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文档简介

函数的单调性1函数单调性的概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D∈I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有fx1>f(Eg:y=1x在特别注意它的减区间是0,+∞,(-∞,0),不是0,+∞2单调性概念的拓展①若y=f(x)递增,x2>x比如:y=f(x)递增,则f(a②若y=f(x)递增,fx2≥f(比如:y=f(x)递增,f(1-m)≥f(n),则1-m≥n.y=f(x)递减,有类似结论!3判断函数单调性的方法①定义法解题步骤(1)任取x1,x(2)作差f(x(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差f(x1)(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).②数形结合③性质法增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数;但增函数×增函数不一定是增函数,比如y=x,y=x-2均是增函数,而y=x(x-2)不是.④复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、比如:Fx=1x2+x(Fx=1-2x(f(u)=uFx=21x((2)同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M,函数y=f(u)(u∈M)若y=fu,u=g(x)在各自区间单调性相同,则复合函数y=f[g(x)]在区间若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性不同,则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.4函数的最值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)∀x∈I,都有fx≤M;(2)∃x那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说,最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.

【题型一】对函数单调性的理解【典题1】函数y=f(x)在R是增函数,若a+b≤0,则有()A.fC.f【解析】∵a又∵函数fx在R上是增函数,∴f(a)+f(b)≤f(-a)+【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数,且对任意x∈R,都有f(f则f(3)的值等于.【解析】∵函数f(x)在R上是单调函数∴可设fx-2x=t(t∴ft∵f(t)在R上单调递增,∴只有t=1时对应的函数值是3,即f(1)=3;∴f(x)=2x【点拨】函数若是单调函数,即函数是“一一对应”的关系,一个x对应一个y,所以题目中“f(x)-2x巩固练习1(★★)设a∈R,函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,则(A.f(a2+a+2)>f(C.f(a2+a+2)≥f(【答案】C【解析】根据题意,a2又由函数f(x)在区间(0,+∞故选:C.2(★★)已知f(x)是定义在[0,+∞)上单调递增的函数,则满足f(2x-1)<f(13)的x【答案】[1【解析】∵f(x)是定义在[0∴不等式f(2x-1)<f(13)等价为即不等式的解集为[1【题型二】判断函数单调性的方法方法1定义法【典题1】判断f(x)=x+4x在(0,2),(2,+∞)【解析】设0<则y1=(x1-x2(1)假如0<x1又x1-(2)假如2<x1又x1-x所以函数在(0,2)内单调递减,在(2,+【点拨】利用定义法证明函数的单调性,注意熟练掌握解题的步骤:设元—作差—变式—定号—下结论.方法2数形结合【典题2】函数fx=x1-xA.-∞,1C.-∞,1,1,+∞【解析】fx=-∴f(x)的图象是由y=-1x的图象沿x轴向右平移1个单位,然后沿y轴向下平移1个单位得到∴f(x)的单调增区间是(-∞,1),(1,+∞).故选C.【点拨】①本题先利用分离常数法,再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性.②利用数形结合的方法,平时需要多注意函数图像的变换,包括平移变换、对称变换、翻转变换等.方法3复合函数的单调性【典题3】函数fx=x2【解析】函数fx=x2+4x-12是由函数∵x2+4x-12≥0,∴(优先考虑定义域,否则容易选B)由二次函数图像易得ux=x2+4x-12而fu=u由复合函数单调性的“同增异减”,可得函数f(x)的单调减区间(-∞,-6].【点拨】①研究函数的基本性质,优先考虑定义域;②研究复合函数,要弄清楚它由什么函数复合而成的.巩固练习1(★)下列四个函数在(-∞,0)是增函数的为()A.fC.f【答案】D【解析】对于A:fx=x2+4对于B:f(x)=1-2x,一次函数,对于C:f(x)=-x2-x+1,二次函数,开口向下,对称轴为对于D:f(x)=2-3x故选:D.2(★)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是()A.y=1f(x)在R上为减函数 B.y=|f(x)|在RC.y=-1f(x)在R上为增函数 D.【答案】D【解析】根据题意,依次分析选项:对于A,若f(x)=x,则y=1f(x)=对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=对于C,若f(x)=x,则y=-1f(x)对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1、x2∈对于y=-f(x),则有则y=-f(x)在R上为减函数,故选:D.3(★)函数f(x)=x|x-2|的递减区间为.【答案】(1,2)【解析】当x≥2时,f(x)=x(x-当x<2时,f(x)=-x(x-2)=-x2即函数f(x)的单调递减区间为(1,故选:C.4(★)函数y=x2+3x的单调递减区间为【答案】(-∞,-3]【解析】由题意,x2+3x≥0,可得函数的定义域为(-∞,-令t=x2+3x,则∵t=x2+3x∴函数y=x2+3x5(★★)函数f(x)=|12x-2|的单调递增区间为【答案】[-1,+∞)【解析】作出函数f(x)=由图可知,函数f(x)的增区间为[-6(★★★)已知函数fx=x-a(1)求a的取值范围;(2)若方程fx=10存在整数解,求满足条件a的个数.【答案】(1)a≥-1(2)11个所以方程fx=10存在整数解,满足条件的117(★★★)函数fx,g(x)在区间①f(x)为增函数,fx>0;②g(x)为减函数,判断fxg(x)在【题型三】函数单调性的应用角度1解不等式【典题1】已知函数f(x)=(12)x-x3【解析】∵y=(12)x和∴f(x)=(12∴由f(2a+1)>f(a-1)得,2a+1<a-【点拨】我们有增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,由此性质求出函数单调性.②处理类似“f(2a+1)>f(a-1)”这样的不等式,可利用函数的单调性去掉"f"求解,不要硬代入原函数来个“暴力求解”,特别f角度2求参数取值范围或值【典题2】若f(x)=ax2+1,x≥0(a2-1)∙2ax【解析】f(x)在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,①函数的单调性是增函数时,可得当x=0时,a即a2-1≤1,解之得∵x≥0时,y=ax2∵x<0时,a2-1∙2ax是增函数,∴综上实数a的取值范围是1<a≤2②函数的单调性是减函数时,可得当x=0时,a2即a2-1≥1,解之得a≤-2∵x≥0时,y=ax2又∵x<0时,a2∴a2-1>0,得综上实数a的取值范围是a≤-2综上所述,得a∈(-∞,-2【点拨】遇到分段函数,注意分离讨论和数形结合“双管齐下”方能一击制敌.角度3求函数最值【典题3】已知函数fx(1)当a=1时,求f(x)的值域;(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值.【解析】(1)a=1时,fx(遇到绝对值可变成分段函数处理)∵f(x)在(-∞,-12)∴f(x)≥f(-1∴f(x)值域为[-5(2)f(x)=ax①当x<a时,fx=ax∴f(x)在[0,a]单调递增,∴fx②当x≥a时,fx=ax(对于分段函数,多结合图像进行分析,比较对称轴x=12a与a(i)当12a≤a即a≥22时,∴fx∴fx(ii)当12a>a,即f(x)在[a,12a)∴f(x)≥f(1若4a2-14a≥-a若4a2-14a<-a综上f(x)【点拨】①遇到绝对值,可利用x=②函数最值或值域均与函数的单调性密不可分,了解到函数的单调性相当清晰函数的大致图像,最值便易于求解;而二次函数的单调性与函数的对称轴和开口方向有关;③在分类讨论时,注意结合函数图像进行思考找到分类讨论的“临界值”.巩固练习1(★★)已知函数f(x)=2x+1x-1,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是(A.f(x)有最大值53,无最小值 B.C.f(x)有最大值75,无最小值 D【答案】A【解析】函数f(x)=2x+1x-1即有f(x)在[-8,-4)递减,则由x=-故选:A.2(★★)若f(x)=ax,x≥1-x+3a,x<1是R上的单调减函数,则实数a的取值范围为【答案】[12,+∞)【解析】若f(x)=ax,x≥1则a>0a1≤-1+3a,故答案为:[12,3(★★)若函数fx=x2-2ax+1-a在[0,2]上的最小值为-1.则【答案】1【解析】函数fx=x(1)当a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增.则由1-a=-1,得(2)当0<a<2时.则f(x)由-a2-a+1=-1,得a=-(3)当a≥2时,函数f(x)=x2∴f(x)min=f(2)∵a≥2,∴综上可得a=4(★★)已知函数f(x)=x-2,若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4)【答案】0,1【解析】由题意可知,函数f(x)在[2,f(2a2-即a2-6a<0解可得2≤a<6或0<a≤15(★★)已知函数fx=|x-1|+|2x+a|的最小值为2,则实数a的值为【答案】-6或2【解析】当-a2≥1,即a≤则fxmin=f(-a2)=当-a2<1,即a>则fxmin=f(-a2)=综上得a=-6或26(★★★)已知函数fx=2x-ax的定义域为(0,(1)当a=1时,求函数y=f(x)的值域;(2)求函数y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f(x)取得最值时【答案】(1)(-∞,(2)当a≥0时,无最小值,当x=1时取得最大值2-a;当a≤-2时,无最大值,当x=1时取得最小值2-a;当-2<a<0时,无最大值,当x=-a2【解析】(1)当a=1时,f(x)=则f(x∵1≥∴f(∴f(x)在(0当x=1时取得最大值1,所以f(x)的值域为(-(2)当a≥0时,y=f(x)在(0当x=1时取得最大值2当a<0时,f(x)=当-a2≥1,即a∈(-当x=1时取得最小值2当-a2<1,即a∈(在[-a2,1)上单调递增,无最大值,当x=-【题型四】抽象函数的单调性定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对所有的正数x、f2=-1且当x>1(1)求f(1)的值(2)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性(3)若关于x的不等式fkx-f(x2-kx+1)≥1在【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y),取x=1,y=1得:f(1)=f(1)+f(1);∴f(1)=0;(2)设x1>x2>0,则∵x1>又x>1时,f(x)<0;∴f(x∴fx1-f(x2)<0,3∵f2=-1由f⇒fkx又f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴2kx>0【点拨】①求具体值时,要大胆尝试,可取特殊值,如x=1、x=0等,可取特殊关系,如x=y.②抽象函数的单调性用函数的定义法证明,具体的思路有(1)作差法令x1>x2再根据题意“凑出”fx(2)作商法令x1>x2再根据题意“凑出”fx1f③涉及抽象函数,解类似“fkx-fx2④恒成立问题可用分离参数法,最终转化为最值问题,如x2-kx+1>0(x>0)恒成立等价于k<x+1x(x>0),即求巩固练习1(★★★)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件

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