的长度；（2）如图2，过点作于点．求证：．（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值．26．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如图所示.请根据图象中的信息解决下列问题:（1）求与之间的函数表达式；（2）当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米；（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米?

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据题意分析得出点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，过点P作OP⊥AB，取AQ的中点E作OE⊥AQ交PQ于点O，连接OA，设半径长为R，则根据勾股定列出方程求出R的值，再根据弧长计算公式l=求出l值即可.【详解】解：依题意可知，点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，如图所示，连接PQ，取AQ的中点E作OE⊥AQ交直线PQ于点O，连接OA，OB.∵P是AB的中点，∴PA=PB=AB=6=3.∵和是等边三角形，∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，∴AP=PD，∠APD=120°.∴∠PAD=∠ADP=30°，同理可证：∠PBQ=∠BCP=30°，∴∠PAD=∠PBQ.∵AP=PB,∴PQ⊥AB.∴tan∠PAQ==∴PQ=.在Rt△AOP中，即解得：OA=.∵sin∠AOP===∴∠AOP=60°.∴∠AOB=120°.∴l===.故答案选B.本题考查了弧长计算公式，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，明确点Q的运动轨迹是一段弧是解题的关键.2、C【解析】A.k=1>0，图象位于一、三象限，正确；B.∵y=−x经过二、四象限，故与反比例函数没有交点，正确；C.当x>0时，y的值随x的增大而增大，错误；D.当x<0时，y的值随x的增大而减小，正确，故选C.3、A【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.【详解】解：-1的相反数是1．故选A．本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.4、B【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证△DEG∽△CFG，可得＝．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵F为BC的中点，∴CF＝BF＝BC＝AD，∵DE：AD＝1：3，∴DE：CF＝2：3，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝．故选：B．此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质.5、D【解析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．【详解】解：、打开电视，正在播放宜春二套，是随机事件，故错误；、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故错误；、明天会下雨是随机事件，故错误；、地球绕着太阳转是必然事件，故正确；故选：．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6、A【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．7、B【解析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【详解】把方程x2﹣2x﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到：x2﹣2x+（﹣1）2＝5+（﹣1）2，配方得：（x﹣1）2＝1．故选B．本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8、B【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=2，故c的值可求，注意线段不能为负．【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2=ab=2，

解得c=±，

又∵线段是正数，∴c=．

故选：B．本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．9、B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.10、C【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝1．故选：C．本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟悉定理是解题的关键．11、C【解析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【详解】A、原式=2，所以A选项错误；B、原式＝，所以B选项错误；C、原式＝2，所以C选项正确；D、原式＝6，所以D选项错误．故选C．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．12、B【解析】先根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx-2=0的两个根为c、d，根据根与系数的关系得出c+d=-b，cd=-2，再判断即可．【详解】x2+bx−2=0，△=b2−4×1×(−2)=b2+8，即方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx−2=0的两个根为c、d，则c+d=−b，cd=−2，由cd=−2得出方程的两个根一正一负，由c+d=−b和b<0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，故答案选：B.本题考查的知识点是根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根的判别式及根与系数的关系.二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】根据方程有两个相等的实数根，可得b2-4ac=0，方程化为一般形式后代入求解即可.【详解】原方程化为一般形式为：mx2+(2m+1)x=0，∵方程有两个相等的实数根∴（2m+1）2-4m×0=0本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．14、【分析】一元二次方程有实数根，即【详解】解：一元二次方程有实数根解得本题考查与系数的关系.15、2.3【解析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．【详解】在Rt△ABC中,∴∴即斜坡AB的长为2.3m.故答案为2.3.考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.16、【分析】先求出A，B点的坐标，找出点B关于y轴的对称点D，连接AD与y足轴交于点C，用待定系数法可求出直线AD的解析式，进而可求出点C的坐标．【详解】解：如下图，作点点B关于y轴的对称点D，连接AD与y足轴交于点C，∵反比例函数的图象经过点，，∴设直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D坐标代入可求出：∴直线AD解析式为：∴点的坐标是：故答案为：．本题考查的知识点是利用对称求线段的最小值，解题的关键是根据反比例函数求出各点的坐标．17、5﹣5【分析】根据黄金分割比的定义计算即可．【详解】根据黄金分割比，有故答案为：．本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键．18、m=-1【解析】把0代入方程有：，∴m1=1，m2=-1.∵m−1≠0∴m=1(舍去)故m=-1.三、解答题（共78分）19、（1）w=－x2+90x－1800；（2）当x=45时，w有最大值，最大值是225（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元【解析】试题分析：（1）根据销售利润=单个利润×销售量，列出式子整理后即可得；（2）由（1）中的函数解析式，利用二次函数的性质即可得；（3）将w=200代入（1）中的函数解析式，解方程后进行讨论即可得.试题解析：（1）w=（x﹣30）•y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x=45时，w有最大值，最大值是225；（3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，解得x1=40，x2=50，∵50＞42，x2=50不符合题意，舍去，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．20、（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克,元/千克.由题得：解之得：答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：解之得：，经检验，，均符合题意答：的值为2或7.本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.21、1+1【解析】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从而得出AB的长度.试题解析：过点C作CD⊥AB于D点，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=1，∴AD=，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=1，∴CD=DB=1，∴AB=AD+DB=1+1．22、（1）作图见解析；（2）关于x轴对称．【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到关于原点的中心对称图形△；（2）依据轴对称的性质，即可得到△，进而根据图形位置得出△与△的位置关系．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是关于x轴对称．故答案为：关于x轴对称．本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换作图，掌握轴对称性的性质以及中心对称的性质是解决问题的关键．23、化简结果是，求值结果是：．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行